Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 0.51 Mb.
|
Несколько общих рекомендаций. Прежде всего вспомним, что 1% - это 0,01. Полезно также запомнить: при решении задач на проценты число, с которым сравнивают другое число, принимают за 100%. Пример 1. сколько процентов составляет каждое из чисел 2 и 8 по отношению к другому? Решение. Найдем сначала, сколько процентов составляет число 2 от 8. Число, с которым сравнивают, - это число 8. Значит, именно его примем за 100%, тогда число 2 примем за х%: 8 – 100% 2 –х%, отсюда х =2*100%/8=25%. Итак, число 2 составляет 25% от числа 8. Аналогично, чтобы найти, сколько процентов составляет число 8 от числа 2, примем число 2 (с которым сравнивают) за 100%, а число 8 – за у%: 2 – 100% 8 – у%, отсюда у=8*100%/2=400% Следовательно, число 8 составляет 400% от числа 2. Ответ: 25% и 400%. Напомним основные соотношения и выражения, встречающиеся при решении задач на проценты.
5. Предложение «Число а увеличили на р%, а потом уменьшили q%» представляется выражением а(1+0,01*р)(1-0,01* q). 6. При ответе на вопрос «На сколько процентов число а больше числа b?» требуется найти значение выражения (а-b)/b*100%. Пример 2. Число а составляет 40% от числа b, а число с составляет 120% от числа b. Найти числа а, b, с, если известно, что а меньше с на 72. Решение. Согласно пункту 1 и условию задачи  а=0,4bс=1,2b с-а=72, отсюда 1,2b – 0,4b=72, b=90, а=36, с=108. Ответ. 36, 90 и 108. Пример 3. На сколько процентов изменится произведение двух чисел, если первое из них увеличить на 25%, а второе уменьшить на 60%? Решение. Пусть а – первое число, b – второе число, аb – их произведение. Согласно выражениям, указанным в пунктах 2 и 4, новое значение первого сомножителя равно а(1+0,01*25)=1,25а, новое значение второго сомножителя равно b(1-0,01*60)=0,4b, а их произведение 1,25а*0,4b=0,5ab. Понятно, что произведение уменьшилось в 2 раза, т.е на 50% Ответ. Уменьшится на 50%. Примечание. При сравнении произведений ab и 0,5ab можно также воспользоваться выражением, приведенным в пункте 6: ((0,5ab-ab)/ ab)*100%=(ab-0,5ab)/ ab*100%=50%. Пример 4. Количество учеников в VII классах школы на 35% больше, чем в VIII, а в VIII– на 25% больше, чем в IX. Сколько учеников в каждой из этих параллелей, если всего в VII – IX классах обучается 315 человек? Решение. Т. к. в основе сравнения – количество учеников IX классов, примем это количество за 100%. Пусть в IX классах школы обучается х человек. Тогда, в соответствии с пунктами 2 и 3, в VIII классах обучается 1,25х человек, а в VII – 1,35*1,25х человек. По условию задачи составим уравнение х+1,25х+1,35*1,25х=315, из которого х=80. Итак, в IX классах обучается 80 человек, в VIII классах 1,25*80=100 человек, в VII классах обучается 315-(80+100)=135 человек. Ответ. 135, 100, 80 человек. Пример 5. Две бригады, работая вместе, изготовили за смену 144 детали. После того как первая бригада повысила производительность труда на 15%, а вторая на 25%, вместе они стали изготавливать за смену 172 детали. Определите, сколько деталей стала изготавливать за смену каждая бригада после повышения производительности труда. Решение. Пусть первая и вторая бригады за смену изготавливают х и у деталей соответственно. По условию задачи х+у=144. В результате повышения производительности труда первая бригада стала изготавливать за смену 1,15х деталей, а вторая – 1,25у деталей (согласно пункту 2). По условию задачи 1,15х+1,25у=172. Решив систему уравнений  х+у=1441,15х+1,25у=172, получим х=80, у=64. После повышения производительности труда первая бригада стала изготавливать 1,15*80=92 детали, а вторая бригада 1,25*64=80 деталей. Ответ. 92 и 80 деталей. Задачи для самостоятельного решения. Задача 1. Три коробки наполнены конфетами. Во второй коробке конфет на 10% больше, чем в первой, и на 30% больше, чем в третьей. Сколько конфет в каждой коробке, если известно, что в первой их на 160 штук больше, чем в третьей? Ответ. 1040, 1144, 880 конфет. Задача 2. Реконструкция железнодорожных путей позволила увеличить на 20% скорость движения поездов на участке длиной 240 км. В результате время прохождения поездами этого участка сократилось на 48 минут. За какое время поезда стали проходить этот участок? Ответ. За 4 часа. Задача 3. Фабрика за первую неделю выполнила 20% месячного плана, за вторую неделю произвела 120% продукции, выпущенной за первую неделю, а за третью неделю 60% продукции, выпущенной за первые две недели вместе. Определите месячный план выпуска продукции, если известно, что для его выполнения за последнюю неделю месяца необходимо изготовить 2960 единиц продукции. Ответ. 