Практическое применение логарифмической и показательной функций в различных областях естествознания и математики

Муниципальное общеобразовательное учреждение “Лицей №3” _____________________________________________________________________________ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ И ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЙ В РАЗЛИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И МАТЕМАТИКИ В курсе математики средней и старшей школы мы получаем большой объём математических знаний. Порой многие понятия курса алгебры и математического анализа 10-11 классов носят абстрактный характер, и мы задаёмся вопросом: «А где применяются те знания, которые мы получаем на уроках математики?» Так возникла идея: исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая и показательная функции. Задавшись целью (исследовать в каких областях науки, техники нашли применение логарифмы, логарифмическая и показательная функции) и определив задачи (актуализация практической значимости математических знаний; развитие нравственных представлений о природе математики, сущности и происхождении математических абстракций; понимание значимости математики для научно-технического прогресса.) мы провели большую исследовательскую работу и выяснили, что логарифмы, логарифмическая и показательная функции имеют прикладное значение в следующих областях естествознания: физике, химии, биоло­гии, географии, астрономии, а так же экономике банковского дела и производства. История возникновения логарифма Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи. В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Логарифмом числа x называют показатель степени y, в которую надо возвести некоторое фиксированное число a, чтобы получить исходное число x: ay=x. Записывают: y = loga x. Уже спустя 5 лет, в 1619 г., лондонский учитель математики Джон Спайделл переиздал таблицы Непера, преобразованные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов (хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил). Термин «натуральный логарифм» предложил итальянский математик Пьетро Менголи в середине XVI века. И только в ХХ веке Владимир Модестович Брадис придумал способ, позволяющий до минимума сократить утомительные расчеты. Выбрать наиболее необходимые для инженерных расчетов функции, один раз посчитать их значения с приемлемой точностью в широком интервале аргументов. А результаты расчетов представить в виде таблиц. Кропотливых расчетов В.М. Брадису предстояло проделать много. Но они экономили массу времени всем последующим пользователям его таблиц. Эти таблицы стали советским бестселлером. С 1930 года их издавали едва ли не ежегодно в течение тридцати лет. Эту книжку читали миллионы. Школьники, студенты, инженеры – таблицы Брадиса были у всех. В наше время нельзя представить экономику банковского дела без расчетов с логарифмами, примером этому следуют представленные нами задачи: Задача 1 Пусть вкладчик положил в банк 10 000 руб. под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится? Решение Сначала давайте поймем, как будут накапливаться деньги. Через год на счету вкладчика будет сумма:10 000 + 10 000 (руб.), т.е. исходная сумма плюс проценты. Еще через год эта сумма составит (руб.), т.е. сумма денег после первого года и проценты от денег первого года. Ясно, что дальше все будет происходить по этой же схеме, однако не складывать же нам все эти суммы до тех пор, пока не получим сумму в 20 000 руб.! Попробуем найти закон образования суммы вклада после каждого года. После первого года:. После второго года: После третьего года: Внимательно присмотревшись к правым частям наших равенств, можно заметить закономерность построения этих денежных сумм и увидеть, что через n лет хранение денег их количество составит рублей. На самом деле мы сейчас вывели формулу, которая в экономике называется формулой сложных процентов:, где A-начальная сумма вклада, P-процентная ставка (годовая), n-срок хранения вклада (в годах), а S-накопительная (итоговая) сумма вклада. Итак, в нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле . Нам необходимо найти n, при котором , т.е. решить уравнение . Мы можем решить это уравнение по определению логарифма числа и получить, что n=log. Вычислим этот логарифм, предварительно перейдя к основанию 10, пользуясь калькулятором. . Таким образом, удвоение вклада произойдет через 6 лет (с небольшим). Задача №2 Некоторая сумма денег в A руб. подвержена приросту в P% годовых. Через сколько лет эта сумма составит S руб.? Решение Руководствуясь формулой сложных процентов, имеем уравнение относительно n: . Логарифмируя это уравнение по основанию 10 (так как видели, именно с этим основанием удобно работать в случаях с прямыми подсчетами), получим: lg S = lg, lg S = lg A + lg, lg S – lg A = n, откуда n=. Хочется обратить внимание на то, что умение проводить такие расчёты является очень важной составляющей экономического анализа, особенно в случаях с принятием оптимального решения. Однако мы рассмотрели примеры, когда деньги просто положены под проценты, причём неважно: в банк, в производство и т.д. Но реальные ситуации проводимых операций с деньгами намного более сложные, поэтому посмотрим пример с небольшим усложнением. Задача №3 Пенсионер 1 января положил на вклад все свои сбережения – 150.000 руб. под 5% годовых. Он намеревается каждый год 31 декабря снимать с вклада по 25 тыс. руб. На протяжении какого периода времени он это может делать? Решение Рассмотрим сначала ситуацию в общем виде. Пусть A-исходная сумма, S-снимаемая сумма ежегодно, P-процентная ставка. Тогда через год на счету будет , а после снятия денег ; Через два года: , или ; Через три года: , или ; Через четыре года: , или и т. д. Получается, что после снятия в конце года денег на вкладе остается сумма в количестверуб Сумма представляет собой конечную геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем , а значит, эта сумма равна . Тогда в итоге получаем -закон образования суммы в конце каждого года после съема денег с вклада. В нашем случае получаем: , и нам необходимо найти, при каком значении n эта сумма станет равной нулю. ; ; ; ; ; ; Таким образом, выполнение денежных операций в полном объеме возможно на протяжении 7 лет. Задача №4 Пусть в начальный момент времени имелось q единиц некоторого компонента, В некоторый другой момент времени t имеющийся компонент изменился в p раз. Установите, через какой промежуток времени (начиная с начального момента) этот компонент достигнет заданного количества B единиц. Для того чтобы это сделать, сначала напомним, то процессы, у которых происходит быстрый рост или быстрое затухание, описываются показательной функцией вида . Решение В нашем случае будем считать, что начальный момент времени соответствует нулю, тогда , и значит, c0 =q, т.е. функция, описывающая этот процесс, имеет вид . В следующий момент времени t у нас произошли изменения, описываемые уравнением , т.е. p=at, откуда lg p=lg at, lg p=tlga, Таким образом, по данным условия мы получаем функцию y=q. И теперь ясно, что мы ищем x, при котором y=B, т.е. надо решить уравнение B=q. Выполняя логарифмирование уравнения B=q по основанию 10, получим Логарифмы в биологии В нашу современную жизнь вторгается математика с ее особым стилем мышления, становящимся сейчас обязательным и для инженера, и для биолога. Задача №5 В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий? Решение. q=8, t=2, p=100/8, B=500. Значит, требуемое время соответствует значению выражения , то есть примерно через 3 ч. 15 мин Задача №6 Примером быстрого размножения бактерий является процесс изготовления дрожжей, при котором по мере их роста производится соответствующая добавка перерабатываемой сахаристой массы. Увеличение массы дрожжей выражается показательной функцией m= m”(1,2t), где m” – масса дрожжей в процессе дрожжевания. Вычислим m, если m”=10 кг, и t=9 ч. Решение. Вычислим массу дрожжей в процессе дрожжевания: m = 10 * (1.2)9= 51.6 кг Ответ : 51.6 кг Логарифмы в химии и биофизике Для чего же нужны логарифмы в химии и как они применяются? Думаю, все из нас неоднократно встречались с пометкой pH на моющих средствах. В химии эту пометку принято называть водородным показателем. За что же он отвечает? Водородным показателем pH называется отрицательный десятичный логарифм концентрации ионов водорода. Переводя на доступный язык, можно сказать, что с помощью водородного показателя определяется уровень кислотности среды. С помощью логарифмов ученые научились определять точный возраст ископаемых пород и животных. Наиболее распространен Радиоуглеродный анализ. На примере задачи попытаемся понять суть этого метода. Задача №7 Известно, что соотношение между углеродом C12 и его радиоактивным изотопом C14 во всех живых организмах постоянно. Период полураспада углерода C14 составляет 5760 лет. Определите возраст остатков мамонта, найденных в вечной мерзлоте на Таймыре, если относительное содержание изотопа C14 в них составляет 26% от его количества в живом организме.

