Задача обработки решетки
Скачать 0.57 Mb.
|
К является компактным подмножеством  , т.е. К замкнуто и ограничено. Предположение относительно компактности К приводит к некоторым техническим преимуществам: непрерывная функция на компактном множестве достигает своей нижней и верхней грани. Кроме того, компактность должна всегда содержаться в физической задаче. Как обсуждалось в предыдущем разделе, знание источника, среды и характеристик датчиков может быть использовано для построения соответствующей спектральной основы.Совместное множество  будет определяться, как конечное подмножество со свойствамиI / 0  ;II / если  III /  является множеством линейно независимых функций на . Условие I/ подразумевает знание r(0) полной мощности в спектре. Условие II/ отражает тот факт, что корреляционная функция всегда сопряжено симметрична; так, если  известна, то известна и  . Условия I/ и II/ совместно подразумевают, что имеет вид (3.1)Условие II/ гарантирует, что корреляционные измерения независимы; каждое измерение дает новую информацию о спектре. Если D > 1 , то задача спектральной оценки является многомерной. Если  и  то задача спектральной оценки является известным случаем временной последовательности и вопрос продолжаемости сводится к известной задаче тригонометрических моментов [9].1.2.2 Сопряженно-симметричные функции и их векторное представление Спектральная основа и совместное множество естественно предполагает ситуацию векторного пространства для задачи спектральной оценки, в которой сопряженно-симметричные комплекснозначные функции на будут играть центральную роль. Сопряженно-симметричная функция f на является функцией, для которой  при всех  . Корреляционные выборки, из которых должны образовываться спектральные оценки, являются такими функциями. /Благодаря этой симметрии многие из нижеследующих выражений являются вещественными, хотя они, ради простоты, были записаны в виде, который предполагает, что они могут быть комплексно-значными/. Совместное множество имеет 2М + I элемент и таким образом сопряженно-симметричная функция на характеризуется посредством 2М + I независимыми вещественными числами. Так, сопряженно-симметричная функция на может рассматриваться как вектор в  . /Векторное пространство над вещественными числами выбирается потому, что только умножение на вещественное число, переводит корреляционную функцию в другую корреляционную функцию/. Будут использоваться как функциональное обозначение  так и векторное f.Поскольку  является линейно-независимым ìíîæåñòâîì функций на K, то отсюда следует, что каждый вектор p â может быть единственным образом связан ñ вещественно-значным -полиномом P(k) íà Ê посредством соотношения (3.2)Вектор будет называться положительным, если  на К. Р будет обозначать множество этих векторов, связанных с положительными -полиномами. Из компактности К, как можно показать, следует, что Р является выпуклым конусом с вершиной в начале координат. /Множество С является конусом с вершиной в начале координат, если  подразумевает  для всех  [10]. Конусы являются важными видами множеств в задаче спектральной оценки, поскольку только умножение на положительные вещественные числа переводит корреляционную функцию в другую корреляционную функцию, а -полином в другой -полином./Внутреннее произведение вектора r корреляционных выборок и вектора р полиномиальных коэффциентов будет определяться как  (3.3)Это внутреннее произведение дает возможность по новому записать -полином:  , где  обозначает вектор с компонентами  . Отметим также, что если  , то  , что cooтветствует выражению соотношению Парсеваля.1.2.3 Характеристики продолжаемости Пусть Е обозначает множество продолжаемых векторов корреляции. То есть  , если (3.4)для некоторой положительной меры  на К. Из свойств интеграла следует, что, Е является замкнутым выпуклым конусом с вершиной в начале координат. Кроме того, сечение по Е при  : (3.5)является выпуклой оболочкой компактного множества  (3.6)является выпуклой оболочкой компактного множества Итак, Е - замкнутый выпуклый конус с вершиной в начале координат, генерируемой посредством А. Эта характеристика продолжаемой корреляция аналогична той, которую дал первоначально Каратеодори в 1907 году для задачи тригонометрических моментов [I]. Важность этого состоит в том, что множество продолжаемых векторов корреляции описывается в терминах простого множества А. Это дает также ясную геометрическую картину продолжаемости и будет полезно в доказательствах. Вторая характеристика продолжаемости, которая является более полезной при разработке методов спектральной опенки, происходит из того факта, что Е выражается в виде пересечения всех замкнутых полупространств, содержащих его [10]. Эта характеристика включает дуальность, так как полупространства определяются линейными функционалами, т.