Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 0.84 Mb.
|
| Тема занятия: «размышления по аналогии». Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как «аналогия». План занятия 1. Организационный момент. 2. Постановка проблемной ситуации. 3. Ознакомления с эвристикой «аналогия». 4. Первичное усвоение нового материала. 5. Примеры использования приёма «аналогия» в жизни. 6. Постановка домашнего задания. 7. Подведение итогов занятия. 8 Рефлексия. Литература
Методические рекомендации по проведению занятия 1. Организационный момент Учитель приветствует учеников. 2. Постановка проблемной ситуации Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1. Задача 1. «Каждый равносторонний треугольник является также равноугольным». Сформулируйте аналогичное предложение для шестиугольника. Верно ли оно? Поиск решения задачи 1. Для поиска решения задачи предлагается использовать метод эвристического наблюдения. Метод эвристического наблюдения. Для применения метода эвристического наблюдения предлагается воспользоваться программой DG. Ученики с по помощью учителя строят в программе DG равносторонний треугольник, и смотрят, чему равны его углы (рис.1).  Рис.1 Ученики делают вывод, что данное предположение верно. Решение задачи. Учитель предлагает сформулировать аналогичное предположение для шестиугольника. Аналогичное предположение: каждый равносторонний шестиугольник является также равноугольным. Это предположение ученики также проверяют с помощью программы DG (рис.2).  Рис.2 Ученики делают вывод, что сформулированное ими предположение неверно. Ответ: Каждый равносторонний шестиугольник является также равноугольным (это предложение неверно). 3. Ознакомления с эвристикой «аналогия» Эпиграф к занятию: Вы спрашиваете, встречался ли я с аналогией при изучении математики. Конечно, встречался! И много раз! Каждый раз, когда автору учебника не хочется рассмотреть какой-либо случай, он пишет: «Это легко сделать, рассуждая по аналогии с предыдущим случаем». Из высказываний школьника «Аналогия» – греческое слово, в переводе оно означает «сходство». Аналогия – это сходство между объектами в некотором отношении. Прием поиска решения задачи при помощи аналогии 1. Подбираем задачу, аналогичную исходной, то есть такую, что у нее и у исходной задачи сходные условия и сходные заключения. Вспомогательная задача должна быть проще, или ее решение должно быть вам известно. 2. Решив вспомогательную задачу, проводим аналогичные рассуждения для решения исходной задачи. 4. Первичное усвоение нового материала Учитель предлагает рассмотреть задачу 2, теорему 1 и теорему 2. Задача 2. Зная стороны треугольника a, b, c вычислить радиус r1 вневписанной окружности, касающейся стороны а и продолжений сторон b и c. Решение задачи Сформулируем более простую или известную нам аналогичную задачу: зная стороны треугольника a, b, c вычислить радиус r описанной окружности. Решение данной задачи можно осуществить построив такую таблицу Таблица 2.2 Решение задачи по аналогии
Далее рекомендуется рассмотреть пространственную аналогию. Изучая геометрию, вы, наверное, заметили, что некоторые свойства треугольника и тетраэдра похожи, а многие геометрические понятия, связанные с треугольником, имеют пространственные аналоги. Например: сторона треугольника – грань тетраэдра, длина стороны – площадь грани, вписанная окружность – вписанная сфера, описанная окружность – описанная сфера, площадь – объем, биссектриса угла – биссектор двугранного угла и т.п. Эта аналогия – не только внешняя. Многие теоремы о треугольниках, если заменить в их формулировках планиметрические термины соответствующими стереометрическими и соответствующим образом «подправить» формулировки, превращаются в теоремы о тетраэдрах. Рассмотрим несколько таких теорем. На плоскости. Теорема 1. Биссектриса CD внутреннего угла треугольника АВС делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные его сторонам AB и ВC. Доказательство. Примем сначала за основание треугольников ADC и DBC (рис. 3) отрезки АС и ВС соответственно. Точка D равноудалена от сторон угла АСВ, поэтому  . Теперь примем за основание этих же треугольников отрезки AD и BD. Ясно, что  . Следовательно,  .В пространстве. Теорема 2. Биссектор двугранного угла тетраэдра делит противолежащее ребро в отношении, равном отношению площадей граней, образующих этот двугранный угол. Примечание. Напомним, что биссектором двугранного угла называется полуплоскость, делящая его на два равных по величине двугранных угла. Биссектор двугранного угла является множеством точек, равноудаленных от его граней. Докажем свойство биссектора двугранного угла тетраэдра, аналогичное свойству биссектрисы угла треугольника. Доказательство. Пусть ADM – сечение тетраэдра ABCD биссектором двугранного угла с ребром AD (рис. 4). Объемы тетраэдров ACMD и ABMD обозначим через V1 и V2 соответственно.