Похожие:

	Практическое применении циклоиды в различных областях жизни и деятельности Цель научной работы: изучить замечательную кривую циклоиду и найти для нее практическое применение в различных областях жизни		Тема урока: Иррациональные уравнения и неравенства Цель урока – обобщить основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств; повторить свойства показательной и логарифмической...
	Урок математики в 6 классе. Тема «Пропорция» Обратить особое внимание учащихся на применение пропорции в различных областях деятельности, важность изучения указанной темы для...		Уроках математики Учитель математики моу «Гимназия имени М. М. Вахитова... Информационные технологии находят свое применение в различных предметных областях на всех возрастных уровнях, помогая лучшему усвоению...
	Программа создана на основе «Программы специальных (коррекционных)... Домоводство — прикладная наука. Знания, приобретенные учащимися при изучении математики, русского языка, чтения, естествознания,...		Государственное образовательное учреждение высшего профессионального... Теория функций комплексной переменной является одним из заключительных разделов общего курса высшей математики, изучаемой студентами...
	Урока: Повторить и систематизировать способы решения показательных... Формировать умение работать самостоятельно, выбирать рациональное решение, умение обобщать, отличать один способ решения от другого,...		Понятие вектора Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась...
	Отчет по изучению на семинаре учителей шмо математики, информатики... «Формирование учебно-познавательных и информационных компетенций на уроках математики, информатики и естествознания»		Урок обобщения и систематизации знаний. По основному способу проведения Урок – деловая игра по теме: «Применение производной в различных областях науки»
	8. обыкновенные дифференциальные уравнения Многие задачи естествознания после соответствующих упрощений сводятся к решению уравнений, содержащих функции одного или нескольких...		Исследовательская работа математика в различных сферах жизнедеятельности Было дано понятие прикладной математики и ее основных составляющих. С помощью математических методов и моделей было охарактеризовано...
	Урока математики в 5 классе мкоу «Берёзовская сш» «Сложение и вычитания смешанных чисел», и усовершенствовать навыки сложения продолжать осуществлять перенос теоретических знаний...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Информационные технологии находят свое применение в различных предметных областях на всех возрастных уровнях, помогая лучшему усвоению,...
	Программа учебной дисциплины «Математическое моделирование в современном естествознании» Ознакомление слушателей с проблемой математического моделирования в различных областях естествознания на основе обобщенного понятия...		Урока: Применение математических функций при создании Flash анимаций Тема учебного занятия: Применение математических функций при создании Flash анимаций