Практическое применение логарифмической и показательной функций в различных областях естествознания и математики
Скачать 210.29 Kb.
|
Логарифмы в географии «Без знания математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления» Колмогоров. А.Н Для планирования развития городов, других населенных пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчеты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперед. Покажем, как в таких расчетах применяются логарифмы. Задача №9 По данным газеты «Зори» от 12 апреля 2011 года из доклада П. Е. Шишкина население в городе Старый Оскол за один год увеличилось с 256100 человек до 257135 человек. Через сколько лет население этого города увеличится в 1,5 раза? Решение. Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: A=a(1+p/100)x. Примем население города, которое было, за а=256100, тогда А=257135-это население, которое стало, х -неизвестно. р=((257135256100)/257135)100≈0,4% Сделав подстановку в формулу, получим 256100∙1,5=256100(1+0,4/100) x Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его. xlg 1,004=lg1,5, откуда x =lg 1,5 /lg1,004 Найдя по таблице lg1,5 и lg1,004 , получим x=0,18/0,002≈90. Ответ : примерно через 90 лет Задача №10 Какова была численность населения города 10 лет тому назад, если в настоящее время в городе проживает 300 тыс. человек, а ежегодный прирост населения составляет 3,5%? Решение. Численность населения изменяется по формуле: B=B0(1+p/100)x.В нашей задаче В=300 тыс.человек,р=3,5%,х=10 лет,B0-численность населения 10 лет тому назад. Тогда 300=B0(1+3,5/100)10; 300=B0*1,03510 B0=300/1,03510 ≈212,7 тысяч человек. Ответ: численность населения 10 лет назад равна 212,7 тыс. человек Используются логарифмы и в расчётах, связанных с изменением атмосферного давления при изменении высоты над уровнем моря. Задача №11 Зависимость давления атмосферы р ( в сантиметрах ртутного столба) от выраженной в километрах высоты h над уровнем моря выражается формулой p=76*2,7-h/8. Вычислим, каким будет атмосферное давление на вершине Эльбруса, высота которой 5,6 км? Решение. Вычислим атмосферное давление на вершине Эльбруса высотой 5,6 км: p=76*2,7-5,6/8 ≈37,92 мм рт. ст. Ответ: 37,92 мм рт. ст. Задача №12 Высота над уровнем моря вычисляется по формуле h=(8000/0,4343)lg(p0 /p), где p0 =760 мм рт.ст., р - давление на высоте h м. Давление в городе Старый Оскол на 15 апреля 2011 года равно 738 мм рт. ст. Вычислим, на какой высоте находится наш город. Решение. Найдем высоту, на которой находится наш город: h=(8000/0,4343)lg(760/738) ≈235 м Ответ: 235м. Мы не исчерпали всех примеров применения логарифмов, поскольку это сделать просто невозможно. Логарифмы находят самое широкое применение и при обработке результатов тестирований в психологии и социологии , в составлении прогнозов погоды и т.п. В заключении познакомимся еще с двумя интересными примерами применения логарифмов, но уже для нужд самой математики. При этом предварительно отметим неравенства, истинность которого мы докажем в курсе математического анализа. Итак, при всех натуральных значениях n , n>3 имеет место неравенство nlg(n+1)<(n+1)lgn. Задача №13 Сравнить числа 20032004 и 20042003. Решение. Нетрудно сообразить, что воспользоваться калькулятором или компьютером для их сравнения нам не удастся, поскольку такие числа просто в них «не влезут». Поэтому мы найдем десятичные логарифмы этих чисел и у нас получится: lg20032004 = 2004lg2003 = (2003+1)lg2003, lg20042003 = 2003lg2004 = 2003lg(2003+1). Поскольку 2003>3, то можно применить неравество nlg(n+1)<(n+1)lgn, которое позволит записать числовое неравенство (2003+1)lg2003> 2003lg(2003+1), откуда lg20032004> lg20042003, и значит, руководствуясь тем, что функция y=lgx возрастающая, окончательно получим: 20032004> 20042003. Ответ: 20032004> 20042003. Задача №14 Определите, сколько цифр содержится в десятичной записи числа 3030 . Решение Сначала поймем, что от нас требуется. Как известно, запись числа в десятичной системе является поразрядной ,следовательно ,нам необходимо найти число разрядов. А вот теперь главное: число разрядов ,например ,у чисел 243, 576, 831 одинаковое ,также оно будет одинаковым и у всех четырехзначных чисел ,и у всех пятизначных и т.д. значит ,мы можем искать количество цифр не в числе 3030,а в каком – нибудь другом числе ,более удобном ,лишь бы их количество разрядных единиц совпадало. но в такой ситуации самым удобным является число, представляющее собой степень десятки. Ведь эти числа всегда начинают группу и к тому же легко записываются: 10n.Так, двузначные числа начинаются с 10 ,трехзначные с 102 =100… единственное ,что нам пока не нравится ,это несовпадение разряда со степенью n ,ведь двузначным числам отвечает n =1,трехзначным n=2 и т.