Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах и улицах «Добрая дорога детства» 2
Скачать 0.51 Mb.
|
Задача 1. Цену на некоторый товар понизили дважды: сначала на 15%, а потом на 20%. Чему равен общий процент понижения цены? Ответ. 32% Задача 2. Первый товар подорожал на 40%, а потом еще на 25%. Второй товар подорожал на 30%, после чего оказалось, что новая цена первого товара на 40% выше цены второго товара. На сколько % первоначальная цена первого товара была больше первоначальной цены второго товара? Ответ. На 4%. Задача 3. Товар А на 20% дешевле товара В. Товар В поднялся в цене сначала на 25%, а потом еще на 20%. На сколько % необходимо поднять цену товара А, чтобы она стала равна новой цене товара В? Ответ. На 87,5%. Задача 4. Цена первого товара поднялась сначала на 35%, а потом еще на 20% и стала равна 324 руб. Цена второго товара поднялась на 25% и стала равна первоначальной цене первого товара. Какова первоначальная цена второго товара? Ответ. 160 руб. Задача 5. Товар стоил 5000 руб. Сначала его цену подняли на несколько %, а затем понизили, причем процент понижения цены оказался на 10% меньше, чем процент повышения. В итоге товар стал стоить 5200 руб. Какова была цена товара после повышения цены? Ответ. 6500 руб. Задача 6. В течение некоторого периода цена на товар повышалась дважды на 20%. На сколько % теперь цену надо понизить, чтобы она стала прежней? Ответ. 56,25% Задача 7. Цена на некоторый товар повысилась в июне на 10%, в июле – на 20%, а в августе – на 25%. На сколько процентов по сравнению с первоначальной ценой повысилась цена товара за лето? Ответ. На 65%. Задачи о вкладах и займах. Дадим несколько пояснений, связанных с деятельностью банков. Клиент помещает деньги в банк под определенный процент с целью сохранить их и преумножить. Вложенные деньги банк пускает «в оборот», таким образом, средства вкладчика «обрастают» дополнительными деньгами, часть которых идет на выплату клиенту процентов по вкладу. Если за время действия договора банк не изменяет процентную ставку по вкладу, то при решении приведенных ниже задач можно пользоваться следующими соотношениями.
Через 1 год сумму S = S0 (1+а*0,01), Через 2 года сумму S = S0 (1+а*0,01)2 и т. д., Через п лет сумму S = S0 (1+а*0,01)п 2. Получив в банке кредит на сумму S0 под а% годовых, клиент должен выплатить банку: Через 1 год сумму S = S0 (1+а*0,01), Через 2 года сумму S = S0 (1+а*0,01)2 и т. д., Через п лет сумму S = S0 (1+а*0,01)п Если же в задаче сказано, что в процессе работы с клиентом банк поменял процентную ставку, следует применить формулы, данные в предыдущих разделах. Поиск решения задачи о вкладе или займе облегчает применение простой, но очень полезной таблицы. Она помогает яснее представить рассматриваемую в задаче ситуацию, четко выделить основные характеристики процесса.
Пример 1. Клиент положил деньги в банк под определенный процент годовых и через год снял ¼ часть получившейся суммы. На следующий год банк увеличил процент годовых в 2 раза. К концу второго года сумма вклада превысила первоначальную сумму на 164%. Чему равен новый процент годовых, установленный банком? Решение. Пусть S0 – положенная в банк сумма, а х% - первоначальный % годовых. Заполним таблицу.
По условию задачи сумма вклада на конец второго года превышает первоначальную сумму на 164%. Поскольку при сравнении величин за 100% принимают ту величину, с которой сравнивают, за 100% следует принять сумму S0, тогда окончательная сумма составит 264%. Таким образом, ¾S0 (1+х*0,01)(1+2х*0,01)=2,64 S0. Разделив обе части уравнения на S0 (по смыслу задачи S0 больше 0) и выполнив необходимые преобразования, получим равносильное уравнение х2 + 150х – 12600 = 0 Оно имеет корни х=60, х = - 210. второй корень не подходит по смыслу задачи. Следовательно, новый процент годовых по вкладу составил 2*60%=120% Ответ. 120%. Примечание. Анализ решения этой задачи показывает, что результат не зависит от вложенной суммы. А это означает, что можно было производить все вычисления, исходя из предположения, что вкладчик положил на счет в банке 1 денежную единицу. Отметим, что в задаче не были указаны единицы, в которых измерялась денежная масса. Теперь сравните следующие три задачи и укажите, в какой из них исходную сумму можно принять за 1. Задача 1. Курс рубля по отношению к доллару каждый квартал падает на 4%. У вкладчика есть 2 варианта размещения денег в банке. Положить их на рублевый счет с начислением 120% в конце года либо обменять рубли на доллары и положить деньги на валютный счет с ежемесячным начислением 6% от текущей суммы. На сколько процентов сумма на рублевом счете будет через год больше или меньше суммы на валютном счете? (Курсы покупки и продажи долларов считать неизменными). Задача 2. Вкладчик положил в сбербанк под некоторый процент 12 тыс. руб. Через год он снял со счета половину процентной прибавки, а основной вклад и оставшуюся прибавку оставил в банке. Еще через год на его счете оказалось 36 тыс. руб. Чему равен процент годовых по этому вкладу? Задача 3. Фермер взял в банке кредит под некоторый процент годовых. Через год за счет погашения кредита он вернул банку ¾ всей суммы, которую был должен к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита внес сумму, на 21% превышавшую величину полученного кредита. Чему равен % годовых, по выданному кредиту? Анализ текстов задач должен привести вас к такому выводу: исходную сумму можно принять за 1 в задачах 1 и 2. Решение 1. Пусть вкладчик кладет в банк S0 руб. Тогда при обменном курсе к имеем. Первый вариант размещения денег.
