Курс лекций по теоретической механике. Ч. 1 Спб.: Виту, 2002. Теоретическая механика. Динамика. Учебное пособие / А. С. Аистов, А. С. Баранова, Н. Ю. Трянина
Скачать 0.7 Mb.
|
Тема 5.Моменты инерции тела и механической системы5.1. Моменты инерции относительно осей Установлено, что мерой инертности материального тела является его масса. Но это справедливо только для поступательного движения. Для вращательного движения мерой инертности является величина, которая называется моментом инерции. Моменты инерции точки Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси (осевым моментом инерции) называется величина, равная произведению массы точки на квадрат ее расстояния до этой оси. Момент инерции принято обозначать буквами I или J, указывая при этом индекс соответствующей оси. Пусть точка  в системе Oxyz (рис. 5.1) имеет координаты  и массу m. Тогда ее момент инерции относительно оси z будет равен:   Рис. 5.1 Найдем моменты инерции этой точки относительно координатных осей. Так как  , то  (5.1)Аналогично получаются формулы относительно двух других осей:   Видно, что момент инерции всегда положительная величина. Ее размерность  .Механическая система из n материальных точек Рассмотрим теперь механическую систему, состоящую из n точек. Пусть k-я точка имеет массу  и координаты  Тогда моменты инерции механической системы можно вычислить путем суммирования моментов инерции входящих в нее точек:  , , (5.2) .Материальное тело Рассмотрим твердое тело, в котором масса распределена непрерывно. В этом случае тело следует поделить на бесконечно малые элементы объема с массами и вычислять моменты инерции путем интегрирования по всему объему тела:   (5.3) Радиус инерции Момент инерции твердого тела относительно оси имеет размерность произведения массы на квадрат некоторой линейной величины. Представим его в виде  , (5.4)где  - масса тела,  - радиус инерции тела относительно оси  .Радиус инерции твердого тела относительно некоторой оси – это расстояние от оси до точки, в которой надо сконцентрировать массу тела, чтобы момент инерции этой точки относительно оси был равен моменту инерции тела. 5.2. Моменты инерции некоторых однородных тел. Ось, проходящая через центр масс твердого тела, называется центральной. Рассмотрим, каким образом вычисляются моменты инерции некоторых простейших материальных тел относительно центральных осей. 1. Момент инерции тонкого однородного стержня (рис. 5.2) Вычислим момент инерции однородного тонкого стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей через его середину (рис. 5.2). Масса единицы длины стержня равна  . Если выделить бесконечно малый элемент стержня длиной dx, лежащий на расстоянии x от оси Oz, то его масса будет ровна   Рис. 5.2 Момент инерции относительно оси z можно определить путем интегрирования:  (5.5)2.Тонкая однородная круглая пластина Моменты инерции других однородных тел различной формы выводятся аналогично с помощью интегрирования. Так момент инерции круглого однородного круглого диска массой m и радиуса  относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости (рис. 5.3, а) будет равен (5.6) 3.Круглый однородный цилиндр Момент инерции круглого кольца (цилиндра, трубы) массой m, которая равномерно распределена вдоль окружности радиуса  относительно оси, совпадающей с осью цилиндра (рис. 5.3, б), будет равен (5.7) Рис. 5.3. Примечания
