Курс лекций по теоретической механике. Ч. 1 Спб.: Виту, 2002. Теоретическая механика. Динамика. Учебное пособие / А. С. Аистов, А. С. Баранова, Н. Ю. Трянина

Скачать 0.7 Mb.

Название	Курс лекций по теоретической механике. Ч. 1 Спб.: Виту, 2002. Теоретическая механика. Динамика. Учебное пособие / А. С. Аистов, А. С. Баранова, Н. Ю. Трянина
страница	6/13
Дата публикации	16.09.2013
Размер	0.7 Mb.
Тип	Конспект

100-bal.ru > Математика > Конспект

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13

Тема 6.

Теорема об изменении кинетического момента

6.1. Кинетический момент

Теоремы о движении центра масс и об изменении количества движения описывают только поступательную часть движения твердого тела. Вращательную часть движения описывает теорема об изменении кинетического момента.

Введем понятия: момент количества движения и кинетический момент.

Величину

называют моментом силы

относительно точки О.

Момент количества движения относительно некоторой точки определяется аналогично, но вместо вектора силы берется вектор количества движения.

То есть:

моментом количества движения материальной точки относительно некоторого центра называется векторное произведение

(6.1)

а проекция этого вектора на некоторую ось z называется моментом количества движения материальной точки относительно этой оси

Рис. 6.1. Рис. 6.2.

Направление вектора кинетического момента количества движения относительно точки определяется по правилу правого винта.
Его модуль равен произведению количества движения на плечо (рис. 6.1):

_где_h_{– плечо вектора количества движения относительно точки О.}

_{Размерность модуля момента количества движения:}

Чтобы вычислить момент количества движения относительно оси надо :

Спроектировать вектор на плоскость перпендикулярную оси;
Модуль этой проекции (рис. 6.2) умножить на ее плечо относительно точки пересечения оси с плоскостью;
Добавить знак в зависимости от направления вектора.

В результате получим:

_(6.2)

_{Теперь введем понятие}_{кинетического момента}_.

_{Кинетическим моментом механической системы относительно некоторого центра О (или оси)}_{называется сумма моментов количеств движения всех точек данной системы относительного данного центра (или оси):}

_(6.3)

_(6.4)

_{Если точка О является началом системы координат, то спроектировав кинетический момент относительно центра О на оси, получим}_{кинетические моменты относительно координатных осей}_:

_(6.5)

Примечание

_{Если механическая система представляет собой твердое тело, то кинетические моменты должны определяться не суммированием, а путем интегрирования по объему.}

6.2. Кинетический момент вращающегося тела

Пусть материальное тело вращается относительно оси z с угловой скоростью

(рис. 6.3). Вычислим кинетический момент тела относительно оси вращения

.

Для этого выделим бесконечно малый элемент объема с массой

, который находится от оси вращения на расстоянии

. Его скорость будет равна

, а его кинетический момент определится по формуле:

_{Кинетический момент всего тела получим, проинтегрировав моменты количеств всех бесконечно малых объемов тела:}

_{где интеграл}

_{представляет собой осевой момент инерции .}

_{Таким образом,}_{кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению осевого момента инерции на угловую скорость:}

_(6.6)

Рис. 6.3.

6.3. Теорема об изменении кинетического момента

ТЕОРЕМА

Производная по времени от кинетического момента механической системы относительного некоторого центра (или оси) равна главному моменту внешних сил относительно этого же центра (или оси):

_(6.7)

или

. (6.8)

Доказательство

Рассмотрим одну материальную точку.

Запишем для нее основное уравнение динамики:

.

Помножим радиус-вектор точки на левую и правую части равенства:

.

В правой части

по определению, а в левой части

Вектор

параллелен вектору

поэтому

и мы получаем равенство

Для материальной точки теорема доказана.

Перейдем к механической системе.

Просуммируем полученные равенства для всех точек системы.

В левой части получим:

В правой части отделим моменты внешних сил от моментов внутренних сил:

Внутренние силы, как силы взаимодействия, попарно равны и противоположно направлены, и по этой причине

В результате получим равенство:

Теорема доказана.

Вывод из теоремы:

внутренние силы не могут изменить кинетический момент механической системы.