е. элементами дуального пространства. Замкнутое полупространство определяется посредством вектора q, и вещественного числа с в виде множества  (3.7)Чтобы определить отдельные полупространства, содержащие Е, достаточно рассмотреть те корреляционные векторы, которые генерируют Е : положительные кратные векторов во множестве А. Замкнутое полупространство содержит Е тогда и только тогда, когда  для каждого  и каждого  . Поскольку  можно сделать произвольно большой, должно быть истинным то, что  , т.е. q - член конуса Р. Наименьшее полупространство, содержащее Е для такого q соответствует выбору с = 0. Итак, (3.8)или, словами, следующее. Теорема о продолжимости : .вектор  является продолжимым тогда и только тогда, когда  для всех положительных p.Таким образом, положительные полиномы естественно имеют место в задаче продолжаемости, поскольку они определяют гиперплоскости основы множества Е продолжаемых векторов корреляции. На языке функционального анализа теорема о продолжимости, которая является видом леммы Фаркаша [11], просто констатирует, что Е и Р - положительные сопряженные конусы.[10]. Эта теорема имеет важное следствие относительно перемещения простой характеристики Р, в терминах положительности, на характеристику Е. Хотя введение спектральной основы в рассматриваемую задачу является новым, по существу та же характеристика продолжимости была первоначально использована Кальдероном и Пепинским [l2], и Рудиным [l3]. Рисунок 4 демонстрирует зависимость Е от спектральной основы. Существуют две точки зрения на эту зависимость. Прямая точка зрения отмечает тот факт, что Е является выпуклым конусом, генерированным А; поскольку К уменьшилось, А сжалось и Е теперь меньше, чем на рис.3. Косвенная точка зрения включает ограничения; множество К ограничивает множество Р посредством условия о положительности, а множество Р ограничивает множество P посредством теоремы продолжимости. Итак, когда К сжимается, Р растет, и Е сжимается. Для случая временной последовательности теорема о продолжимости сводится к тесту положительной определенности теплицевой матрицы, образованной из корреляционных выборок. Следовательно, о продолжимости можно говорить как об общем аналоге положительной определенности. Пример 3.1 : Случай временной последовательности; D=1,  .B этом случае, проблема продолжимости сводится к проблеме тригонометрических моментов [9]. Хотя это и не справедливо в общем случае, для случая временной последовательности, как следует из фундаментальной теоремы алгебры, положительный полином может быть факторизован в виде квадрата модуля М-той степени тригонометрического полинома .Внутреннее произведение  становится теплицевой формой в коэффициентах   Таким образом, требование того, чтобы внутреннее произведение было положительным для всех полиномов сводится к требованию положительной определенности теплицевой формы, соответствующей корреляционным измерениям. 1.3 Граница и внутренняя часть Необходимо будет делать различие между границей и внутренней частью множеств Е и Р. Рассмотрение метода Писаренко в разделе 17, к примеру, включает векторы на границах Е и Р. Векторы во внутренней части Е и P являются важными тогда, когда затрагиваются пункции спектральной плотности, как например, в методе спектральной опенки по способу максимальной энтропии [l4]. Граница замкнутого множества состоит из тех членов, которые находятся произвольно близко к некоторому вектору снаружи множества. Внутренняя часть замкнутого множества состоит из тех членов, которые не находятся на границе. . Граница и внутренняя часть конечного измеримого множества не зависит от частного выбора нормы вектора [15]. Кроме того, поскольку Р и Е являются выпуклыми множествами, особенно просто охарактеризовать их внутренний части и границы. Граница Р, обозначаемая  , состоит из тех положительных полиномов, которые равны нулю для некоторых . Внутренняя часть Р, обозначаемая  , состоит из тех полиномов, которые строго положительны на К.