Так как точка М одинаково отдалена от граней ADC и ADB,  . С другой стороны,  . Поэтому  , что и требовалось доказать. Попутно замечаем, что  , что еще раз подчеркивает аналогичность теорем 1 и 2.5. Примеры использования приёма «аналогия» в жизни В жизни часто бывает, что мы оказываемся в ситуациях, в которых уже были мы или наши знакомые. Проведя аналогию между нынешней и предыдущей ситуациями, можно найти правильный выход из сложившийся ситуации. 6. Постановка домашнего задания Дана теорема 3 о точки пересечения медиан треугольника, докажите её. Сформулируйте аналогичную теорему для тетраэдра и докажите её. Теорема 3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. 7. Подведение итогов занятия Учитель задает ученикам следующие вопросы: 1. Что такое аналогия? (Аналогия – это сходство между объектами в некотором отношении). 2. Опишите прием поиска решения задачи при помощи аналогии (1. Подбираем задачу, аналогичную исходной, то есть такую, что у нее и у исходной задачи сходные условия и сходные заключения. Вспомогательная задача должна быть проще, или ее решение должно быть вам известно. 2. Решив вспомогательную задачу, проводим аналогичные рассуждения для решения исходной задачи.) 8 Рефлексия Учитель предлагает ученикам ознакомиться с рефлексивным журналом (Додаток А) и воспользоваться рефлексией к занятию№1. Указания и решения домашнего задания к занятию№1 На плоскости Теорема 3. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. Доказательство. Пусть М1 – точка медианы AD треугольника АВС такая, что  , а О – произвольная точка пространства (рис. 5). Тогда имеем  и  .Поэтому  .Если М2 и М3 – точки, делящие медианы СЕ и BF в отношении 2:1, считая от вершины, то, аналогично,  ,  . Таким образом  и, следовательно, точки М1, М2 и М3 совпадают.Теорема доказана. В пространстве. Теорема 4. Четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершины. Доказательство. Пусть М1 – точка медианы СС1 тетраэдра ABCD такая, что  (рис. 6). Пусть О – произвольная точка пространства. Имеем  . Кроме того  , так как С1 – центроид треугольника ABD. Поэтому  .
Точно такие выражения получим для точек М2, М3 и М4, делящих медианы тетраэдра АА1, ВВ1 и DD1 в отношении 3:1 соответственно. Следовательно,  .И поэтому точки М1, М2, М3 и М4 совпадают. Отметим, что попутно получено известное соотношение:  , где М – центроид (точка пересечения медиан) треугольника, а О – произвольная точка пространства.Назовем медианой тетраэдра отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидром противолежащей грани. План-конспект занятия №2 эвристического факультатива 11 класс Тема занятия: «что такое индукция?». Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как «индукция». План занятия 1. Организационный момент. 2. Постановка проблемной ситуации. 3. Ознакомления с эвристикой «индукция». 4. Первичное усвоение нового материала. 5. Примеры использования приёма «индукция» в жизни. 6. Постановка домашнего задания. 7. Подведение итогов занятия. 8 Рефлексия. Литература
Методические рекомендации по проведению занятия 1. Организационный момент Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №1. 2. Постановка проблемной ситуации Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1. Задача 1. Найдите все значения m, при которых число  делится на 15.Поиск решения задачи 1. Для поиска решения задачи предлагается использовать метод эвристического наблюдения. Метод эвристического наблюдения. Ученикам предлагается проверить делится ли число на 15 при m=0, m=1 и m=2. Учащийся увидят, что это выполняется. Затем предлагается доказать, что это число делиться на m=k, а затем на m=k+1.Решение задачи. Найдем несколько значений m, при которых данное число делится на 15. При m=0 число  делится на 15.При m=1 число  делится на 15.При m=2 число  делится на 15.Отсюда можно предположить, что число делится на 15 при любом целом неотрицательном m. Докажем это.Мы уже проверили справедливость этого утверждения при m=0. Докажем теперь, что из справедливости утверждения при m=k всегда следует его справедливость при m=k+1. Так как по предположению  делится на 15, то  , р – целое неотрицательное число.Отсюда  , т. е. делится на 15.