Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 0.84 Mb.
|
| Тема занятия: «великая сила контрпримера». Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как «котрпример». План занятия 1. Организационный момент. 2. Рефлексия (часть 1). 3. Постановка проблемной ситуации. 4. Ознакомления с эвристикой «контрпример». 5. Рефлексия (часть 2). 6. Первичное усвоение нового материала. 7. Примеры использования приёма «контрпример» в жизни. 8. Постановка домашнего задания. 9. Подведение итогов занятия. 10 Рефлексия (часть3). Литература 1. Балк М.Б. Поиск решения: Научно-популярная лит-ра / М.Б. Балк, Г.Д. Балк . - М. : Дет. лит., 1983. – 143с. 2. Купиллари А. Трудности доказательства. Как преодолеть страх перед математикой / А Купиллари //. Пер. с англ. С.А.Кулешов, 2002. – М.: Техносфера. – 303с. Методические рекомендации по проведению занятия 1. Организационный момент Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №2. 2. Рефлексия (часть 1) Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексивным журналом, и ознакомиться с рефлексией к занятию №3. Далее ученики отмечают свое настроение в начале занятия. 3. Постановка проблемной ситуации Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1. Задача 1. На плоскости даны два равных многоугольника F и F'. Известно, что все вершины многоугольника F принадлежат F' (могут лежать внутри него или на границе). Верно ли, что все вершины этих многоугольников совпадают? Поиск решения задачи 1. Для поиска решения задачи предлагается использовать метод смыслового виденья.. Метод смыслового виденья. Учитель предлагает учащимся попробовать построить такие многоугольники, у которых вершины совпадают, и такие, у которых вершины одного многоугольника лежат внутри или на границе другого. Изображая такие многоугольники, учащийся найдут контрпример к условию данной задачи. Решение задачи. Контрпример: четырехугольники ABCD и DBKA на рисунке (треугольник ABD – равносторонний, а точки K и C симметричны относительно его высоты BB') (рис.7).  Рис.7 4. Ознакомления с эвристикой «переформулировка задачи» Эпиграф к занятию: Убедившись, что теорема верна, Мы начинаем её доказывать. Из афоризмов Рассеянного Профессора Контрпример – это пример, отвергающий верность некоторого утверждения. 5. Рефлексия (часть 2) Ученики отмечают свое настроение в середине занятия. 6. Первичное усвоение нового материала Учитель предлагает рассмотреть задачу 2, задачу 3 и задачу 4. Задача 2. Если число является квадратом натурального числа, то сумма его различных делителей нечетна. Сформулируйте обратную теорему. Верна ли она? Решение задачи. Обратная теорема: «Если сумма делителей натурального числа нечетна, то это число является точным квадратом». Это утверждение опровергается следующим примером. Сумма делителей числа 2 равна 1+2=3, т.е. нечетному числу. Число же 2 не является точным квадратом. Ответ: обратная теорема неверна. Задача 3. Является ли равенство  тождеством, если: 1)  – любое число; 2)  ?Ответ: 1).равенство не имеет места, например, при  , а поэтому не является тождеством. 2). на заданном множестве равенство является тождеством.Задача 4. сумма двух возрастающих функций является возрастающей функцией, и доказательство этого утверждения обычно проводят примерно следующим образом: «Если функции у=f(x) и у=g(x) возрастают, т.е. при любых авыполняются неравенства f(a) Все ли в этом доказательстве логически чисто? Решение задачи. Один пробел, можно сказать, бросается в глаза — конечно, о числах а и b надо было сказать, что оба они принадлежат областям определения обеих данных функций. А при этом добавлении в связи с этим доказательством вроде бы и не остается никаких проблем. Но, задумавшись об области определения, следует задать себе вопрос, а что будет, если таких двух чисел а и b не существует, если их области определения не имеют общих точек или только одну общую точку? Например, функция  – возрастающая (рис.8) (напомним, что функцию называют просто возрастающей, если она возрастает на своей области определения), и точно так же возрастающей является функция  (рис.9), но сумма этих функций  – определена только в точке  (рис.10), и считать эту функцию возрастающей нельзя.
