Содержание дисциплины
РАЗДЕЛ 1. Основы линейной алгебры
Тема 1. Основы матричного анализа
Матрицы. Основные понятия и операции над матрицами. Понятие определителя квадратной матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков. Свойства определителей. Теорема Лапласа (о разложении определителя). Обратная матрица, ее существование и метод построения. Понятие о ранге матрицы.
Тема 2. Элементы линейной алгебры
Система линейных алгебраических уравнений и ее матричная форма. Метод Гаусса. Число решений системы линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера и метод обратной матрицы.
Тема 3. Элементы векторного анализа
Векторы и векторные пространства. Линейные операции над векторами. Линейная независимость векторов. Размерность и базис. Скалярное произведение векторов. Линейные операторы.
РАЗДЕЛ 2. Основы аналитической геометрии.
Тема 4. Прямая на плоскости
Уравнение линии на плоскости. Прямая на плоскости: виды прямых, различные формы записи уравнения прямой. Угол между прямыми. Признаки параллельности и перпендикулярности прямых.
Тема 5. Кривые второго порядка на плоскости
Общее уравнение кривой второго порядка. Канонические уравнения и свойства кривых второго порядка: окружность и эллипс, гипербола, парабола.
Тема 6. Элементы аналитической геометрии в пространстве
Уравнения прямой и плоскости в пространстве.
РАЗДЕЛ 3. Введение в анализ: множества и функции.
Тема 7. Элементы теории множеств
Понятие множества. Элемент множества. Формы записи и виды множеств. Подмножество. Пустое множество. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность, дополнение. Бинарные отношения на множествах. Числовые множества. Числовая прямая. Виды числовых множеств. Понятие окрестности точки.
Тема 8. Функции
Понятие об упорядоченных множествах. Декартовы системы координат. Функциональная зависимость. Определение функции. Способы задания функции. График функции. Сложная и обратная функции. Геометрический смысл обратной функции. Свойства функции: четность, нечетность, периодичность, ограниченность, монотонность. Точки экстремума (максимума и минимума) функции. Классификация функций. Основные элементарные функции и их графики.
Тема 9. Идея предела в математике
Предел в метрическом пространстве. Числовая последовательность. Предел последовательности. Предел функции. Виды пределов. Основные способы раскрытия неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы. Основные теоремы о пределах.
Тема 10. Непрерывность функции
Непрерывность функции в точке (первое и второе определения) и на промежутке. Непрерывность элементарных функций. Непрерывность арифметических операций. Непрерывность сложной и обратной функций. Свойства непрерывных функций: теорема о сохранении знака непрерывной функции; теоремы о промежуточных значениях, о существовании корня (об обращении в ноль), об ограниченности, о достижении наибольшего и наименьшего значений и их следствия. Точки разрыва функции и их классификация.
РАЗДЕЛ 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Тема 11. Производная и дифференциал функции
Задачи, приводящие к понятию производной. Касательная к графику функции. Определение производной функции. Дифференцируемость функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Дифференциал функции. Инвариантность дифференциала. Геометрический смысл производной и дифференциала функции.
Тема 12. Свойства производной. Правила дифференцирования функций
Основные свойства производной. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций. Производные сложной, обратной и показательно-степенной функций.
Тема 13. Основные теоремы дифференциального исчисления
Локальные точки экстремума функции: максимум и минимум функции. Теоремы Ферма, Роля, Лагранжа и Коши. Их следствия. Правило Лопиталя и примеры его применения.
Тема 14. Локальные экстремумы и монотонность на интервале дифференцируемой функции
Критические точки функции. Необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции. Первое достаточное условие локального экстремума. Необходимый и достаточный признаки монотонности функции на интервале.
Тема 15. Выпуклость функции. Точки перегиба
Понятие о выпуклости функции. Геометрический смысл выпуклости функции. Достаточное условие выпуклости дифференцируемой функции. Точка перегиба графика функции. Необходимый и достаточный признаки перегиба. Второе достаточное условие локального экстремума функции.
Тема 16. Асимптоты графика функции
Понятие асимптоты графика функции. Виды асимптот (вертикальная, наклонная и горизонтальная) и процедуры нахождения этих асимптот.
Тема 17. Общая схема исследования функции
Этапы исследования функции. Порядок их применения. Примеры исследования функции.
РАЗДЕЛ 5. Интегральное исчисление одной переменной
Тема 18. Первообразная и неопределенный интеграл
Понятие о первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица первообразных. Основные методы интегрирования: метод подстановки (замены переменной) и метод интегрирования по частям.
Тема 19. Определенный интеграл и его приложения
Понятие об определенном интеграле. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры; нахождение объема тела вращения. Понятие о несобственных интегралах и их сходимости.
Раздел 6. Дополнительные главы математического анализа и элементы функционального анализа
Тема 20. Дифференциальное исчисление функции многих переменных
Понятие о функции нескольких переменных и ее непрерывности. Частные производные. Дифференциал функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент и его свойства.
Тема 21. Локальный экстремум функции нескольких переменных
Понятие локального экстремума функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных (независимости от порядка дифференцирования). Необходимое условие экстремума первого порядка. Достаточные условия существования локального экстремума.
Тема 22. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Понятие об обыкновенном дифференциальном уравнении и его решении. Уравнение первого порядка и его нормальная форма. Задача Коши. Методы интегрирования некоторых уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, линейного уравнения, уравнения Бернулли.
Тема 23 Элементы теории рядов
Понятие о ряде и его сходимости. Необходимое условие сходимости числового ряда. Знакопостоянные, знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Достаточные признаки сходимости этих рядов. Понятие о разностном уравнении и его решении. Функциональные ряды: степенные ряды и их радиус сходимости; тригонометрические ряды, ряды Фурье и их свойства.
Тема 24. Элементы теории функций комплексной переменной
Мнимая единица. Комплексное число: алгебраическая и тригонометрическая формы записи; модуль и аргумент комплексного числа. Операции над комплексными числами. Понятие о функциях комплексной переменной.
РАЗДЕЛ 7. Основные понятия и теоремы теории вероятностей
Тема 25. Элементы теории вероятностей событий
Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности события. Совместные и несовместные события. Полная группа событий. Противоположные события. Теоремы сложения вероятностей событий и их следствия. Независимые и зависимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей событий и их следствия. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Тема 26. Схема Бернулли
Понятие о последовательности независимых испытаний. Формула Бернулли. Формула Пуассона и условие ее применения. Функция Лапласа и ее свойства. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Тема 27. Случайные величины и их характеристики
Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Понятие о функции распределения и ее свойства. Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее свойства. Основные характеристики случайных величин (математическое ожидание и дисперсия) и их свойства. Среднеквадратическое отклонение. Основные распределения случайных величин: биномиальное, Пуассона, равномерное, нормальное. Правило трех сигм. Распределения, близкие к нормальным (хи-квадрат, Стьюдента, Фишера). Система двух случайных величин. Корреляционный момент, корреляционная матрица и коэффициент корреляции.
РАЗДЕЛ 8. Основы математической статистики
Тема 28. Основные понятия математической статистики
Выборочный метод. Выборочное среднее и выборочная дисперсия. Интервальные оценки параметров. Оценка закона распределения. Нулевая и альтернативная гипотезы. Общая схема проверки гипотез. Статистические критерии.
Тема 29. статистические методы обработки экспериментальных данных. Модель корреляционного анализа. Модель множественной линейной регрессии. Метод наименьших квадратов для получения оценок коэффициентов регрессии.
|
