Методика работы с сюжетными задачами Краснова Людмила Геннадьевна, учитель математики моу «Лицей №2»

1) Какая реальная ситуация описана в тексте задачи?
- Работа двух бригад.
2) Назовите величины, участвующие в задаче «на работу».
- Объём работы, производительность, время выполнения всей работы. -

А

p I t
3)Какими формулами можно описать связи этих величин?

- А = р ∙ t; t = ; р = .

4) Найдите величины в условии задачи, позволяющие сравнить процессы работы двух бригад. Выберите одну из этих величин и охарактеризуйте её как результат математического действия.
- Две детали – разность производительностей второй и первой бригад. р - р= 2.
5) Что надо знать, чтобы найти производительность первой (второй) бригады?
- Объём работы и время выполнения всей работы. .

6) Что из этого известно и что неизвестно?
- Известен объём работы и неизвестно время выполнения всей работы.
7) Найдите данное в условии, позволяющее установить связь между временем работы первой и второй бригад.
- 3 часа
8) Что необходимо далее сделать, чтобы иметь возможность построить математическую модель задачи?
- Надо ввести переменную, обозначив ею время выполнения всей работы, например второй бригадой, и выразить через введённую переменную и данное «3 часа» время работы второй бригады.
9) Какую математическую модель данной ситуации мы получили?
- Уравнение. .
180х +180·3 – 180х = 2х+ 6х;

2х+ 6х - 180·3 = 0;

х+ 3х – 270 = 0;

х = 15; х = -16. х > 0.

Ответ: 15ч и 18ч.

II способ:

х дет. в час производительность I бригады;

х + 2 дет. в час производительность II бригады; х > 0.

;

180х + 360 – 180х = 3х + 6х;

х+ 2х – 120 = 0;

х =10; х = - 12.

Ответ: 18ч и 15ч.
Третий этап работы с задачей предполагает решение построенной математической модели, интерпретацию результата решения математической модели в заданную ситуацию, запись ответа.

На четвёртом этапе работы с задачей можно предположить найти другие варианты решения. В данной задаче на этапе поиска решения в качестве связующей величины при

составлении уравнения мы выбрали количество деталей (разность производительностей).

Какую другую величину мы могли выбрать в качестве связующей?

Что в этом случае можно обозначить переменной, какое уравнение получить?

Какой из двух путей решения задачи рациональнее, почему?

Данные вопросы целесообразно поставить перед учениками га заключительном этапе работы с задачей.

Теперь рассмотрим пример организации поиска решения задачи на движение.

Представим поиск в виде рассуждений.

2.Задача.

Два автомобилиста выезжают одновременно навстречу друг другу из А в В и из В в А.

После встречи одному из них приходится быть в пути 2 ч, а другому - ч. Найти скорость автомобилей, если расстояние АВ равно 210 км.

Мы решаем задачу на равномерное движение двух объектов навстречу друг другу, которое началось одновременно. Структура текста следующая: условие – требование – условие. У – Т – У.

Итак объектами задачи являются два автомобиля, движущиеся навстречу друг другу из А и В соответственно. Они начали движение одновременно и поэтому двигались до встречи одинаковое время. Их движение после встречи проходило с теми же скоростями (ничего об изменении скоростей в условии не сказано).Первый потратил на оставшийся путь 2 часа. Это путь, который проделал второй автомобиль до встречи.

Второй проехал оставшееся расстояние за ч. Пройденный каждым автомобилем путь равен 210 км (расстояние между пунктами).

Нам требуется определить скорости автомобилей.

Итак, условие и требование задачи выделены.

Этап анализа задачи включает в себя и краткую запись условия и, если необходимо, рисунок к задаче.

АВ = 210 км,

t = t,

t = ч,

t= 2 ч.


Рис.1

Следующий этап – поиск и составление плана решения. Он включает в себя дальнейший анализ и развёртывание условия и требования задачи, вскрытие и соотнесение неявно заданных в условии связей, выбор метода решения, составление плана решения.

Итак, нами было установлено, что до встречи автомобили двигались одинаковое время, известно время, которое они потратили на движение после встречи, известно расстояние АВ. Отразим имеющиеся связи в схеме.

S + S = 210 t = t



v t v t S v S v

y x 2

v t v t

y x 2

Рис.2.

Из приведённых схем видно, что мы можем решить данную задачу, составляя систему уравнений, выразив в качестве переменных (что соответствует требованию задачи) скорости автомобилей.

Итак, если х км/ч - скорость первого автомобиля, у км/ч – скорость второго автомобиля, тогда из первой схемы (рис. 2а) получаем уравнение у + 2х = 210.

Согласно второй схеме (рис.2б) имеем уравнение: .

Объединим из в систему. Получили: .

Итак, мы свели решение задачи к решению системы уравнений. Фактически после появления схемы (рис.2) мы начали реализовывать следующий этап – осуществление плана решения задачи, который состоял в составлении на основе наших схем системы уравнений и её решения. Не станем подробно описывать решение системы. Приведём лишь ответ х = 60, у = 80.

