Практическое применение логарифмической и показательной функций в различных областях естествознания и математики
Скачать 210.29 Kb.
|
Решение. Пусть изначально изотопа C14 было m, получим q = m, t = 5760, p = 1/2, B = 0,26m, и значит,  Возраст останков мамонта составляет примерно 11200 лет.Логарифмы «на слуху» и в ухе Когда мы слышим игру музыкальных инструментов или пение артиста, то вряд ли задумываемся о природе звука, положенного в основу любого музыкального действия. Одно из наиболее важных понятий акустики — тон, представляющий собой непосредственное восприятие колебаний, возникающих при звучании струны, человеческого голоса или других источников звука. Мы слышим звук во время одновременного действия нескольких тонов, частоты которых находятся в простых целочисленных отношениях. Сами звуки различаются по высоте, которая зависит от частоты колебаний струны. Для того чтобы понять, как человек ощущает звук, надо начать с описания уха (рис.1).  Рис.1.Схема строения уха человека: 1 — наружный слуховой проход; 2 — барабанная перепонка; 3 — полость среднего уха (барабанная полость); 4 — молоточек; 5 — наковальня; 6 — стремечко; 7 — полукружные каналы; 8 — преддверие; 9 — улитка; 10 — овальное окно; 11 — евстахиева труба. Рассматривая устройство уха, можно заметить орган, который называется улиткой. Название вполне оправдано, так как форма этой части действительно напоминает улитку. Она напоминает спирально закрученную трубку. Контур «улитки» можно соотнести с логарифмической спиралью в математике. Логарифмическая спираль  У логарифмической спирали все время выдерживается постоянный угол относительно оси (раковина улитки).Первым ученым, открывшим эту удивительную кривую, был Рене Декарт (1596—1650).  Спирали, встречающиеся в природе, чаще всего бывают логарифмическими. Раковины наутилуса и улитки, соцветия маргаритки и подсолнечника, шишки сосны и паутина, сплетаемая одним из наиболее распространенных пауков, эпейра. Наиболее впечатляющим примером является спиральная структура галактик. И этот факт представляет не меньшую загадку, чем проблема их строения. Галактики состоят из горячих звезд и скоплений газа, которые в результате вращения галактика распределяются вдоль ветвей логарифмической спирали. У центра галактики ветви спирали вращаются быстрее, чем на границе, то есть они должны были бы быстро раскручиваться, и даже уничтожиться. Однако галактики, как правило, сохраняют спиральную структуру, что говорит о том, что ветви вовсе не раскручиваются. Сила звука - это количество звуковой энергии, проходящей через единицу поверхности в единицу времени. Эта физическая величина не выражает величины нашего звукового ощущения- громкости. Если мы будем слушать звуки различных частот, но одинаковой силы, то они покажутся нам отличающимися по громкости. Такое явление объясняется разной чувствительностью нашего уха к звукам различной частоты. В  1846г. физиолог Вебер установил зависимость между ощущением и раздражением, вызывающим это ощущение. Им было доказано, что при едва заметном приросте ощущения отношение прироста раздражения к его первоначальной величине всегда остается постоянным. Названное отношение можно выразить в процентах. Вебер заметил, что прирост громкости (слухового восприятия) получится при увеличении силы звука на 10%. В  дальнейшем (в 1860г.) уже другой ученый – Фехнер подверг закон Вебера математической обработке. По результатам исследования был сформулирован общий психофизический закон Вебера - Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения: S=k lg J/J0, где S – ощущение, J0 – первоначальное раздражение, J –последующее раздражение, k – коэффициент пропорциональности. Человеческое ухо способно воспринимать звуки, сила которых может изменяться в миллиарды раз. Единицей измерения силы звука является бел. Однако чаще всего пользуются децибелом – единицей измерения, которая в 10 раз меньше бела.   