6.4. Дифференциальное уравнение вращательного движения

Предположим, что материальное тело вращается относительно оси

. По формуле (6.6) его кинетический момент будет равен

и тогда в соответствии с теоремой об изменении кинетического момента

Если тело в процессе вращения не изменяется, то

и мы получаем дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела:

, (6.9)

Если учесть, что

, уравнение (6.9) можно записать в виде

(6.10)

Из сравнения формулы (3.8) для поступательного движения и формулы (6.10) для вращательного движения видно, что при поступательном движении мерой инертности тела является его масса, а при вращательном − его момент инерции.

6.5. Случаи сохранения кинетического момента

Из теоремы об изменении кинетического момента следуют два положения.

Следствие 1

Если главный момент внешних сил механической системы относительно некоторого центра все время равен нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра остается неизменным.

Действительно, если

то

Следствие 2

Если главный момент внешних сил относительно какой-либо оси все время равен нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси остается неизменным.

Действительно, если

то

Если механическая система представляет собой одно неизменяемое твердое тело, то и поэтому , то есть тело вращается равномерно.
Если система изменяема, то из следует, что увеличение момента инерции вызывает уменьшение угловой скорости (и наоборот).
Если система состоит из двух (или нескольких) вращающихся тел с одной осью вращения, то из следует, что , и, следовательно, вращение одного тела будет вызывать вращение второго тела с угловой скоростью .

Рис. 6.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 13

Похожие:

	Конспект лекций по высшей математике. В 2 частях. Часть М.: Айрис-пресс,... Баранова Е. С., Васильева Н. В., Федотов В. Л. Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты. Учебное пособие. — Спб:...		Прикладная математика Загузов И. С.,Головинский В. Н., Федечев А. Ф. и др. Введение в специальность (Механика). Часть II. Механика деформируемого твердого...
	Учебное пособие С 59 Общая теория социальной коммуникации: Учебное пособие. — Спб.: Изд-во Михайлова В. А., 2002 г. — 461 с		Учебное пособие Тамбов 2002 г. Авторы составители: Кузьмина Н. В,... Учебное пособие «Создание Web-сайтов» предназначено для слушателей курсов повышения квалификации на базе Тамбовского рц фио по программе...
	Программа дисциплины дпп. Ф. 02. «Основы теоретической физики. Квантовая механика» Курс квантовой механики предназначен для студентов группы углубленной научной подготовки, планирующих выполнение курсовых и дипломных...		Курс лекций по психодиагностике -херсон, хф омурч «Украина», 2008 г. 155 стр Спб.: Питер, 2001. – 688 с. (Серия «Мастера психологии»); Психологическая диагностика: Учебник для вузов/Под ред. М. К. Акимовой,...
	Б 9 Теоретическая и техническая механика Г 52 Теоретическая механика. Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов 2 курса заочной формы обучения...		Теоретическая механика введение в теоретическую механику Г 52 Теоретическая механика. Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов 2 курса заочной формы обучения...
	Дисциплины: Теоретическая механика Д. ф м н профессор Жуковский Владимир Чеславович, кафедра теоретической физики физического факультета мгу,, +7(495)939–31–77		Конспект лекций по высшей математике М, Айрис,2005 Беклемишева Л.... Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Лекции и практикум: Учебное пособие / Под...
	Практикум по финансовому менеджменту. Конспект лекций с задачами... Гончарук О. В., Кныш М. И., Шопенко Д. В. Управление финансами на предприятии Учебное пособие. Спб.: Дмитрий Буланин, 2006. – 450...		Курс лекций для вузов. Спб.: Лань, М.: Омега-Л, 2004. 224 с Михайловский В. Н. Концепции современного естествознания( курсов лекций для вузов [Текст]). – Спб.: Ивэсэп, Знание, 1997. – 157 с....
	Курс лекций по психологии и педагогике Часть I учебное пособие Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М. В. Ломоносова 1		Курс лекций по психологии и педагогике Часть III учебное пособие Лекция 12. Основные вопросы управления образованием и организации учебного процесса 72
	Курс лекций по физической и коллоидной химии с Учебное пособие предназначено для студентов и преподавателей тгму. Душанбе. Ирфон, 2011 г., 198 с		А. О. Баранов макроэкономика II курс лекций Учебное пособие Новосибирск 2003 Инвестиции в основной капитал как один из факторов долгосрочного экономического роста 6

Школьные материалы