д. Поэтому мы, понимая ,что ищем число с большим количеством разрядов, заменим его на чисто вида 10n-1. Итак, задача сводится к нахождению наибольшего натурального значения n, при котором верно неравенство 3030 больше или равно 10n-1 , а решение таких неравенств уже пустяки. Вывод Рассмотренные нами примеры убедительно показывают, что знание математики ( в таком объёме) нужно не только человеку непосредственно связанного с математикой, но и людям многих других специальностей. Хочется обратить внимание на то, что умение проводить расчёты является очень важной составляющей экономического анализа, особенно в случаях с принятием оптимального решения. Процессы размножения микроорганизмов, рост колоний бактерий, радиоактивный распад элементов, изменение скоростей химических реакций и т.п. имеют практическое применение логарифмов и показательной функции. Итак, логарифмы имеют непосредственное отношение к физике, химии, биологии, экологии и многочисленным смежным наукам. Библиографический список: 1.Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ. 11 кл. :Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.- 11-е изд.,стереотип.-М.:Мнемозина, 2004.-288 с.: ил. 2.Самсонов П.И. Математика: Полный курс логарифмов. Естественно – научный профиль.-М.:Школьная Пресса, 2005.-208 с. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып. 32.) 3.Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. -М. :Школа-Пресс,1998.-160 с.:ил. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып. 7.) 4.Математика для школьников, №3,4 2010. |
Похожие:
 | Практическое применении циклоиды в различных областях жизни и деятельности Цель научной работы: изучить замечательную кривую циклоиду и найти для нее практическое применение в различных областях жизни | | Тема урока: Иррациональные уравнения и неравенства Цель урока – обобщить основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств; повторить свойства показательной и логарифмической... |
 | Урок математики в 6 классе. Тема «Пропорция» Обратить особое внимание учащихся на применение пропорции в различных областях деятельности, важность изучения указанной темы для... | | Уроках математики Учитель математики моу «Гимназия имени М. М. Вахитова... Информационные технологии находят свое применение в различных предметных областях на всех возрастных уровнях, помогая лучшему усвоению... |
| Программа создана на основе «Программы специальных (коррекционных)... Домоводство — прикладная наука. Знания, приобретенные учащимися при изучении математики, русского языка, чтения, естествознания,... | | Государственное образовательное учреждение высшего профессионального... Теория функций комплексной переменной является одним из заключительных разделов общего курса высшей математики, изучаемой студентами... |
| Урока: Повторить и систематизировать способы решения показательных... Формировать умение работать самостоятельно, выбирать рациональное решение, умение обобщать, отличать один способ решения от другого,... | | Понятие вектора Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась... |
| Отчет по изучению на семинаре учителей шмо математики, информатики... «Формирование учебно-познавательных и информационных компетенций на уроках математики, информатики и естествознания» | | Урок обобщения и систематизации знаний. По основному способу проведения Урок – деловая игра по теме: «Применение производной в различных областях науки» |
| 8. обыкновенные дифференциальные уравнения Многие задачи естествознания после соответствующих упрощений сводятся к решению уравнений, содержащих функции одного или нескольких... | | Исследовательская работа математика в различных сферах жизнедеятельности Было дано понятие прикладной математики и ее основных составляющих. С помощью математических методов и моделей было охарактеризовано... |
| Урока математики в 5 классе мкоу «Берёзовская сш» «Сложение и вычитания смешанных чисел», и усовершенствовать навыки сложения продолжать осуществлять перенос теоретических знаний... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Информационные технологии находят свое применение в различных предметных областях на всех возрастных уровнях, помогая лучшему усвоению,... |
| Программа учебной дисциплины «Математическое моделирование в современном естествознании» Ознакомление слушателей с проблемой математического моделирования в различных областях естествознания на основе обобщенного понятия... | | Урока: Применение математических функций при создании Flash анимаций Тема учебного занятия: Применение математических функций при создании Flash анимаций |