Логарифмы и равномерная темперация дие́з — это знак альтерации, обозначающий повышение стоящей справа от него ноты на один полутон Ко́мма - один из наименьших музыкальных интервалов, На протяжении многих столетий существует так называемая пифагорова комма античной гаммы. В пифагоровой музыкальной гамме целый тон делился на два неравных полутона. А в новом, 12-ступенном строе октава стала состоять из 12 равных полутонов: «  до1» - «до-диез»; «до-диез» - «ре»; «ре» - «ре-диез»; «ре-диез» - «ми»; «ми» - «фа»; « «фа» - «фа-диез»; «фа-диез» - «соль»; «соль» - «соль-диез»; «соль-диез» - «ля»; «ля» - «ля-диез»; «ля-диез» - «си»; «си» - «до 2».На клавиатуре фортепиано каждая октава разделена на основные тоны и «диезы» соответственно белыми и черными клавишами. Известно, что частота верхнего звука октавы больше частоты ее нижнего звука в 2 раза, а при переходе к каждому из 12 полутонов частота увеличивается в х раз. Эти условия дают возможность составить уравнение: х12=2 или х=212. Н   о с какого звука начать? Начнем, конечно, с «ля» первой октавы. С ним связана следующая легенда. Очень давно у древнеегипетского города Фивы каждое утро этот звук издавала колоссальная статуя Мемнона. Звучавшее «ля» давало возможность музыкантам получить чистый настрой струн своих инструментов.Позже люди научились получать звук «ля» с помощью специального прибора – камертона. Камертон служит эталоном высоты звука. Он состоит из стального стержня прямоугольного или квадратного сечения, согнутого U – образно так, что две его ветви идут параллельно. Если камертон укрепить на открытом с одной стороны деревянном ящике, полость которого настроена в резонанс с его собственным тоном, то звук будет особенно усиливаться, станет чистым и хорошо слышимым. Камертон не использовался в качестве музыкального инструмента (разве может музыкальный инструмент издавать только один звук?). Этот прибор служит для получения нормального тона для настройки музыкальных инструментов. Итак, зная частоту звука «ля» и используя коэффициент, 212можно получить все частоты звуков первой октавы фортепиано. Например, частота звука «ля-диез» равна 440*212 =466,16 Гц Помимо частот звуков равномерно темперированной гаммы запишем еще и их логарифмы по основанию 2, а также логарифмы по тому же основанию частот соответствующих интервалов гаммы, т.е. от звука «до» (его частота обозначена через f0) до данного звука. Любую частоту в табл. 2 обозначим через fk , таким образом, k = 0, 1…,12. В четвертом столбце таблицы 2 на первом месте получим:( формула 1).На втором месте – логарифм отношения частот звуков «до»-«до-диез»(это так называемая малая секунда). На третьем месте - логарифм отношения частот звуков «до»-«ре» (большая секунда). На пятом - логарифм отношения частот звуков «до»-«ми» (большая терция): Свойство логарифмов: логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел. Например, чтобы получить логарифм интервала кварта («до» - «фа»), достаточно найти разность: 8,448-8,031=0,417 Итак , логарифмы отношений частот весьма точно совпадают с разделением октавы на интервалы , равные 1/12 ,которые соответствуют полутонам. Таким образом, два равных полутона стали почти точно составлять целый тон. С помощью 12-ступенной шкалы можно построить интервалы, которые наиболее распространены в музыке. Среди них октава, квинта, кварта, секста, терция, секунда, септима. Измерение интервалов в долях такой крупной единицы, как октава, устраивает музыкантов, но далеко не достаточно для акустиков. Они придумали себе более мелкую единицу. Т  акой единицей, по предположению английского акустика Эллиса, стал цент, равный 1/100 темперированного полутона или 1/1200 октавы. Применение центов используется в музыкальных опытах, которые приводят к созданию все новых и совершенных музыкальных инструментов.