Программа дисциплины «Математическое моделирование» для направления 010400. 62 «Прикладная математика и информатика»

Раздел 2. Задача классического вариационного исчисления с двумя параметрами (задача Лагранжа). Занятие 14. Задача Лагранжа. Теоретические сведения. Общая постановка задачи Лагранжа. Аналитические свойства функций, определяющих задачу. Вспомогательные объекты: лагранжиан и функция Лагранжа. Теорема о необходимых условиях экстремума в задаче Лагранжа. Представление необходимых условий в форме, удобной для аналитического исследования. Составление общей системы соотношений для определения неизвестных параметров, состоящей из необходимых условий и ограничений исходной задачи. Методические рекомендации по исследованию полученной системы и нахождению допустимой экстремали. Занятие 15. Задача Лагранжа. Пример исследования. Задача 7. Постановка задачи: (1) (2) (3) Приведение задачи (1)-(3) к каноническому виду задачи Лагранжа. Преобразование задачи (1) – (3) при помощи замены: Задача (1) – (3) в канонической форме принимает вид Вычисление вспомогательных характеристик и вывод необходимых условий экстремума: сопряженного уравнения, условий трансверсальности и условий стационарности лагранжиана по параметру u. Составление общей системы соотношений для определения неизвестных параметров, состоящей из необходимых условий и ограничений исходной задачи. Занятие 16. Задача Лагранжа. Завершение анализа задачи Лагранжа, сформулированной на предыдущем занятии (задача 7). Исследование и определение единственной допустимой экстремали ; . Непосредственная проверка того, что пара функций доставляет глобальный слабый минимум в исходной задаче. Занятие 17. Анализ результатов контрольной работы на тему «Классическое вариационное исчисление». Занятие 18. Заключительное занятие. Подведение итогов работы за семестр. 6 семестр Занятие 1. Введение в теорию оптимального управления. Общая характеристика задач оптимального управления (ОУ). Основные постановки задач: задачи ОУ с дискретным временем и задача ОУ с непрерывным временем. Два основных направления в теории ОУ: метод, основанный на принципе максимума Понтрягина, и метод динамического программирования, основанный на принципе оптимальности Беллмана. Принцип оптимальности Беллмана. Общее описание метода динамического программирования. Занятие 2. Задача оптимального распределения ресурсов (классическая экономическая проблема). Математическая постановка задачи и её экономическое содержание. Решение задачи на основе метода динамического программирования. Определение (формальное) функции Беллмана данной задачи и её особенности. Уравнение Беллмана как основное теоретическое соотношение. Два способа вывода уравнение Беллмана: качественный вывод на основе принципа Беллмана и аналитический вывод на основе свойств экстремумов функций. Занятие 3. Алгоритм решения задачи оптимального распределения ресурсов и его численная реализация. Система функциональных уравнений Беллмана как теоретическая основа алгоритма решения задачи. Дискретизация задачи. Дискретный аналог уравнений Беллмана. Первый этап реализации алгоритма (подготовительный). Создание вспомогательных массивов данных значений функции Беллмана и значений параметров управления, на которых достигается равенство в уравнениях Беллмана. Второй этап реализации алгоритма (завершающий). Определение оптимальных значений параметров управления – объемов распределяемых ресурсов. Занятие 4. Доказательство оптимальности решения задачи оптимального распределения ресурсов, полученного методом динамического программирования. Занятие 5. Задача оптимального распределения с двумя видами ресурсов. Математическая постановка задачи. Уравнение Беллмана. Краткое описание алгоритма решения задачи на основе метода динамического программирования (по аналогии с алгоритмом решения задачи с одним ресурсом, изложенным в лекции 4). Методические замечания по выполнению курсовой работы «Исследование задачи оптимального распределения ресурсов методом динамического программирования». Занятие 6. Задача Лагранжа. Рассматривается экстремальная задача: Приведение задачи (1)-(3) к каноническому виду задачи Лагранжа Введение новых параметров: Задача Лагранжа имеет вид: Исследуются необходимые условия экстремума в задаче Лагранжа вида (4)-(6) единственная допустимая экстремаль. Методом непосредственной проверки доказывается, что пара функций ( доставляет глобальный минимум в исходной экстремальной задаче. Занятие 7. Задача Лагранжа. Рассматривается экстремальная задача: Приведение задачи (1)-(3) к каноническому виду задачи Лагранжа Введение новых параметров: Задача Лагранжа имеет вид: Исследуются необходимые условия экстремума в задаче Лагранжа вида (4)-(6) единственная допустимая экстремаль. Методом непосредственной проверки доказывается, что пара функций ( доставляет глобальный