Курс лекций по теоретической механике. Ч. 1 Спб.: Виту, 2002. Теоретическая механика. Динамика. Учебное пособие / А. С. Аистов, А. С. Баранова, Н. Ю. Трянина
Скачать 0.7 Mb.
|
Тема 13.Уравнения Лагранжа второго рода13.1. Принцип д’Аламбера − Лагранжа Принцип д’Аламбера ─ Лагранжа объединяет в себе принцип д’Аламбера и принцип Лагранжа. Рассмотрим механическую систему из n материальных точек, на которую наложены m идеальных голономных стационарных удерживающих связей. Для каждой точки запишем выражение принципа д’Аламбера:  Придадим точкам системы возможные перемещения  . Каждое из приведенных уравнений умножим на соответствующее возможное перемещение и просуммируем уравнения: Учтем, что  поскольку все связи идеальны.Получим уравнение, которые называют общим уравнением динамики:  (13.1) (13.2)Принцип д’Аламбера ─ Лагранжа При движении механической системы сумма возможных работ активных сил и сил инерции на любых возможных перемещениях равна нулю. Если система находится в равновесии и силы инерции отсутствуют, то уравнения (13.1) принимают вид общего уравнения статики (11.1):  Таким образом, принцип возможных перемещений Лагранжа является частным случаем принципа д’Аламбера ─ Лагранжа. Если в уравнении (13.1) вариации координат выразить через вариации обобщенных координат, используя для этого формулу (10.4):  , k=1, 2, …, n, получим следующее соотношение:  ,в котором первое слагаемое в скобке является обобщенной силой, соответствующей j-й обобщенной координате:  ,а второе слагаемое, равное  (13.3)назовем обобщенной силой инерции для j-й обобщенной координаты. При этих обозначениях уравнение принципа д’Аламбера-Лагранжа примет вид:  (13.4)Поскольку обобщенные координаты не зависят друг от друга, каждую из них можно менять, не меняя при этом остальных. Зафиксировав все обобщенные координаты, кроме одной  , получим уравнение .Общее число уравнений, которые таким образом можно сформировать, равно s. Вместе они представляют выражение принципа д’Аламбера-Лагранжа в обобщенных силах:  . (13.5)Принцип д’Аламбера ─ Лагранжа в обобщенных силах При движении механической системы сумма обобщенной активной силы и обобщенной силы инерции по каждой обобщенной координате равна нулю. Примечание: Если система находится в равновесии, то силы инерции отсутствуют и уравнение (13.5) приобретает вид принципа Лагранжа в обобщенных силах (11.2):  .То есть, принцип Лагранжа является частным случаем принципа д’Аламбера-Лагранжа. 13.2. Уравнения Лагранжа второго рода Лагранжем были предложены две формулировки уравнений для описания движения механических систем. Уравнения Лагранжа первого рода мы не рассматриваем, поскольку они не получили широкого распространения. Уравнения Лагранжа второго рода, наоборот, получили широчайшее применение, поскольку обладают целым рядом достоинств:
Для формулировки этих уравнений Лагранж и Эйлер выразили обобщенные силы инерции через кинетическую энергию системы, получив выражение:  . После подстановки этих уравнений в уравнения принципа Лагранжа-Даламбера (13.5), получаем уравнения, которые называют уравнениями Лагранжа II-го рода:  . (13.6)После подстановки в них выражения кинетической энергии  они приобретают вид обыкновенных дифференциальных уравнений II-го рода, в которых неизвестными являются обобщенные координаты.13.3. Уравнения Лагранжа второго рода для консервативных механических систем Если все действующие на механическую систему силы являются потенциальными, то обобщенные силы определяются формулой  . Тогда уравнение Лагранжа II-го рода принимает вид  . Если учесть, что потенциальная энергия системы не зависит от скоростей, то есть  , то полученные уравнения можно переписать так: .Ведем обозначение  (13.7)И вновь запишем уравнения:  . (13.8)Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа второго рода для консервативных систем. Функция  называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом.Тема 14.Удар14.1. Ударный импульс Явление, при котором скорости точек тела за малый промежуток времени меняются на конечную величину, называется ударом. Ударный импульс  уд =  уд dt =  (14.1)отличается от импульса неударных сил тем, что время удара τ мало, ударные силы Fуд велики, а Sуд принимает конечное значение. Поэтому, изучая удар, будем пренебрегать:
Теорема об изменении количества движения в случае удара имеет вид:  (14.2)А теорема об изменении кинетического момента системы относительно некоторой точки А имеет вид:  =  Тогда, для случая удара, с учетом (14.1) получим:  -  =  (14.3)14.2. Удар материальной точки о поверхность Пусть точка массой m с некоторой высоты Н падает на поверхность и отскакивает на высоту h (рис. 14.1, а). Скорость точки при ударе о поверхность равна ѵ, а при отскоке от поверхности u (рис. 14.1, б). Очевидно, что u < ѵ. Отношение k =  называют коэффициентом восстановления при ударе. Его можно найти экспериментально. Согласно формуле Галилея,  =  , u =  ,откуда k =  . (14.4)Коэффициент восстановления меняется в пределах 0 ≤ k ≤ 1. Теорема об изменении количества движения в случае удара материальной точки массой m о поверхность запишется следующим образом mu - mv = Sуд (14.5)  Рис. 14.1 Рис. 14.2 14.3. Косой удар ПРИМЕР Материальная точка падает со скоростью на гладкую плоскость под углом α. Под каким углом β (рис. 14.2) отскочит точка от поверхности, если коэффициент восстановления равен k?Решение Запишем закон изменения количества движения точки в проекции на плоскость (ось х). Так как плоскость гладкая, горизонтальных сил и их импульсов нет. Закон изменения имеет форму закона сохранения: mux - m x = 0 (14.6)Так как u x = u  , x =  , то u =.Модули нормальных проекций скоростей связаны коэффициентом восстановления: k =  (14.7)Из (14.6) и (14.7) следует, что tg β = (1/k) tg  . При k = 0 получим, что β = π/2, то есть точка покатится по поверхности (мяч, брошенный в песок). |
Похожие:
 | Конспект лекций по высшей математике. В 2 частях. Часть М.: Айрис-пресс,... Баранова Е. С., Васильева Н. В., Федотов В. Л. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты. Учебное пособие. — Спб:... |  | Прикладная математика Загузов И. С.,Головинский В. Н., Федечев А. Ф. и др. Введение в специальность (Механика). Часть II. Механика деформируемого твердого... |
| Учебное пособие С 59 Общая теория социальной коммуникации: Учебное пособие. — Спб.: Изд-во Михайлова В. А., 2002 г. — 461 с | | Учебное пособие Тамбов 2002 г. Авторы составители: Кузьмина Н. В,... Учебное пособие «Создание Web-сайтов» предназначено для слушателей курсов повышения квалификации на базе Тамбовского рц фио по программе... |
| Программа дисциплины дпп. Ф. 02. «Основы теоретической физики. Квантовая механика» Курс квантовой механики предназначен для студентов группы углубленной научной подготовки, планирующих выполнение курсовых и дипломных... | | Курс лекций по психодиагностике -херсон, хф омурч «Украина», 2008 г. 155 стр Спб.: Питер, 2001. – 688 с. (Серия «Мастера психологии»); Психологическая диагностика: Учебник для вузов/Под ред. М. К. Акимовой,... |
| Б 9 Теоретическая и техническая механика Г 52 Теоретическая механика. Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов 2 курса заочной формы обучения... | | Теоретическая механика введение в теоретическую механику Г 52 Теоретическая механика. Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов 2 курса заочной формы обучения... |
| Дисциплины: Теоретическая механика Д. ф м н профессор Жуковский Владимир Чеславович, кафедра теоретической физики физического факультета мгу,, +7(495)939–31–77 | | Конспект лекций по высшей математике М, Айрис,2005 Беклемишева Л.... Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Лекции и практикум: Учебное пособие / Под... |
| Практикум по финансовому менеджменту. Конспект лекций с задачами... Гончарук О. В., Кныш М. И., Шопенко Д. В. Управление финансами на предприятии Учебное пособие. Спб.: Дмитрий Буланин, 2006. – 450... | | Курс лекций для вузов. Спб.: Лань, М.: Омега-Л, 2004. 224 с Михайловский В. Н. Концепции современного естествознания( курсов лекций для вузов [Текст]). – Спб.: Ивэсэп, Знание, 1997. – 157 с.... |
| Курс лекций по психологии и педагогике Часть I учебное пособие Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М. В. Ломоносова 1 | | Курс лекций по психологии и педагогике Часть III учебное пособие Лекция 12. Основные вопросы управления образованием и организации учебного процесса 72 |
| Курс лекций по физической и коллоидной химии с Учебное пособие предназначено для студентов и преподавателей тгму. Душанбе. Ирфон, 2011 г., 198 с | | А. О. Баранов макроэкономика II курс лекций Учебное пособие Новосибирск 2003 Инвестиции в основной капитал как один из факторов долгосрочного экономического роста 6 |
