Программа дисциплины «Математическое моделирование» для направления 010400. 62 «Прикладная математика и информатика»

Раздел 8. Принцип максимума Понтрягина. Общая теория. Лекция 24. Значение принципа максимума в теории оптимального управления. История создания и развития теории ОУ, основанной на принципе максимума. Основная постановка задачи ОУ: задача с интегральным или смешанным интегрально-терминальным функционалом, дифференциальной связью, граничными условиями и ограничением на управление. Границы временного интервала могут быть переменными. Две основные формы принципа максимума – гамильтонова и лагранжева. Принцип максимума в форме Гамильтона. Вспомогательные функции: функция Понтрягина и гамильтониан. Формулировка теоремы 1 о необходимых условиях оптимальности. Принцип максимума в форме Лагранжа. Вспомогательные функции: лагранжиан и функция Лагранжа. Формулировка теоремы 2 о необходимых условиях оптимальности. Лекция 25. Значение двух форм принципа максимума. Эквивалентность двух формулировок принципа максимума (доказательство утверждения об эквивалентности для трех основных соотношений, входящих в принцип максимума). Лекция 26. Связь принципа максимума и общего принципа Лагранжа. Формулировка принципа Лагранжа. Усиленная форма принципа Лагранжа. Обоснование утверждения, состоящего в том, что при выполнении принципа Лагранжа в усиленной форме выполняются основные соотношения, входящие в принцип максимума. Основной вывод: принцип максимума является реализацией общего принципа Лагранжа для рассматриваемого вида задач ОУ. Лекция 27. Развернутая (координатная) форма соотношений, входящих в принцип максимума. Общая система соотношений, используемых для решения рассматриваемой задачи ОУ, состоящая из необходимых условий, входящих в принцип максимума, и ограничений исходной задачи. Алгоритмическое описание последовательности действий при исследовании общей системы соотношений с целью определения неизвестных параметров. Алгоритмический смысл необходимых условий в форме принципа максимума: соответствие числа и характера неизвестных параметров числу и характеру соотношений, входящих в сформированную общую систему. Раздел 9. Принцип максимума Понтрягина. Решение специальных задач. Лекция 28. Классическая задача ОУ с фиксированными концами интервала времени, закрепленным левым и свободным правым концами траектории. Особенности необходимых условий экстремума, связанные со структурой задачи. Формулировка основной теоремы о необходимых условиях экстремума в форме принципа максимума. Необходимые условия экстремума для рассматриваемой задачи: сопряженное уравнение, условие трансверсальности в правом конце интервала времени, условие максимума функции Понтрягина. Особенности множителей Лагранжа в задаче: единственный множитель Лагранжа – сопряженный параметр Составление и анализ общей системы соотношений для определения неизвестных параметров в рассматриваемой задаче ОУ, состоящей из необходимых условий и ограничений исходной задачи. Лекция 29. Теорема о необходимых условиях экстремума для классической задачи ОУ с фиксированными концами интервала времени, закрепленным левым и свободным правым концами траектории (классическая форма принципа максимума). Схема доказательства теоремы, основанная на использовании метода игольчатых вариаций Вейерштрасса. Лекция 30. Задача ОУ с дополнительными ограничениями в виде равенств и неравенств, задаваемых смешанными интегрально-терминальными функционалами (обобщенная задача ОУ). Вспомогательные функции в обобщенной задаче ОУ. Формулировка необходимых условий экстремума в форме принципа максимума в обобщенной задаче ОУ. Анализ полученной системы необходимых условий. Лекция 31. Принцип максимума как достаточное условие оптимальности в некоторых специальных задачах ОУ. Постановка классической задачи ОУ с фиксированными концами интервала времени, закрепленным левым концом и свободным правым концами траектории. Понятие функции Кротова. Теорема о достаточных условиях оптимальности в форме условий на функции Кротова (без доказательства). Условия выпуклости и вогнутости функции нескольких вещественных переменных. Лекция 32. Принцип максимума как достаточное условие экстремума в некоторых специальных задачах ОУ. Теорема об оптимальности управляемого процесса, удовлетворяющего условиям принципа максимума, для специального вида задач ОУ линейно-выпуклого характера (формулировка и доказательство теоремы). Лекция 33. Принцип максимума и результаты теории КВИ. Общая теоретическая идея о связи необходимых условий в задачах ОУ (условия, входящие в принцип максимума) и необходимых условий в задачах КВИ. Аналитическое исследование на примере простейшей задачи КВИ. Представление простейшей задачи КВИ в виде задачи оптимального управления. Вывод уравнения Эйлера и условия Вейерштрасса из необходимых условий в форме принципа максимума (сопряженное уравнение, условие максимума функции Понтрягина). Лекция 34. Принцип максимума и результаты теории КВИ (продолжение исследования). Простейшая задача КВИ в форме задачи ОУ. Вывод канонических уравнений Гамильтона из необходимых условий в форме принципа максимума (сопряженное уравнение, условие максимума функции Понтрягина). Лекция 35. Связь принципа максимума Понтрягина и принципа оптимальности Беллмана. Общие замечания о связи двух фундаментальных принципов современной теории ОУ. Некоторые аналитические выводы, иллюстрирующие указанную связь. Важнейшие особенности каждого из двух фундаментальных принципов теории ОУ. Области применимости этих принципов в различных задачах ОУ. Теоретическое и прикладное значение принципа максимума Понтрягина и принципа оптимальности Беллмана в теории оптимального управления. Лекция 36. Заключительная лекция по курсу «Математическое моделирование». Общий обзор идей и методов современной теории классического вариационного исчисления и оптимального управления. Значение современной математической теории оптимизации для решения прикладных задач. 