минимум в исходной экстремальной задаче. Занятие 8. Принцип максимума Понтрягина (краткое изложение теории). Постановка задачи оптимального управления (основная постановка). Введение дополнительных функций: функции Понтрягина и гамильтониан. Теорема о необходимых условиях экстремума (принцип максимума в форме Гамильтона). Классическая задача оптимального управления с фиксированными концами интервала времени [t0,t1], закрепленным левым и свободным правым концами траектории. Теорема о необходимых условиях экстремума (классическая форма принципа максимума). Занятие 9. Задача об оптимальном быстродействии (часть 1). Описание физической модели системы (движущаяся управляемая материальная точка). Физические законы описания системы. Математическая постановка задачи оптимального управления. Необходимые условия экстремума: сопряженное уравнение, условие максимума функции Понтрягина. Общая структура оптимальных уравнений . Общий вид фазовых траекторий при управлении, удовлетворяющих условиям принципа максимума. Занятие 10. Задача об оптимальном быстродействии (часть 2). Аналитическое исследование траекторий управляемого процесса. Определение неизвестных параметров оптимального процесса в зависимости от начальных условий. Доказательство оптимальности управляемого процесса , удовлетворяющего условиям принципа максимума в задаче об оптимальном быстродействии. Метод доказательства: использование вспомогательной функции . Занятие 11. Задача об оптимальном быстродействии (часть 3). Анализ задачи об оптимальном быстродействии методом динамического программирования. Уравнение Беллмана в задаче об оптимальном быстродействии. Определение явного представления для функции Беллмана в задаче об оптимальном быстродействии на основе полученных ранее результатов. Непосредственная проверка того, что найденная функция Беллмана является решением уравнения Беллмана . Исследование аналитических свойств функции Беллмана. Проверка того, что функция Беллмана не является непрерывно дифференцируемой при всех значениях аргумента х=(х1,х2). Заключительные замечания и выводы. Раздел «Принцип максимума Понтрягина. Решение специальных задач». Занятие 12. Рассматривается экстремальная задача. Приведение задачи (1)-(3) к каноническому виду задачи ОУ. Введение новых параметров: . Исследование полученной задачи на минимум. Необходимые условия экстремума в форме принципа максимума. Анализ необходимых условий. (8) - единственная допустимая экстремаль. Доказательство оптимальности процесса (8) методом непосредственной проверки. Занятие 13. Исследование задачи оптимального управления, сформулированной на занятии 5, на максимум. Постановка экстремальной задачи. Необходимые условия экстремума в форме принципа максимума. Анализ необходимых условий. (5) - единственная допустимая экстремаль. Доказательство оптимальности процесса (5) проводится методом непосредственной проверки. Занятие 14. Рассматривается экстремальная задача. Введем параметр управления и приведем задачу (1)-(3) к каноническому виду задачи ОУ: Задача оптимального управления имеет вид: Используем необходимые условия экстремума в форме принципа максимума. При исследовании получаем (8) - единственная допустимая экстремаль. Методом непосредственной проверки устанавливается, что пара функций , задаваемых соотношением (8) является решением задачи. Занятие 15. Исследовании задачи (4)-(8) предыдущего занятия на максимум. Результат: (9) - единственная допустимая экстремаль. Методом непосредственной проверки получаем, что пара функций , задаваемых соотношением (9) является решением задачи. Занятие 16. Рассматривается экстремальная задача. Введем параметр управления и приведем задачу (1)-(3) к каноническому виду задачи ОУ: Задача оптимального управления имеет вид: Исследуем задачу (4)-(7) на минимум. Используем необходимые условия экстремума в форме принципа максимума. - единственная допустимая экстремаль. Методом непосредственной проверки получаем, что пара функций , задаваемая формулами (8), (9) является решением задачи (4)-(7) на минимум. Подведение итогов за семестр. Завершение занятий. Занятие 17. Исследование задачи ОУ, сформулированной на занятии 16, на максимум. Постановка экстремальной задачи: Исследуем задачу (1)-(4) на минимум. Используем необходимые условия экстремума в форме принципа максимума единственная допустимая экстремаль. Методом непосредственной проверки доказывается, что пара функций ( доставляет глобальный минимум в исходной экстремальной задаче. Занятие 18. Подведение итогов работы в шестом семестре. 6. Лабораторный практикум не предусмотрен. 