Методика работы с сюжетными задачами Краснова Людмила Геннадьевна, учитель математики моу «Лицей №2»

Задача 1. Два туриста отправляются одновременно навстречу друг другу из пунктов, находящихся на расстоянии 36 км. Через сколько часов и на каком расстоянии от пункта они встретятся, если турист, вышедший из пункта А идёт со скоростью 4 км/ч, а второй турист – со скоростью 5 км/ч? Решение: Рис.8 Ответ: Туристы встретятся через 4 часа на расстоянии 16 км от А. Задача 2. Студент прошёл расстояние от станции до совхоза и обратно за 5 часов. От станции до совхоза он шёл со скоростью 4км/ч, а обратно со скоростью 6 км/ч. Чему равно расстояние от совхоза до станции? Построив график движения студента туда и обратно, как на рис.9, найдём ординату точки пересечения графиков. Это и будет искомое расстояние. Дополнительные вопросы по вопросы по ситуации в задаче: сколько времени потратил студент на путь и сколько времени займёт у него обратная дорога? Ответ: 12 км. Задача 3. Вода вливается в бак через два крана. Если открыть первый кран, то бак наполнится за 12 мин, а через один второй кран бак наполняется за 20 мин. За сколько минут наполнится бак, если открыть одновременно оба крана? Рис.10 Решение. Т. к. время и объём воды, протекающей через кран, связаны прямо пропорциональной зависимостью (почему?), то одну из осей примем за ось времени (t), а другую - за ось объёма (V). Введём две системы координат tAV и t’BV’. Оси At и Bt’ – оси времени, масштабы на них одинаковы. Отрезок АВ изображает объём бака. Построив графики работы первого (АВ’) и второго (BA’) кранов, найдём абсциссу точки пересечения графиков, а это и будет искомое время. Ответ: 7,5 мин. (х = 1; =1; х = 7,5 ) Этап формирования метода в целом можно повести на базе следующего набора задач. Задача 1. Из двух пунктов А и В навстречу друг другу выходят два туриста. При встрече оказывается, что турист, вышедший из А, прошёл на 2 км больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью, первый турист прибывает в В через 1ч 36 мин, а второй в А через 2ч 30мин после встречи. Найдите расстояние АВ и скорость каждого туриста. Решение. Пусть х км - Sпрошёл второй турист до встречи, тогда (х + 2) км - S прошёл 1 турист до встречи. ONB~OMA. ; ; BON~AOM ; BN = 2 и т.д. BN = AM. 2,5х = 2(х + 2); х = 8. х + 2 = 10; 8 + 10 = 18 (км). Решая эти задачи, необходимо, естественно, рассматривать не только геометрический подход на этапе поиска. Только в этом случае ученики увидят реальность геометрического метода. Задача2. Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 часа быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай? Решение. Объём выполненной работы пропорционален времени. Отрезок АВ’ – график работы первого комбайнера; отрезок ВА’ – график работы второго комбайнёра; отрезок АМ = ВN изображает время, за которое уберут весь участок оба комбайнера, если будут работать вместе. Пусть МЕ = х; МЕ = NB’; АМО~В’NO; ; ; MA’O~NBO; ; x = 25; t = 60 ч; t= 84 ч. Ответ: 60 ч; 84 ч. Другие способы. II. III. Задача 3. Два поезда выходят одновременно из пунктов М и N, расстояние между которыми 45 км, и встречаются через 20 мин. Поезд, вышедший из М, прибывает на станцию N на 9 мин раньше, чем другой поезд прибывает в М. Какова скорость каждого поезда? Рис.13 АМО~ВN’O; х = 16. АМ’O~BNO; MN’= 20 + 16 + 9 = 45 (мин) = (ч). v= 45 : = 60 (км/ч). NN’ = 20 + 16 = 36 (мин) = (ч). v= 45 : = 75 (км/ч). Ответ: 60 км/ч; 75 км/ч. II. Геометрический метод решения сюжетных задач. Часто при решении задач рассматриваемая величина является произведением двух других величин. Например: - масса груза есть произведение количества ящиков на массу одного ящика; - стоимость покупки равна произведению её массы на цену; - путь, пройденный при равномерном движении, равен произведению скорости на время движения. С другой стороны, известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его измерений. Поэтому в тех задачах, где одна из рассматриваемых величин является произведением двух других, можно интерпретировать это произведение в виде площади прямоугольника, т.е. в виде двумерной диаграммы. Задача 1. Бригада лесорубов ежедневно перевыполняла норму на 16 куб.