5.5. План семинарских занятий. 5 семестр Раздел 1. Основы теории классического вариационного исчисления. Занятие 1. Общая характеристика задач КВИ. Основные особенности экстремальных задач классического вариационного исчисления. Структура задачи КВИ. Функционалы, ограничения, граничные условия. Основные виды задач КВИ. Задачи с одним параметром : 1. Задача Больца без ограничений (постановка задачи) 2. Простейшая (векторная) задача (постановка задачи) 3. Общая задача КВИ с граничными условиями (постановка задачи) Задачи с двумя параметрами : 4. Задача Лагранжа (постановка задачи). Занятие 2. Понятие решения экстремальной задачи КВИ. Понятие функции, допустимой в исходной задаче КВИ. Понятие допустимой экстремали. Определение слабого и сильного локального экстремума в задаче с одним параметром. Определение слабого и сильного локального экстремума в задаче с двумя параметрами. Связь понятий слабого и сильного локального экстремума. Соотношение необходимых условий для слабого и сильного локального экстремума. Соотношение достаточных условий для слабого и сильного локального экстремума. Занятие 3. Методы исследования задач КВИ. Общая схема решения экстремальной задачи КВИ. Два основных этапа исследования: 1) Составление общей системы соотношений, включающей необходимые условия и ограничения исходной задачи. Исследование полученной системы и нахождение допустимых экстремалей. 2) Исследование найденных допустимых экстремалей и нахождение решения задачи. Описание возможных методов исследования на втором этапе решения экстремальной задачи КВИ. 1) Метод непосредственной проверки определения локального или глобального экстремума 2) Проверка достаточных условий экстремума 3) Использование теорем существования и единственности решения задачи Подробное описание основного аналитического метода исследования – метода непосредственной проверки. Теоретическое обоснование данного метода. Особая проблема: доказательство того факта, что найденная функция (допустимая экстремаль) не доставляет локального экстремума и, таким образом, не является решением исходной задачи. Занятие 4. Классическое вариационное исчисление. Задача Больца без ограничений. Теорема о необходимых условиях экстремума в данной задаче. (формулировка) Анализ системы необходимых условий экстремума в задаче Больца (уравнение Эйлера, условия трансверсальности). Алгоритмический смысл необходимых условий экстремума в задаче Больца без ограничений. Задача 1. Постановка задачи: Необходимые условия экстремума в задаче - уравнение Эйлера и условия трансверсальности (подробный вывод). Занятие 5. Классическое вариационное исчисление. Задача Больца без ограничений (завершение анализа). Исследование необходимых условий экстремума в задаче 1 и нахождение единственной допустимой экстремали. Единственная допустимая экстремаль . Доказательство того, что представляет собой слабый глобальный (абсолютный ) минимум методом непосредственной проверки. Занятие 6. Классическое вариационное исчисление. Простейшая задача. Теоретические сведения. Теорема о необходимых условиях экстремума в простейшей задаче (формулировка) Общая система соотношений для определения допустимой экстремали: уравнение Эйлера и граничные условия исходной задачи. Задача 2. Постановка задачи: Исследуется система соотношений для определения допустимой экстремали. Единственная допустимая экстремаль Методом непосредственной проверки устанавливается, что для любой допустимой функции , где выполняется соотношение Таким образом, функция доставляет глобальный минимум в исходной задаче (1) - (2). Занятие 7. Классическое вариационное исчисление. Простейшая задача (продолжение исследования). Задача 3. Постановка задачи: Общая система соотношений для определения допустимой экстремали: уравнения Эйлера и граничные условия (2) исходной задачи. Единственная допустимая экстремаль . Методом непосредственной проверки устанавливается, что для любой допустимой функции , h(0)=0, h(1)=0 выполняется соотношение Таким образом, функция доставляет глобальный максимум в задаче (1)-(2). Построение последовательности допустимых функций xn(t)=nt(t-1), n=1,2,..., для которой . Следовательно, функционал не ограничен снизу на множестве допустимых функций, и решения задачи (1)-(2) на минимум не существует. Занятие 8. Классическое вариационное исчисление. Общая задача КВИ с граничными условиями. Теоретические сведения. Теорема о необходимых условиях экстремума в данной