Следовательно, число делится на 15 при целом неотрицательном m.3. Ознакомления с эвристикой «индукция» Эпиграф к занятию: Методом индукции пользуются все науки, в том числе и математика. Математической же индукцией пользуются только в математи- ке для доказательства теорем определенного типа. Довольно неудачно, что их названия связаны, так как между этими двумя мето- дами почти нет логической связи. Д. Пойа Математической индукции – это метод доказательства уже готовых, заданных утверждений, а не получение этих утверждений. Само слово «индукция» в переводе с латинского означает «наведение»; им обозначается прием перехода от частного к общему. Индукция при поиске способа решения задачи. Встретившись с трудной задачей, начинается поиск ее решения с вопроса: «В каком частном случае, при каких частных предположениях относительно данных умеем решить эту задачу?» После того как удалось нащупать такой частный случай, ставим перед собой уже новый вопрос: «Нельзя ли воспользоваться этим решением (или приобретенным нами опытом), чтобы решить задачу в каком-либо более общем (но, быть может, тоже еще частном) случае?» 4. Первичное усвоение нового материала Учитель предлагает рассмотреть задачу 2 и задачу 3. Задача 2. Доказать, что для любого натурального n справедливо следующее неравенство  .Решение задачи. При  справедливость равенства очевидна. Из предположения справедливости его при  следует Учитывая равенство  , получаем  , т.е. утверждение справедливо и при  .Задача 3. Докажите, что любые  прямых, расположенных на одной плоскости, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в  точках.Решение задачи Предположим, что оно верно для прямых, то есть что любые прямых, никакие две из которых не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке, пересекаются ровно в точках.Попробуем доказать его для  прямых. По предположению, 1-я, 2-я,…, -я прямая пересекаются в точках. Рассмотрим -ю прямую и одну из прямых, обозначим её  из списка 1-я, 2-я,…, -я прямая. Зная, что любые две прямые, удовлетворяющие условиям задачи, пресекаются ровно в одной точке, а значит и прямые и пересекаются в одной точке. Вспомним, что обозначает любую прямую из списка 1-я, 2-я,…, -я. Отсюда -я прямая пересекается с каждой из этих прямых ровно в одной точке.Рассмотрим список из прямых и их точек пересечения. Уберём прямую вместе с её точками пересечения. Останется прямых. количество точек пересечения у этих прямых равняется . Как было показано выше, количество точек пересечения, которое мы убрали вместе с прямой , равняется .Следовательно, количество точек пересечения всех прямых есть  . То есть для прямых утверждение доказано.Ответ: утверждение верно для любого количества прямых. 5. Примеры использования приёма «индукция» в жизни Если мы вспомним знаменитых сыщиков, описанных в детективной литературе (например, Дюпена, Шерлока Холмса, Пуаро), то обратим внимание на то, что они преуспевали в расследовании преступлений именно благодаря наблюдательности и аналитическим способностям (индукции и дедукции). С удивительной точностью и умением они отыскивали причины, побудившие человека к тому или иному преступлению, и с математической точностью делали соответствующие выводы; из незначительных следов, побочных обстоятельств делали остроумные выводы, восстанавливая картину преступления. Авгуры предсказывали конкретным военачальникам их личные победы или поражения, жрецы прорицали для конкретных правителей. 6. Постановка домашнего задания 1. Докажите, что если число  делится на 9, то и число  также делится на 9.2. Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство  .7. Подведение итогов занятия Учитель задает ученикам следующие вопросы: 1. Что такое математическая индукция? (Математической индукции – это метод доказательства уже готовых, заданных утверждений, а не получение этих утверждений.) 2. Опишите метод использования индукции при поиске решения задач. (Встретившись с трудной задачей, начинается поиск ее решения с вопроса: «В каком частном случае, при каких частных предположениях относительно данных умеем решить эту задачу?» После того как удалось нащупать такой частный случай, ставим перед собой уже новый вопрос: «Нельзя ли воспользоваться этим решением (или приобретенным нами опытом), чтобы решить задачу в каком-либо более общем (но, быть может, тоже еще частном) случае?»). 8 Рефлексия Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексией к занятию№2. Указания и решения домашнего задания к занятию№2 1. Докажите, что если число делится на 9, то и число также делится на 9.Решение. Для доказательства этого факта положим, что число  , где  , и воспользуемся подстановкой  . Получим:  ,следовательно, рассматриваемое число делится на 9. 2. Доказать, что для любого натурального n справедливо неравенство .Решение. При равенство справедливо. Предполагая справедливость равенства при , покажем справедливость его и при . Действительно,  что и требовалось доказать. План-конспект занятия №3 эвристического факультатива 11 класс |
,
.
, 
,
.
, 
,
.
, откуда
, или 
.
, откуда 
, или 
. 