Очередной этап работы над задачей – проверка решения. Она состоит в данном случае из двух частей: проверки решения системы и решения задачи. Решение системы проверить можно подстановкой.

Проверка решения задачи – это не только оценка результата по смыслу задачи (ответы не могут быть отрицательными или достаточно малыми по величине). Одним из способов проверки является составление новой задачи, где найденные значения скорости задаются в условии. Такой задачей может стать следующая. Два автомобиля движутся навстречу друг другу со скоростями 60 и 80 км/ч. После встречи 1-й автомобиль находится в пути часа, а второй – 2 часа. Определить расстояние между пунктами. Выполнив соответствующие арифметические действия, мы определим требуемое расстояние. Оно составляет 210 км. Это подтверждает правильность решения исходной задачи.

Теперь можно перейти к записи ответа задачи.

Ответ: скорости автомобилей составляют 80 км/ч и 60 км/ч.

К сожалению, часто на этом работа с задачей завершается. Однако существует ещё один достаточно важный этап – анализ решения, подразумевающий поиск иных способов решения, возможных обобщений, получения различных следствий и, наконец, ответа на вопрос, зачем мы эту задачу решаем. В данном случае я привела решение, чтобы иллюстрировать этапы работы с задачей, показать алгебраический метод решения, возможное оформление решения.

Кроме того, данную задачу мы можем решить ещё одним способом – графически.

В нашей задаче автомобили движутся равномерно навстречу друг другу. График движения каждого в системе координат Sot – отрезок. Изобразим систему координат, как показано на рис.3.
АР – график движения I автомобилиста.

ВК – график движения II автомобилиста.

По условию: ВМ = АD, DК = ч, МР = 2 ч.


Рис.3
Обозначим ВМ = х. СМВ ~ СDК; СМР ~ АСD.

= ; . , х = - по смыслу задачи.

Интересно, что время движения автомобиля до встречи мы определили, не пользуясь расстоянием. Теперь, зная время в пути каждого автомобиля (3,5 ч и ч), определим скорости автомобилей 80 км/ч и 60 км/ч. Отметим, что данный способ решения проще, здесь возможно иллюстрировать алгебраические и геометрические связи.

В заключении полезно привести ещё один алгебраический способ решения данной задачи, который основанна составлении тройной отрезочной диаграммы.

t t


B

A













t t

рис.4
- время, затраченное 1 автомобилем на оставшийся путь;

t - время, затраченное 1 автомобилем на оставшийся путь;

t – время до встречи, t > 0.

Из схемы на рис. Получаем систему Длина AD и длина DB.

Разделив первое уравнение на второе, получаем или ; t = .

Следовательно, 210 : 3,5 = 60 (км/ч), = 210 : 80 (км/ч).

Ниже будут рассмотрены геометрические и арифметические методы решения задач.

Геометрический метод решения сюжетных задач.

При обучении любому методу различают две учебные задачи: «освоить метод» и «научиться применять его». При реализации первой цели следует иметь ввиду основные этапы формирования метода:

I. Подготовительный этап. Этап который предполагает предварительное усвоение определённых знаний и умений. Применительно к этому методу это могут быть следующие знания по геометрии:

- свойства площадей геометрических фигур (при использовании двумерной диаграммы);

- признаки подобия треугольников при решении задач на равномерные процессы.

Знания по алгебре:

- умение решать уравнение, систему уравнений;

- умение работать с координатной плоскостью;

- пользоваться переменной системой координат;

- строить график линейной функции.
II. Мотивационный этап. Задача этого этапа: убедить в необходимости овладения методом. Для этого надо подбирать такие задачи, которые можно решить не одним способом, но решение геометрическим методом оказывается более рациональным.
III. Этап овладения основными компонентами метода. На этом решаются задачи, которые требуют небольшого числа составляющих метода. При решении этих задач и идёт формирование отдельных частей метода, отрабатывается их применение.
IV. Этап формирования метода в целом. Целью этого этапа является синтез отдельных умений в целостный метод в процессе решения задач, требующих значительного числа составляющих метода.
I.Рассмотрим геометрический метод решения задач на равномерные процессы: на равномерное движение, на стоимость, на совместную работу, на смеси, на переливание и др. Чаще всего при формировании метода используются задачи на равномерное движение. Решение этих задач можно выполнить с помощью графика линейной функции. Для этого на оси абсцисс обычно откладывается время, а по оси ординат – расстояние. В таком случае абсцисса любой точки графика движения указывает момент времени, а ордината той же точки – в каком месте пути в этот момент находится тело. (рис.5).



Рис.6 Рис.7

Если на одном чертеже построены два графика движения, при чём графики движения пересекаются в некоторой точке, то абсцисса точек пресечения показывает время встречи движущихся объектов, а ордината – место встречи. (рис.6,7). Здесь следует отметить, что от графического решения уравнений, где используется постоянная система координат, при решении сюжетных задач удобнее пользоваться переменной системой координат, т.е. иметь на одном чертеже несколько систем координат для построения графиков, заданных в условиях зависимостей, причём график каждой зависимости строится в своей системе координат.

Рассмотрим задачи, решаемые на третьем этапе формирования метода.