м, поэтому недельную норму (6 рабочих дней) она выполнила за 4 дня. Сколько кубометров леса заготовляла бригада в день? Рассмотрим лишь геометрический метод решения задачи. Рис.14 Пусть отрезок АВ изображает производительность бригады в день в м, AD – количество дней, тогда площадь прямоугольника АВСD будет изображать недельную норму бригады. Обозначим её – S. Поскольку бригада перевыполняла норму на 16 м, то прибавим к отрезку АВ отрезок ВМ (ВМ = 16), тогда АМ – производительность бригады в день. Т.к. бригада выполняла норму за 4 дня, то пусть АК = 4 дня, тогда KD = 2. Площадь прямоугольника АМРК тоже изображает недельную норму бригады, поэтому она тоже равна S. Тогда S (площадь прямоугольника КЕСD) равна S - площади прямоугольника ВМРЕ, т.к. и , отсюда ; S= 2 КЕ; S= 16·4 = 64; 64 = 2 КЕ: КЕ = 32; АВ = КЕ = 32; АМ = 32 + 16 = 48. Ответ: 48 м. II. х м в день по плану, (х + 16) м в день, 6х = 4(х+16), х = 32, 32 + 16 = 48. Задача 2. Чтобы ликвидировать опоздание на 1 час, поезд на перегоне в 720 км увеличил скорость, с которой должен идти на 10 км/ч. Какова скорость поезда? Рис.15 Пусть на рис.15 S - изображение пути в 720 км; АВ – изображение скорости по плану; AD – время. Поскольку поезд увеличил скорость на 10 км/ч, то прибавим к отрезку АВ отрезок ВЕ, изображающий эту величину, тогда АЕ – скорость поезда (АЕ = х +10). Увеличив скорость, поезд прошёл весь путь на 1 час быстрее, поэтому вычтем из отрезка AD отрезок DK, изображающий 1 час. Тогда S - изображение пути, пройденного поездом. S=S = 720; S= S, т.к. . ; S= 10 EF; ; т.к. S, то х = (х > 0); х = 80. Ответ: 80 км/ч. II. III. х+ 10х – 7200 = 0. Самым распространённым способом решения задач является алгебраический. Чаще всего под этим понимают решение задачи составлением уравнения или системы уравнений. Однако встречаются задачи, решение которых основано на составлении неравенства или системы неравенств. Связано это с тем, что одна из функций сюжетных задач – связь математики с окружающим миром, а в реальной жизни мы имеем дело с приближёнными величинами (скорость, расстояние, время), хотя они и заданы точными значениями. Поэтому получаемые результаты (например, скорость поезда – 60 км/ч) не являются реально существующими в практике. Вот почему сюжетные задачи, математической моделью которых является неравенство или система неравенств, описывают ситуацию более точно. Задача. Если бы велосипедист проезжал в день на 5 км больше того, что он проезжает в действительности, то за 6 дней он проехал бы меньше 400 км. Если бы он проезжал на 10 км меньше, чем на самом деле, то за 12 дней он проехал бы более 400 км. Сколько км проезжает в день велосипедист? На этапе поиска можно выделить две ситуации: 1.Если бы велосипедист проезжал в день на 5 км больше того, что он в действительности проезжает, то за 6 дней он проехал бы менее 400 км. 2.Если бы он проезжал на 10 ки меньше, чем на самом деле, то ха 12 дней он проехал бы более 400 км. Обозначив скорость в действительности за х км/д, составим математическую модель ситуации: Решив систему, получим: Ответ: скорость в действительности заключена в пределах (43; 61) км/д. Следующий пример также приведёт к появлению в качестве математической модели неравенства. Задача 3. Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее, чем через 3 часа. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки 2 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 18 км/ч? Решение: Пусть х км – искомое расстояние; тогда ч – время, затраченное на путь вниз по течению; ч – время, затраченное на путь вверх по течению; () ч – общее время (по условию не более трёх часов). Получаем неравенство 3. Ответ: туристы могут отъехать на расстояние не более 26км. Арифметический метод решения сюжетных задач. Любая задача, сводящаяся к уравнению первой степени, может быть решена арифметически (с использованием счёта и четырёх арифметических действий). Арифметические задачи по характеру их решения можно условно разделить на алгоритмические, аналитико-синтетические, эвристические. К алгоритмическим задачам следует отнести те, в которых прямо указано, какие действия надо сделать с данными числами. Чаще всего такие задачи решаются в одно или несколько действий, порядок которых указан. Например, к сумме двух чисел 1230 и 642 прибавить их разность, а затем полученный результат утроить; Найти периметр треугольника, если заданы стороны. В задачах аналитико-синтетического вида действия с числами указаны косвенно, их можно определить по смыслу задачи.