10000 единиц продукции. Задача 4. Урожайность на втором поле на 10% больше, чем на первом, а на третьем на 35% больше, чем на первом. Какова урожайность на втором поле, если средняя урожайность на трех полях составляет 46 ц/га? Ответ. 44 ц/га. Задача 5. Вторая бригада выполняет заказ на 1 ч быстрее первой. Если бы производительность труда первой бригады была на 25% меньше, а второй – на 40% больше, вместе они выполняли бы заказ за 2 ч. За какое время выполняет заказ одна вторая бригада? Ответ. За 4 ч. Задача 6. В настоящее время в поселке 46656 жителей. Известно, что за последние годы население в поселке ежегодно увеличивалось на 8%.сколько жителей было в поселке 2 года назад? Ответ. 40000 жителей. Задача 7. За первую поездку автомобиль израсходовал 20% имевшегося в баке бензина, а за вторую – 25% оставшегося бензина, после чего в его баке осталось на 11 л больше, чем было израсходовано за обе поездки. Сколько литров бензина было в баке первоначально? Ответ. 55 л. Задача 8. При подготовке к экзамену ученик прочитал в первый день несколько десятков страниц учебника. В дальнейшем он ежедневно увеличивал количество прочитанных страниц на к%. При этом во второй день он прочитал на 20 страниц больше, чем в первый, а за третий день, прочитав 125 страниц, закончил чтение учебника. Определите, сколько страниц в учебнике. Ответ. 305 страниц. Задача 9. В трех бочках была вода, причем в первой бочке ее было столько же, сколько в третьей. Из первой бочки перелили 30% воды во вторую бочку, а затем из второй перелили 40% воды в третью, в результате чего в третьей бочке воды стало на 32% больше, чем было до переливания. Сколько воды отлили из первой бочки, если известно, что во второй бочке первоначально было 60 л воды? Ответ. 36 л. Задачи, связанные с изменением цены. Решение подавляющего большинства задач этого вида опирается на применение следующих основных формул, в которых буквами S0 и S обозначены первоначальная и новая (окончательная) цена некоторого товара соответственно.
Аналогично, если цена сначала понизилась на а%, а затем повысилась на b%, то S = S0 (1-а*0,01)(1+b*0,01). 3. Если цена товара повышалась п раз на а%, то ее окончательное значение S= S0 (1+а*0,01) п , а если цена понижалась п раз на b%, то S= S0 (1-b*0,01) п Как показывает практика, многим легче понять и запомнить это формулы, если представить их в виде наглядных схем (рис.1).  с% S0 (1+а*0,01)(1+с*0,01)   а% S0 (1+а*0,01).S0 d% S0 (1+а*0,01)(1-d*0,01) Рис. 1 Эта схема без труда прочитывается: исходная цена S0 сначала повысилась на а% (на это указывает стрелка, направленная вправо вверх), а затем повысилась еще на с% (стрелка вправо вверх) или понизилась на d% (стрелка вправо вниз). Концы стрелок указывают результат преобразований исходной цены. Пример 1. Первоначальная цена товара составляла S0 руб., а новая цена S рассчитывается по формуле S = S0 (1+0,01*а). Определите, как изменилась цена товара и чему равен процент этого изменения. Решение. Выражение S0 (1+0,01*а) имеет стандартный вид (см. пункт 1). Знак «+» в скобках указывает на повышение цены, а коэффициент а – на размер повышения (в процентах). Ответ. Повысилась на а%. Пример 2. Новая цена S товара рассчитывается по формуле S = S0 (1-12*0,01), где S0 – его первоначальная цена. Повысилась или понизилась цена на товар и на сколько %? Решение. В выражении S0 (1-12*0,01) знак «-» в скобках говорит о том, что цена товара понизилась, а множитель при 0,01 (число 12) показывает, на сколько %. Ответ. Понизилась на 12%. В условии задачи выражение, стоящее в правой части формулы, может быть записано иначе. По невнимательности легко упустить это из виду, что может привести к ошибке. Чтобы избежать ее, необходимо предварительно преобразовать данное выражение – привести его к стандартному виду. Пример 3. Первоначальная цена товара равна S0, а новая цена S задается формулой S = S0 +0,2*S0. Определите характер изменения цены и процент этого изменения. Решение. Приведем выражение, стоящее в правой части данной формулы, к стандартному виду: S0 +0,2*S0 = S0 (1+0,2) = S0 (1+20*0,01). Теперь легко ответить на оба вопроса. Ответ. Повысилась на 20%. Пример 4. Цена товара сначала понизилась на 5%, а затем повысилась на 5%. Изменилась ли цена товара и если да, то на сколько процентов? Самые нетерпеливые ответят: «Первоначальная цена не изменилась». Думающие ученики рассуждают приблизительно так: «Первоначальная