задаче (формулировка). Система соотношений в общей задаче с граничными условиями состоящая из необходимых условий и ограничений исходной задачи. Закономерности, связанные с условиями трансверсальности. Разрешимость общей системы соотношений и нахождение всех неизвестных параметров. Занятие 9. Классическое вариационное исчисление. Общая задача КВИ с граничными условиями. Задача 4. Постановка задачи: (1) (2) Для решения используется методика исследования общей задачи с граничными условиями. Необходимые условия экстремума - уравнение Эйлера и условия трансверсальности. Подробный анализ условий трансверсальности: условие трансверсальности в точке неинформативно. Единственная допустимая экстремаль . Методом непосредственной проверки устанавливается, что для любой допустимой функции , выполняется условие , то есть функция доставляет абсолютный максимум в исходной задаче (1) – (2). Занятие 10. Классическое вариационное исчисление. Общая задача КВИ с граничными условиями. Задача 5. Постановка задачи. Выписываются необходимые условия экстремума: уравнение Эйлера и условия трансверсальности. К полученным соотношениям добавляется граничное условие (2). Условие трансверсальности в точке неинформативно. Исследуется два варианта полученной системы: при и при Единственная допустимая экстремаль Методом непосредственной проверки устанавливается, что дл любой допустимой функции Таким образом, функция доставляет глобальный минимум в исходной задаче (1) - (2). Занятие 11. Необходимые условия второго порядка и достаточные условия экстремума в простейшей задаче КВИ. Теоретические сведения. Вычисление вспомогательных характеристик в простейшей задаче КВИ. Условие Лежандра (стандартное и усиленное). Уравнение Якоби. Фундаментальное решение уравнения Якоби и понятие сопряженной точки. Условие Якоби (стандартное и усиленное). Условие квазирегулярности интегранта в простейшей задаче КВИ. Теорема о необходимых условиях слабого минимума и достаточных условиях сильного минимума в простейшей задаче КВИ (1) (2) Занятие 12. Необходимые условия второго порядка и достаточные условия экстремума в простейшей задаче КВИ. Задача 6. Постановка задачи (1) (2) Решение уравнения Эйлера, нахождение единственной допустимой экстремали. Вычисление вспомогательных характеристик и вывод уравнения Якоби. Занятие 13. Необходимые условия второго порядка и достаточные условия экстремума в простейшей задаче КВИ. Завершение анализа необходимых и достаточных условий в задаче (1)-(2). Доказательство того, что единственная допустимая экстремаль доставляет сильный минимум. Проверка условий теоремы о достаточных условиях сильного минимума. Доказательство того, что функция доставляет абсолютный экстремум методом непосредственной проверки. Выдача контрольной работы на тему «Задачи классического вариационного исчисления». Методические указания для студентов по выполнению контрольной работы.

Похожие:

	Программа дисциплины «Модели корпусной лингвистики» для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010400. 68 "Прикладная...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, и студентов направления подготовки 010400. 68 "Прикладная...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010400....		Программа дисциплины «Герменевтика» для направления 010400. 68 «Прикладная... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, и студентов направления подготовки 010400. 68 "Прикладная...
	Программа дисциплины Современные методы принятия решений  для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010400....		Программа дисциплины “Философия науки“ для направления 010400. 62... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010400. 62 «Прикладная...
	Программа дисциплины Архитектура ЭВМ для направления 010400. 68 «Прикладная... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направлений подготовки 010400....		Программа дисциплины для направления 010400. 62 «Прикладная математика... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления для направления...
	Пояснительная записка рабочая программа дисциплины «Иностранный язык... «Математика и компьютерные науки», 010500. 62 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», 230100. 62...		Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления... Оборудование: термометр, веер, стороны света, карточки со словами, картинки с изображением облаков
	Программа дисциплины «Иностранный язык (английский)» для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих Иностранный язык (английский) для студентов, обучающихся по направлению 010400....		Программа дисциплины «Иностранный язык (английский)» для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих Иностранный язык (английский) для студентов, обучающихся по направлению 010400....
	Программа дисциплины Информационная безопасность для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направлений подготовки 010400....		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010400....
	Программа дисциплины «История» для направления 231300. 62 и 230700.... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 231300....		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов первого года обучения по направлению...