Похожие:

	«Курсы повышения квалификации в рамках перехода на фгос ооо» Левина... «Обновление содержания курса преподавания математики в свете требований фгос» Фролова Л. В, учитель математики и информатики моу...		Конспект урока Реки. Ф. И. О: Ахметова Людмила Геннадьевна Место... Цели урока: продолжить знакомить детей с водными ресурсами и их использование в жизни
	Урок математики в 1 классе по теме «Зеркальное отражение. Осевая симметрия» Учитель начальных классов – Горбунова Людмила Викторовна, моу «сош №58 с углубленным изучением отдельных предметов», город Новоуральск,...		Урока Провела: Учитель математики Школа, класс: моу лицей №11 им. Т. И. Александровой г. Йошкар-Олы, 10 класс 1 группа
	Зубова Людмила Викторовна учитель математики моу «Антонятская основная... Думающий человек во все времена строит жизнь на основе четырех законов: любить, творить, прощать, благодарить		Тема урока: Кто-то теряет, а кто-то находит Альбицкая Нина Ефимовна, учитель химии моу «Лицей математики и информатики», г. Саратов
	Формирование исследовательской позиции учащихся на занятиях лингвистического... Доманцевич Ольга Геннадьевна, зам директора по научно-методической работе, моу «Лицей№174»		Анализ по направлениям деятельности общая характеристика школы История... Абросимович; с 1989 по 2002 г. – Малыгина Нина Александровна; с 2002 по 2010 г. – Касьянова Людмила Аркадьевна; с 2010 г руководит...
	Урок Краснова Ольга Александровна Литературное чтение. Обобщающий урок Краснова Ольга Александровна, учитель начальных классов		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Геннадьевна работала мастером производственного обучения с 1971 года по 1973 год. Затем поступила в кгпи им. Н. А. Некрасова и окончила...
	Умножение пяти, на пять и соответствующие случаи деления Людмила Чимитовна, учитель начальных классов муниципального общеобразовательного учреждения моу «Выдринская сош» с. Выдрино Республики...		Анализ работы мо естественно-научного цикла моу «сош №4 с. Правокумского»... Мосева Жанна Рантиковна, учитель физики Харченко Елена Валентиновна, учителя математики Ханмагомедов Гюл Абдуризакович и Иванец Ольга...
	Никифорова Людмила Геннадьевна (Еласовская средняя общеобразовательная... Никифорова Людмила Геннадьевна (Еласовская средняя общеобразовательная школа Горномарийского района республики Марий Эл)		Конспект Урока изучения нового материала По теме «Владимиро-Суздальское... Место работы: Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа п. Ключи Кирово-Чепецкого района...
	Урок математики в 6 классе по теме: «Раскрытие скобок» Составила: Ломакина Л. И., учитель математики первой категории моу нагорненская сош		Программа и дидактические материалы предметно-ориентированного курса... Автор: Н. В. Медведева, учитель математики моу «Чуровская сош» Шекснинского муниципального района