цена понизилась на 5%, в результате чего новая сумма оказалась меньше исходной. Затем полученная сумма повысилась на 5%. Но теперь на 5% приходится сумма меньше той, на которую исходная цена понизилась. Значит, в результате указанных преобразований первоначальная цена понизилась». Остается вычислить % понижения. Решение. Составим схему преобразований. S   0 S0 (1-5*0,01)(1+5*0,01)5% S0 (1-5*0,01) 5% Имеем: S0 (1-5*0,01)(1+5*0,01) = S0 (1-25*0,0001) = S0 (1-0,25*0,01). Итак, первоначальная цена понизилась на 0,25%. Ответ. Понизилась на 0,25%. Подумайте, изменится ли результат, если цена товара сначала повысится на 5%, а затем понизится на 5%. Результат не зависит от порядка проводимых преобразований: полученное во втором случае выражение S0 (1+5*0,01) (1-5*0,01) тождественно равно рассмотренному ранее выражению S0 (1-5*0,01)(1+5*0,01). Таким образом, и в этом случае первоначальная цена понизится на 0,25%. Пример 5. Цена на некоторый товар сначала поднялась на 25%, а потом еще на 30%. Другой товар поднялся в цене на 30%, и его новая цена стала равна новой цене первого товара. Какова исходная цена первого товара, если второй до повышения цены стоил 1,25 тыс. руб.? Решение. Пусть искомая цена первого товара х тыс. руб. Отобразим схематично указанные в задаче преобразования цен.  30% х(1+25*0,01)(1+30*0,01) 25% х(1+25*0,01)х преобразование цены на первый товар  30% 1,25(1+30*0,01)1,25 преобразование цены на второй товар По условию задачи новые цены обоих товаров равны, следовательно, получаем уравнение х(1+25*0,01)(1+30*0,01) = 1,25(1+30*0,01), откуда х=1. Ответ. 1 тыс. руб. Пример 6. Некоторый товар стоил 3150 руб. после двух последовательных понижений цены он стал стоить 1512 руб. Сколько стоил товар после первого понижения цены, если второе понижение было на 20% больше, чем первое? Решение. Обозначим за х процент первого понижения цены, тогда процент второго понижения – (х+20)%. Составим схему преображений цены товара. 3  150 х% 3150(1-х*0,01)(х+20)% 3150(1-х*0,01)(1-(х+20)*0,01) Зная, что окончательная цена товара 1512 руб., составим уравнение 3150(1-х*0,01)(1-(х+20)*0,01)=1512. Решив его, получим: х=160 или х=20. Первый корень не подходит по смыслу задачи (иначе продавец раздавал бы товар, доплачивая покупателям 60% его стоимости). Ответ на вопрос задачи получим, найдя значение выражения 3150(1-х*0,01) при х=20: 3150(1-20*0,01)=3150*0,8=2520. Ответ. 2520 руб. Пример 7. После двух последовательных понижении цены товар стал стоить 2400 руб. Какова исходная цена товара, если после первого понижения его цена была 3200 руб., а процент второго понижения был на 5% больше, чем процент первого? Решение. Пусть искомая цена первого товара х руб., а процент первого понижения цены у%. Тогда процент второго понижения составляет (у+5)%. Изобразим схему преобразований цены товара. По условию задачи после первого снижения цена товара составила 3200 руб. Составим уравнение х(1-у*0,01)=3200. х % у% х(1-у*0,01)(у+5)% х(1-у*0,01)(1-(у+5)*0,01) После двух снижений цена товара стала равна 2400 руб. Значит, второе уравнение имеет вид х(1-у*0,01)(1-(у+5)*0,01)=2400. В результате получаем систему уравнений  х(1-у*0,01)=3200х(1-у*0,01)(1-(у+5)*0,01)=2400 Ее решение – пара чисел х=4000, у=20 Ответ. 4000 руб. Примечание. Обратите внимание на такой момент: коль скоро в задаче спрашивается о первоначальной цене, обозначенной за х, то, решая систему, достаточно найти лишь значение переменной х. Значит, целесообразно выразить переменную у через х и решить только одно уравнение – относительно х. Кроме того, полезно решить эту задачу, введя только одну переменную. Рассмотрим и это решение, поскольку оно поясняет важный момент: как выражается процент изменения (повышения или понижения) цены через исходную и конечную цены товара. Итак, пусть х руб. – первоначальная цена товара, а 3200 руб. – цена после первого понижения. Так как мы сравниваем 3200 руб. с х руб., исходную цену следует принять за 100%. Тогда новая цена составит (3200*100/х)% от нее, а процент первого понижения цены будет равен (100-3200*100/х)%. Рассуждая аналогично, можно выразить процент второго понижения цены. Теперь за 100% примем цену 3200 руб. Окончательная цена 2400 руб. составит (2400*100/3200)%=75% от нее. Следовательно, второй раз цена понизилась на (100-75)%=25%. По условию задачи второе понижение цены было на 5% больше, чем первое, значит, сначала цену понизили на 20%. Получаем уравнение 100-3200*100/х=20, откуда х=4000. Задачи для самостоятельного решения. |