7. Примеры использования приёма «контрпример» в жизни Тем, кто утверждает, что яблоки не могут расти гроздьями можно, поставить в контр пример рябину. А тем, кто утверждает, что все ягоды помещаются на ладони можно поставить в контр пример арбуз. 8. Постановка домашнего задания 1. Можно ли заявить, что для любых вещественных чисел и  справедливо равенство  ?2. Для любого положительного вещественного числа  выполняется неравенство  .9. Подведение итогов занятия Учитель задает ученикам следующие вопросы: 1. Что такое контрпример? (Контрпример – это пример, отвергающий верность некоторого утверждения.). 2. Для чего используется контрпример? (Для опровержения истинности некоторого утверждения). 10 Рефлексия (часть3) Ученики отмечают свое настроение в конце занятия. Указания и решения домашнего задания к занятию№3 1. Можно ли заявить, что для любых вещественных чисел и справедливо равенство ?Решение. В качестве доказательства такого «факта» предъявить конкретную пару чисел, удовлетворяющую этому соотношению. Действительно, если  , то  ,  .Следовательно, равенство верно.Более того, если одного примера не достаточно, можно предъявить и еще несколько:  ;  ;  и т.д. Легко заметить, что одно из чисел в предъявленных парах всегда равно 0. Однако мы утверждали, что равенство справедливо для любой пары чисел. А что будет, если мы подставим в равенство  ?  ,  . В этом случае, очевидно, равенство не выполняется. Несмотря на большое количество примеров, которые, казалось бы, подтверждают равенство, мы нашли один, который ему противоречит, т.е. контрпример.Ответ: нет. 2. Для любого положительного вещественного числа выполняется неравенство .Решение. Попытаемся найти контрпример. Если  , то  и  . В этом случае  . Поэтому утверждение ложно.Ответ: неверно. План-конспект занятия №4 эвристического факультатива 11 класс Тема занятия: «то же самое – но иначе…». Эвристическая цель: ознакомить учащихся с таким эвристическим приёмом как «переформулировка задачи». План занятия 1. Организационный момент. 2. Рефлексия (часть 1). 3. Постановка проблемной ситуации. 4. Ознакомления с эвристикой «переформулировка задачи». 5. Рефлексия (часть 2). 6. Первичное усвоение нового материала. 7. Примеры использования приёма «переформулировка задачи» в жизни. 8. Постановка домашнего задания. 9. Подведение итогов занятия. 10 Рефлексия (часть3). Литература 1. Балк М.Б. О привитии школьникам навыков эвристического мышления / М.Б. Балк ., Г.Д. Балк О // Математика в школе, 1985. – №2. – С.55-60. 2. Балк М.Б. Поиск решения: Научно-популярная лит-ра / М.Б. Балк, Г.Д. Балк . - М. : Дет. лит., 1983. – 143с. 3. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб.пособие. / Л.В. Виноградова // Ростов н/Д.: Феникс. – 2005. – 252с. 4. Дорофеев Г.В. Переформулировка задачи / Г.В. Дорофеев // Квант. - 1974. – №1. – С.53-59. 5. Миракова Т.Н. Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах / Т.Н. Миракова // Львов: Журнал «Квантор». – 1991. 6. Фридман М. Учитесь учиться математике // М. Фридман. – 1985. – С. 53-58. Методические рекомендации по проведению занятия 1. Организационный момент Учитель приветствует учеников. И разбирает возникшие вопросы, по выполнению домашнего задания к занятию №3. 2. Рефлексия (часть 1) Учитель предлагает ученикам воспользоваться рефлексивным журналом, и ознакомиться с рефлексией к занятию №4. Далее ученики помещают в клетку «начало занятия» ту птицу, которая соответствует их настроению на данном этапе занятия. 3. Постановка проблемной ситуации Учитель предлагает ученикам рассмотреть задачу 1. Задача 1. Сколько корней имеет уравнение  ?Поиск решения задачи 1. Для поиска решения задачи предлагается использовать метод вживания. Метод вживания. Нарисуйте числовую прямую. Представьте, что вы точка х=0 на координатной прямой. С одной стороны от вас на расстоянии 10 делений находится точка А, а с другой стороны, тоже на расстоянии 10 делений, находится точка В. Какое расстояние между точками А и В? (  ).Теперь перейдите на одно деление вправо. В какой точке вы окажетесь? (В точки х=1). И одновременно переместите точки А и В вправо. Какое расстояние теперь между точками А и В? ().Теперь вернитесь в точку х=0.А если вы перейдёте не в право, а в лево, и не на одно деление, а на два. Какое расстояние будет между точками А и В? ( ).А теперь скажите, при сохранении расстояния 20 между точками А и В какой точкой вы можете быть? (Любой).Решение задачи. Пусть – х точка на числовой прямой. Тогда  – расстояние от точки х до 10.  – расстояние от точки х до -10. Поэтому данная задача равносильна следующей задаче: «Сколько существует на числовой прямой точек х, обладающих следующим свойством: сумма расстояний каждой такой точки х от концов отрезка  равна 20 (т.