7. Курсовая работа (краткое описание). Курсовая работа проводится в шестом семестре и связана с теорией оптимального управления. Тема курсовой работы «Решение задачи оптимального распределения ресурсов методом динамического программирования». Математическая постановка задачи одинакова для всех обучающихся. Каждый студент получает свой индивидуальный вариант, в котором задаются числовые параметры модели. Математическая теория, лежащая в основе метода решения данной задачи (метод динамического программирования Беллмана), а также алгоритм численного исследования подробно изучаются на практических занятиях (см. занятия 1-5 шестого семестра). В отчете о выполнении курсовой работы каждый студент должен привести теоретическую постановку задачи, описание её решения методом динамического программирования, алгоритм численного исследования и численные результаты работы программы, реализующей указанный алгоритм, то есть параметры оптимального распределения ресурсов. 8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины. 8.1. Рекомендуемая литература: а) основная литература: 1) Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 2) Галеев Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи. – М.: Эдиториал УРСС, 2002. 3) Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. – М.: Наука, 1974. 4) Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. б) дополнительная литература: 1) Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 2) Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р.. Математическая теория конструирования систем управления. – М.: Высшая школа, 1998. 3) Беллман Р. Динамическое программирование. – М.: Издательство иностранной литературы, 1960. 4) Беллман. Р., Гликберг И., Гросс О. Некоторые вопросы математической теории процессов управления. – М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 5) Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. – М.: Наука, 1965. 6) Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. – М.: Наука, 1969. 7) Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. – М.: Издательство МГТУ им. Баумана, 1999. 8) Васильев Ф.П. Методы оптимизации. – М.: МЦНМО, 2011. 9) Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М.: Айрис-пресс, 2002. 10) Основы теории оптимального управления. Под редакцией В.Ф. Кротова. – М.: Высшая школа, 1990. 11) Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Наука, 1976. 8.2. Программное обеспечение. Пакеты прикладных программ, необходимых для выполнения курсовой работы на тему «Решение задачи оптимального распределения ресурсов методом динамического программирования». Варианты: Exel, Statistica 9. Материально-техническое обеспечение дисциплины. Специальное материально-техническое обеспечение не предусматривается.

Похожие:

	Программа дисциплины «Модели корпусной лингвистики» для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010400. 68 "Прикладная...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, и студентов направления подготовки 010400. 68 "Прикладная...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010400....		Программа дисциплины «Герменевтика» для направления 010400. 68 «Прикладная... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, и студентов направления подготовки 010400. 68 "Прикладная...
	Программа дисциплины Современные методы принятия решений  для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010400....		Программа дисциплины “Философия науки“ для направления 010400. 62... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010400. 62 «Прикладная...
	Программа дисциплины Архитектура ЭВМ для направления 010400. 68 «Прикладная... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направлений подготовки 010400....		Программа дисциплины для направления 010400. 62 «Прикладная математика... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления для направления...
	Пояснительная записка рабочая программа дисциплины «Иностранный язык... «Математика и компьютерные науки», 010500. 62 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», 230100. 62...		Программа дисциплины «Компьютерное моделирование» для направления... Оборудование: термометр, веер, стороны света, карточки со словами, картинки с изображением облаков
	Программа дисциплины «Иностранный язык (английский)» для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих Иностранный язык (английский) для студентов, обучающихся по направлению 010400....		Программа дисциплины «Иностранный язык (английский)» для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих Иностранный язык (английский) для студентов, обучающихся по направлению 010400....
	Программа дисциплины Информационная безопасность для направления... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направлений подготовки 010400....		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 010400....
	Программа дисциплины «История» для направления 231300. 62 и 230700.... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления подготовки 231300....		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов первого года обучения по направлению...