5.3. Моменты инерции относительно параллельных осей При решении задач приходится вычислять моменты инерции тел относительно осей вращения, которые не проходят через центр масс. В этом случае применяют теорему Гюйгенса - Штайнера. ТЕОРЕМА Гюйгенса - Штайнера Момент инерции механической системы (тела) относительно некоторой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, и величины равной произведению массы системы на квадрат расстояния между осями:  (5.8)Доказательство Пусть имеются две системы координат:  и  , оси которых параллельны друг другу. Начало системы , находится в центре масс механической системы. Ось отстоит от оси  на расстояние d. Рис. 5.4 Для произвольной точки системы ее координаты при переходе из одной системы в другую изменятся следующим образом: Вычислим момент инерции системы относительно оси : Пусть  ─ масса системы.По определению центра масс  (§ 3.2).Но координата центра масс  в системе  равна нулю. По той причине второе слагаемое равно нулю:  Сумма первого и последнего слагаемых равна моменту инерции относительно оси , проходящей через центр тяжести:  Третье слагаемое равно d2m. Окончательно получим:  Теорема доказана. Следствие из теоремы Изо всех моментов инерции относительно параллельных осей наименьшим будет момент инерции, вычисленный относительно центральной оси. ПРИМЕР Вычислить момент инерции тонкого однородного стержня массой m относительно оси z, проходящей через край стержня перпендикулярно к его оси.  Рис. 5.5 Решение Используем теорему Гюйгенса:  Ответ:  |
Похожие:
 | Конспект лекций по высшей математике. В 2 частях. Часть М.: Айрис-пресс,... Баранова Е. С., Васильева Н. В., Федотов В. Л. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты. Учебное пособие. — Спб:... |  | Прикладная математика Загузов И. С.,Головинский В. Н., Федечев А. Ф. и др. Введение в специальность (Механика). Часть II. Механика деформируемого твердого... |
| Учебное пособие С 59 Общая теория социальной коммуникации: Учебное пособие. — Спб.: Изд-во Михайлова В. А., 2002 г. — 461 с | | Учебное пособие Тамбов 2002 г. Авторы составители: Кузьмина Н. В,... Учебное пособие «Создание Web-сайтов» предназначено для слушателей курсов повышения квалификации на базе Тамбовского рц фио по программе... |
| Программа дисциплины дпп. Ф. 02. «Основы теоретической физики. Квантовая механика» Курс квантовой механики предназначен для студентов группы углубленной научной подготовки, планирующих выполнение курсовых и дипломных... | | Курс лекций по психодиагностике -херсон, хф омурч «Украина», 2008 г. 155 стр Спб.: Питер, 2001. – 688 с. (Серия «Мастера психологии»); Психологическая диагностика: Учебник для вузов/Под ред. М. К. Акимовой,... |
| Б 9 Теоретическая и техническая механика Г 52 Теоретическая механика. Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов 2 курса заочной формы обучения... | | Теоретическая механика введение в теоретическую механику Г 52 Теоретическая механика. Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов 2 курса заочной формы обучения... |
| Дисциплины: Теоретическая механика Д. ф м н профессор Жуковский Владимир Чеславович, кафедра теоретической физики физического факультета мгу,, +7(495)939–31–77 | | Конспект лекций по высшей математике М, Айрис,2005 Беклемишева Л.... Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Лекции и практикум: Учебное пособие / Под... |
| Практикум по финансовому менеджменту. Конспект лекций с задачами... Гончарук О. В., Кныш М. И., Шопенко Д. В. Управление финансами на предприятии Учебное пособие. Спб.: Дмитрий Буланин, 2006. – 450... | | Курс лекций для вузов. Спб.: Лань, М.: Омега-Л, 2004. 224 с Михайловский В. Н. Концепции современного естествознания( курсов лекций для вузов [Текст]). – Спб.: Ивэсэп, Знание, 1997. – 157 с.... |
| Курс лекций по психологии и педагогике Часть I учебное пособие Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М. В. Ломоносова 1 | | Курс лекций по психологии и педагогике Часть III учебное пособие Лекция 12. Основные вопросы управления образованием и организации учебного процесса 72 |
| Курс лекций по физической и коллоидной химии с Учебное пособие предназначено для студентов и преподавателей тгму. Душанбе. Ирфон, 2011 г., 198 с | | А. О. Баранов макроэкономика II курс лекций Учебное пособие Новосибирск 2003 Инвестиции в основной капитал как один из факторов долгосрочного экономического роста 6 |