е. длине этого отрезка)?»Ответ: каждая точка х отрезка обладает этим свойством, так что таких точек бесконечно много.4. Ознакомления с эвристикой «переформулировка задачи» Эпиграф к занятию: Сначала я совсем ничего не понял и начал читать задачу во второй раз, потом в третий... (потом) я переписал задачу по-своему, чтобы она выглядела попроще, и вот что получилось… Н.Носов. Витя Малеев в школе и дома Переформулировать задачу – значит заменить ее равносильной, но более простой задачей. 5. Рефлексия (часть 2) Ученики помещают в клетку «середина занятия» ту птицу, которая соответствует их настроению на данном этапе занятия. 6. Первичное усвоение нового материала Учитель предлагает рассмотреть задачу 2 и задачу 3. Задача 2. Найти высоту и радиус основания прямого кругового конуса наибольшего объёма вписанного в шар радиуса R. Решение задачи. Пусть АВС – осевое сечение конуса, А – вершина, О1 – центр основания, О – центр шара радиуса R (рис.11).  Рис.11 Обозначим высоту конуса АО1 через х, а радиус основания О1В – через у. Если  , то  ; если же , то  . В любом случае можно записать  . По теореме Пифагора  , т.е.  , откуда  и  . Задача заключается в отыскании наибольшего значения функции  на  . Находим  ;  при и  . Исследуя характер изменения знаков  (рис.12), заключаем, достигает максимума в точке  . При этом радиус основания конуса  . Рис.12 Ответ:  ;  .Задача 3. Доказать, что уравнение  при любых a, b, c имеет действительные корни. Решение задачи. Нетрудно представить, что «прямое» решение этой задачи – раскрыть скобки и доказать, что дискриминант полученного трехчлена положителен – связано с большими вычислительными трудностями, и мы воспользуемся тем фактом, что квадратный трехчлен (с положительным старшим коэффициентом) имеет действительные корни в том и только в том случае, когда хотя бы в одной точке он принимает отрицательное или нулевое значение. Естественно посмотреть его значение в точках a, b, c – тогда из трех слагаемых остается только одно. Имеем  ; знак полученного произведения зависит от взаимного расположения точек a, b, c на числовой оси, причем это произведение отрицательно, если с лежит между a и b. Но одно из этих трех чисел лежит между двумя другими, и мы получаем решение: пусть, для определенности,  , тогда  и следовательно, трехчлен принимает в точке b отрицательное или нулевое значение, а значит, имеет действительные корни.7. Примеры использования приёма «переформулировка задачи» в жизни Рассмотрим задачу, с которой сталкивается фактически каждый взрослый человек «Как накопить деньги?» Многочисленные семьи по всему миру, пытаясь решить эту задачу, совершают покупки на оптовых рынках, едят бутерброды и проводят субботние вечера дома. Предположим, вы переформулировали задачу, и она стала звучать так: «Как мне стать богаче?» Дополнительные решения этой задачи теперь будут включать в себя поиски более высокооплачиваемой работы, переезд на квартиру подешевле, и т. д. 8. Постановка домашнего задания 1. Найдите высоту и радиус основания прямого кругового цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса  .2. Найти все такие значения х, что  9. Подведение итогов занятия Учитель задает ученикам следующие вопросы: 1. Что значит переформулировать задачу? (Переформулировать задачу – значит заменить ее равносильной, но более простой задачей.). 2. Для чего используется переформулировка задачи? (Для более легкого восприятия задачи). 10 Рефлексия (часть3) Ученики помещают в клетку «конец занятия» ту птицу, которая соответствует их настроению на данном этапе занятия. Указания и решения домашнего задания к занятию№4 1. Найдите высоту и радиус основания прямого кругового цилиндра наибольшего объема, вписанного в шар радиуса .Решение. Пусть  – осевое сечение цилиндра,  – центр шара,  – его диаметр,  – радиус основания цилиндра,  – его высота (рис.13).  Рис.13 Тогда  , где  . Значит,  ,  . Имеем  ;  при и  . Из характера изменения знаков (рис.14) видно, что достигает максимума  . Отсюда находим  . Рис.14 Ответ.  .2. Найти все такие значения х, что Употребленное в формулировке задачи выражение  как известно, понимается в следующем смысле: при любом фиксированном  означает меньшее из двух чисел  и  .«Прямое» решение этой задачи требует рассмотрения двух случаев:  и  . В каждом из этих случаев нужно будет решить квадратное неравенство и отобрать его решение, удовлетворяющее условию  и  соответственно.Между тем нетрудно сообразить, что минимум из двух выражений больше  в том случае, когда оба эти выражения больше , и таким образом, условие задачи равносильно системе неравенств  Решаем эту систему неравенств и получаем ответ.Ответ:  .План-конспект занятия №5 эвристического факультатива 11 класс |