Положительные полиномы могут быть использованы для определения границы и внутренней части Е. Граница Е, обозначаемая  , состоит из тех продолжимых корреляционных векторов, которые превращают в нуль внутреннее произведение с некоторым ненулевым положительным полиномом. Внутренняя часть Е, обозначаемая  , состоит из тех корреляционных векторов, которые делают строго положительными внутренние произведения с каждым ненулевым положительным полиномом.1.3.1 Функции спектральной плотности мощности Многие методы спектральной оценки представляют спектр мощности не как меру, а в виде функции спектральной плотности. Это ведет к модификации задачи продолжимости: если задана фиксированная положительная конечная мера  , которая определяет интеграл (3.9)то какие корреляционные векторы могут быть произведены от некоторой строго положительной функции  ? При одном дополнительном ограничении на , которое легко удовлетворяется на практике, модно показать, что векторы, которые могут быть представлены таким образом, являются векторами, находящимися во внутренней части |
Похожие:
 | Тема урока: «Кристаллические решетки» «аморфного» и «кристаллического» веществ, выявить зависимость свойств веществ от типов «кристаллических решеток», химической связи... | | Конспект итогового занятия по математике в подготовительной коррекционной... Большинство технических металлов имеют кристаллические решетки: объемно-центрированную кубическую, кубическую гранецентрированную... |
| «Тайны воды» Теоретическое обоснование: вода отдает теплоту льду, лёд нагревается, его молекулы быстрее колеблются оставаясь в узлах кристаллической... |  | 4. технология научных исследований Важное значение имеет задача обеспечения научных исследований удобной для восприятия информацией о важнейших научных достижениях,... |
| Задача 1 22 Вариант 3 22 Задача 1 22 Вариант 4 23 Задача 1 23 Задача... «Менеджмент». Дисциплина реализуется кафедрой экономики и управления. Дисциплина нацелена на формирование общекультурных компетенций... | | Интенсификация растворения кольматирующих отложений водозаборных скважин Поэтому для повышения качества и сокращения времени обработки актуальной является задача интенсификации растворения отложений |
| Российской федерации Культиватор кпс-4 предназначен для предпосевной, сплошной обработки почвы и обработки паров с рабочей скоростью до 12 км/ч | | Совершенствование процессов профилирования винтовых канавок и обработки... Специальность 05. 02. 07 – Технологии и оборудование механической и физико-технической обработки |
| Закон сохранения импульса Инструктаж учителя: Оборудование для учеников два шарика (можно из модели кристаллической решетки) на стол | | Рабочая программа учебной дисциплины «технологии обработки материалов» Направление подготовки: 261400. 62 Технология художественной обработки материалов |
| Программа дисциплины дпп. Дс. 04 Технология обработки металлов томск... Целью преподавания дисциплины «Технология обработки металлов» является приобретение студентами системы знаний, необходимых для анализа... | | Положение о музее «Аллея Славы ветеранов ВОВ управы Бирюлёво Восточное» государственного «Аллея Славы» является одной из форм дополнительного образования в условиях гбоу сош №947, развивающей активность, самостоятельность... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Познакомиться с понятиями: «кристаллические вещества, кристаллические решетки» с помощью икт | | Задача накопления, обработки и распространения (обмена) информации... Поскольку в эпоху книгопечатания основным носителем накапливаемой информации стала бумага, технологию накопления и распространения... |
| Использование информационных технологий для исследования многокомпонентных... Руководство пользователя пакета программного обеспечения для управления сканирующим зондовым микроскопом и обработки изображений... | | Доктор фаустус Иными словами, посильна ли человеку моего склада эта задача, задача, на выполнение которой меня подвигло скорее сердце, нежели право... |
