Курс лекций по теоретической механике. Ч. 1 Спб.: Виту, 2002. Теоретическая механика. Динамика. Учебное пособие / А. С. Аистов, А. С. Баранова, Н. Ю. Трянина
Скачать 0.7 Mb.
|
Тема 2.Динамика материальной точки2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки Пусть материальная точка движется в инерциальной системе отсчета. Если движение задано в векторной форме, то  ,и тогда уравнение (1.1) примет вид, который называют дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме.  , (2.1)в котором сила может зависеть от положения точки, от скорости точки и от времени, то есть:  .Спроектировав векторное равенство (2.1) на оси, получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в координатной (аналитической) форме:  . (2.2)Дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественных осях могут быть получены с помощью формул кинематики, после чего они приобретают следующий вид:  . (2.3)2.2. Первая задача динамики Если закон движения задан в векторной форме, выражение для вектора силы могут быть найдены путем дифференцирования радиус-вектора по формулам (2.1). Если закон движения задан в аналитической форме, проекции силы на декартовые оси могут быть найдены путем дифференцирования координат по формулам (2.2). Если закон движения задан в естественной форме, проекции силы на оси естественного трехгранника могут быть найдены путем дифференцирования по (2.3). ПРИМЕР Движение точки массой  (кг) в плоскости происходит в соответствии с уравнениями:  где С1, С2, С3 - некоторые постоянные величины. Найти силу, вызывающую это движение. Решение Движение точки задано координатным способом, поэтому применим уравнения (2.2), учитывая, что:  Тогда  Ответ: Действующая сила равна по модулю  и направлена по оси x .2.3. Вторая задача динамики Вторая задача динамики заключается в определении движения под действием заданных сил. Ее решение сводится к интегрированию дифференциальных уравнений (2.1), (2.2) или (2.3). Пусть, движение точки описывается в декартовых осях. Тогда система уравнений (2.2)  имеет общее решение в виде  .При решении задач обычно принимают, что  , а  − постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий, описывающих состояние материальной точки в начальный момент времени  .В качестве начальных условий задаются начальное положение точки и ее начальная скорость:  Из этих шести уравнений определяются шесть постоянных интегрирования. ПРИМЕР Материальную точку бросают под углом α к горизонту с начальной скоростью  Найти уравнение движения материальной точки. Сопротивление воздуха и изменение с высотой силы тяжести не учитывать. Рис. 2.1 Решение
 (*)
 , откуда получаем: 
 (**)
 ,и затем подставим полученное выражение во второе уравнение:  В полученное соотношение не входит время. Оно представляет собой уравнение траектории материальной точки. Ответ: Уравнение траектории точки: 2.4. Интегрирование уравнения прямолинейного движения Пусть материальная точка движется в положительном направлении оси  . Тогда  ,  .Запишем дифференциальное уравнение движения  и рассмотрим способы его интегрирования с учетом начальных условий  для трех частных случаев:
Частный случай 1: сила зависит от времени:  .Умножив обе части уравнения на  , разделим переменные  и  : При интегрировании уравнения можно пользоваться определенными или неопределенными интегралами. Используем неопределенные интегралы:  , откуда  ,где  определяется из начального условия.Используем определенные интегралы:  Интегрируя и выполняя подстановку, получим:  .При использовании определенных интегралов определение постоянных интегрирования не требуется, так как после взятия интеграла и подстановки величину скорости можно будет выразить непосредственно. Частный случай 2: сила зависит от скорости:  .Умножив обе части равенства на  , получим Используем неопределенные интегралы:  , откуда  ,где определяется из начального условия.Используем определенные интегралы:  или  .После взятия интеграла и подстановки пределов получим выражение для , не содержащее постоянных интегрирования.Частный случай 3: сила зависит от координаты:  .Выполним замену  , получим уравнение .Умножим обе части уравнения на  : .Используем неопределенные интегралы:  , откуда  .Постоянная определяется из начального условия.Используем определенные интегралы:  , откуда  После взятия интеграла и подстановки пределов получим выражение для , не содержащее постоянных интегрирования.Примечание Если требуется получить не только выражение скорости  , но и выражение для координаты точки  , то описанный процесс инт ерирования следует повторить. |
Похожие:
 | Конспект лекций по высшей математике. В 2 частях. Часть М.: Айрис-пресс,... Баранова Е. С., Васильева Н. В., Федотов В. Л. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты. Учебное пособие. — Спб:... |  | Прикладная математика Загузов И. С.,Головинский В. Н., Федечев А. Ф. и др. Введение в специальность (Механика). Часть II. Механика деформируемого твердого... |
| Учебное пособие С 59 Общая теория социальной коммуникации: Учебное пособие. — Спб.: Изд-во Михайлова В. А., 2002 г. — 461 с | | Учебное пособие Тамбов 2002 г. Авторы составители: Кузьмина Н. В,... Учебное пособие «Создание Web-сайтов» предназначено для слушателей курсов повышения квалификации на базе Тамбовского рц фио по программе... |
| Программа дисциплины дпп. Ф. 02. «Основы теоретической физики. Квантовая механика» Курс квантовой механики предназначен для студентов группы углубленной научной подготовки, планирующих выполнение курсовых и дипломных... | | Курс лекций по психодиагностике -херсон, хф омурч «Украина», 2008 г. 155 стр Спб.: Питер, 2001. – 688 с. (Серия «Мастера психологии»); Психологическая диагностика: Учебник для вузов/Под ред. М. К. Акимовой,... |
| Б 9 Теоретическая и техническая механика Г 52 Теоретическая механика. Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов 2 курса заочной формы обучения... | | Теоретическая механика введение в теоретическую механику Г 52 Теоретическая механика. Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов 2 курса заочной формы обучения... |
| Дисциплины: Теоретическая механика Д. ф м н профессор Жуковский Владимир Чеславович, кафедра теоретической физики физического факультета мгу,, +7(495)939–31–77 | | Конспект лекций по высшей математике М, Айрис,2005 Беклемишева Л.... Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Лекции и практикум: Учебное пособие / Под... |
| Практикум по финансовому менеджменту. Конспект лекций с задачами... Гончарук О. В., Кныш М. И., Шопенко Д. В. Управление финансами на предприятии Учебное пособие. Спб.: Дмитрий Буланин, 2006. – 450... | | Курс лекций для вузов. Спб.: Лань, М.: Омега-Л, 2004. 224 с Михайловский В. Н. Концепции современного естествознания( курсов лекций для вузов [Текст]). – Спб.: Ивэсэп, Знание, 1997. – 157 с.... |
| Курс лекций по психологии и педагогике Часть I учебное пособие Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М. В. Ломоносова 1 | | Курс лекций по психологии и педагогике Часть III учебное пособие Лекция 12. Основные вопросы управления образованием и организации учебного процесса 72 |
| Курс лекций по физической и коллоидной химии с Учебное пособие предназначено для студентов и преподавателей тгму. Душанбе. Ирфон, 2011 г., 198 с | | А. О. Баранов макроэкономика II курс лекций Учебное пособие Новосибирск 2003 Инвестиции в основной капитал как один из факторов долгосрочного экономического роста 6 |