Если принять в качестве стандартной высоты основного тона музыкальной настройки частоту звука «ля»,равную 440 Гц, то частоту любого другого тона можно выразить следующими формулами: В октавах (формула 2) В полутонах (формула 3(вписать формулы) В центах (формула 4) Надо сказать, что он не сразу был принят музыкантами. Да и математики того времени возражали против нововведения. Музыкантов не убеждала даже возможность модулирования(перехода в другую тональность) в новом строе. Они предпочитали держаться за старые способы настройки инструментов. А математикам казалась необоснованной важная роль логарифмов в расчетах гаммы. Но всех сомневающихся убедил гениальный немецкий музыкант Иоганн Себастьян Бах. История открытия природы звука, закономерности равномерной музыкальной темперации – яркие свидетельства того, как тесно переплетены математика и музыка Логарифмы в физике Разделы физики (в которых выявлено применение логарифмов)
АКУСТИКА Белл обнаружил, что порог слышимости ребенка составляет около 10-12 Вт/м2, а уровень, при котором возникают болевые ощущения - около 10 Вт/м2. Таким образом, диапазон громкости, нормально воспринимаемый человеком, составляет 13 порядков! ДЕЦИБЕЛ - десятая часть бела, безразмерной единицы для измерения отношения некоторых величин (например, энергетических — мощности и энергии или силовых — напряжения и силы тока) по логарифмической шкале. Шкала звуковой мощности Исходя из полученных значений, Белл определил шкалу звуковой мощности от 0 до 13. Ощущение громкости базируется на логарифмической шкале уровня мощности, Преобразование между мощностью и громкостью по шкале Белла выглядит следующим образом: громкость (в белах) = lg(P1/P0), где P0 - порог слышимости звука. Белл стал фактически стандартной единицей измерения логарифма отношения двух энергетических уровней: отношение, выраженное в белах, есть lg(P1/P0), т.е. увеличение на 3 бела соответствует увеличению в 1000 раз. Если новое значение убывает, то логарифм отношения становится отрицательным. Чтобы сделать обратное преобразование необходимо 10 возвести в степень, равную белам. Уровень звукового давления (англ. SPL, Sound Pressure Level) — измеренное по относительной шкале значение звукового давления, отнесённое к опорному давлению = 20 мкПа, соответствующему порогу слышимости синусоидальной звуковой волны частотой 1 кГц: дБ.  Уровни звукового давления от различных источников
 Задача №8 Во сколько раз возрастет громкость звука, если вместо одной скрипки будут играть десять? Решение. если на скрипке исполняется определенная нота с уровнем звукового давления L1 = 60 дБ с частотой 880 Гц (Ля второй октавы), это, как следует из кривых равной громкости (Рис. 1), соответствует уровню громкости Ls = 60 фон. Если теперь будут вместе играть десять скрипок, то создаваемая ими громкость определяется следующим образом: интенсивность звука одной скрипки I1, интенсивность звука десяти скрипок Iсум = 10I1 (интенсивности складываются). При этом суммарный уровень интенсивности равен: 10lgIсум/I0 = 10lg 10I1/I0 = 10lgI1/I0 + 10lg10 = =10lgI1/I0 + 10 дБ(2). Если теперь учесть, что интенсивность звука пропорциональна квадрату звукового давления, то получим: 10 lg Iсум/I0 = 10lg p2/p02 = 20 lg pсум/p0. Из соотношения (2) получается: 20lg pсум/р0 = 20lg p1/p0 + 10 дБ, т.е. суммарный уровень звукового давления увеличится на 10 дБ: Lp=L1+10 дБ. Поскольку начальный уровень звукового давления был 60 дБ, то суммарный уровень звукового давления будет 70 дБ, что соответствует уровню громкости 70 фон (рисунок 5), отсюда по формуле (1) можно рассчитать громкость, она равна 8 сон. Ответ: когда вместо одной скрипки (или любого другого источника сигнала) будут играть десять скрипок, громкость вырастет только в два раза (от 4 сон до 8 сон). PS: Умение решать такие задачи необходимо в технологии звукозаписи. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА Примеры применения:
вывод Логарифмы применяются для измерения энергетических (мощность, энергия) или силовых (напряжение, сила тока) величин. Эти величины встречаются практически во всех разделах физики. В момент причаливания корабля к пристани, для того чтобы его остановить , используют следующий прием. С судна на пристань бросают канат, который оборачивают около тумбы, после чего достаточно усилий и одного человека, чтобы под действием силы трения остановить даже очень большой корабль. Не вдаваясь в физику, будем считать, что уравновешивание силы корабля и человека происходит по закону F=F0x3n, где F – сила корабля, F0 – сила человека, а n – число витков. Найти, сколько следует сделать витков каната, чтобы человек с приложением силы 8H смог остановить у причала корабль с силой 120H. Совершенно очевидно, что для ответа на поставленный вопрос нам необходимо найти n из уравнения 120=8х3n. Полученный математический результат означает, что необходимо сделать 3(не меньше) оборота каната вокруг тумбы. Разумеется, на практике никто логарифмов не считает, и, как правило, при причаливании корабля человек накручивает количество витков, исходя из своего опыта. Однако это не означает, что так будет всегда: возможно появление нестандартных ситуаций, а для того чтобы их спрогнозировать и дать соответствующую рекомендацию, нужны знания, а не только опыт.  |
Похожие:
 | Практическое применении циклоиды в различных областях жизни и деятельности Цель научной работы: изучить замечательную кривую циклоиду и найти для нее практическое применение в различных областях жизни | | Тема урока: Иррациональные уравнения и неравенства Цель урока – обобщить основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств; повторить свойства показательной и логарифмической... |
 | Урок математики в 6 классе. Тема «Пропорция» Обратить особое внимание учащихся на применение пропорции в различных областях деятельности, важность изучения указанной темы для... | | Уроках математики Учитель математики моу «Гимназия имени М. М. Вахитова... Информационные технологии находят свое применение в различных предметных областях на всех возрастных уровнях, помогая лучшему усвоению... |
| Программа создана на основе «Программы специальных (коррекционных)... Домоводство — прикладная наука. Знания, приобретенные учащимися при изучении математики, русского языка, чтения, естествознания,... | | Государственное образовательное учреждение высшего профессионального... Теория функций комплексной переменной является одним из заключительных разделов общего курса высшей математики, изучаемой студентами... |
| Урока: Повторить и систематизировать способы решения показательных... Формировать умение работать самостоятельно, выбирать рациональное решение, умение обобщать, отличать один способ решения от другого,... | | Понятие вектора Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась... |
| Отчет по изучению на семинаре учителей шмо математики, информатики... «Формирование учебно-познавательных и информационных компетенций на уроках математики, информатики и естествознания» | | Урок обобщения и систематизации знаний. По основному способу проведения Урок – деловая игра по теме: «Применение производной в различных областях науки» |
| 8. обыкновенные дифференциальные уравнения Многие задачи естествознания после соответствующих упрощений сводятся к решению уравнений, содержащих функции одного или нескольких... | | Исследовательская работа математика в различных сферах жизнедеятельности Было дано понятие прикладной математики и ее основных составляющих. С помощью математических методов и моделей было охарактеризовано... |
| Урока математики в 5 классе мкоу «Берёзовская сш» «Сложение и вычитания смешанных чисел», и усовершенствовать навыки сложения продолжать осуществлять перенос теоретических знаний... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Информационные технологии находят свое применение в различных предметных областях на всех возрастных уровнях, помогая лучшему усвоению,... |
| Программа учебной дисциплины «Математическое моделирование в современном естествознании» Ознакомление слушателей с проблемой математического моделирования в различных областях естествознания на основе обобщенного понятия... | | Урока: Применение математических функций при создании Flash анимаций Тема учебного занятия: Применение математических функций при создании Flash анимаций |