Второй вариант размещения денег.
По условию задачи необходимо сравнить две суммы: 2,2 S0 к*0,964 и S0 к*1,06 12. примем вторую сумму за 100%, а первую - за х%. 2,2 S0 к*0,964 - х% S0 к*1,06 12 - 100%, откуда х = 2,2*0,964 *100/1,06 12 % В задаче требуется найти значение разности (х-100)%. Получим: (2,2*0,964*100/1,0612 %)-100 = -7% Следовательно, сумма на рублевом счете будет меньше чем, на валютном, примерно на 7%. Ответ. На 7% меньше. Решение 2. Обозначим процент годовых в банке за х%. Оформим в виде таблицы.
По условию задачи в конце второго года на счете вкладчика оказалось 36 тыс. руб. Таким образом, получаем уравнение 12(1+х*0,01)(1+0,5*х*0,01) = 36, откуда х=-400, х=100. Первый корень не подходит по смыслу задачи. Ответ. 100%. Решение 3. Пусть S0 - сумма выданного кредита, а х% - процент годовых.
По условию задачи сумма, внесенная в счет полного погашения кредита, превышает его размер на 21%. Примем сумму S0 за 100%, тогда сумма долга на конец второго года составляет 121%. Получим уравнение 121*S0 = 100*0,25S0(1+х*0,01) 2 Оно имеет корни х=120, х=-300. Корень х=-300 не подходит, так как по смыслу задачи х больше 0. Ответ. 120%. Пример 2. За время хранения в банке проценты по вкладу начислялись ежемесячно: сначала в размере 5%, затем 11 1/9%, потом 7 1/7%, наконец, 12% в месяц. Известно, что каждая процентная ставка действовала целое число месяцев, и по стечению срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%. Определите срок хранения вклада. Решение. Анализ текста задачи позволяет принять исходную сумму за 1 денежную единицу. Обозначив сроки хранения вклада под действием указанных процентных ставок за п1, п2, п3, п4 соответственно, получим уравнение (1+0.01*5)n1 (1+0,01*100/9)п2(1+0,01*50/7) п3 (1+0,01*12)п4 = 2,8, где переменные п1, п2, п3, п4 могут принимать только натуральные значения. Подсчитав значение выражений в скобках, и записав каждое из них, а также стоящее в правой части число 2,8 в виде обыкновенной дроби, получим уравнение (21/10)n1 (10/9)n2 (15/14)n3 (28/25)n4= 14/5. Анализируя натуральные числа в записи дробей, можно заметить, что набор их простых делителей (2, 3, 5, 7) равен числу переменных. Возникает идея – разложить все получившиеся натуральные числа на простые множители и перемножить слева степени каждого простого числа-делителя. А затем приравнять показатели соответствующих степеней, стоящих в обеих частях уравнения. Выполним эти преобразования. (3*7/225)n1(2*5/32)n2(3*5/2*7)n3(22*7/52)n4= 2*7/5,  3n1-2n2+n3 = 30 n1-2n2+n3 = 0 7n1-n3+n4 = 71 n1-n3+n4 = 1 2-2n1+n2-n3+2n4 = 21 -2n1+n2-n3+2n4 = 1 5-n1+n2+n3-2n4 = 5-1, -n1+ n2 +n3-2n4 = -1. Сложим почленно второе и четвертое уравнения последней системы: n2–n4=0, откуда n2= n4. Поставим во второе уравнение n2 вместо n4, сложим первые два уравнения и выразим n1: n1= (1+ n2)/2. Теперь подставим найденное выражение n1 через n2 в первое выражение и выразим n3: n3=(3n2-1)/2.Осталось подставить найденные выражения переменных п1, п2, п3, п4 в третье уравнение. В результате получим систему n3 = (3n2-1)/2n1 = (1+n2)/2 -2*(1+n2)/2+n2-(3n2-1)/2 +2n2 = 1 n4 = n2, о  ткуда n2 = n4 = 3 n1 = 2 n3 = 4. Следовательно срок хранения вклада п1+ п2+ п3+ п4=2+3+4+3=12 (месяцев). Ответ. 12 месяцев. Задачи для самостоятельного решения. Задача 1. В банке взят кредит в размере 500 тыс. руб. под определенный процент годовых. Через год в счет погашения кредита было внесено 500 тыс. руб., а еще через год для его полного погашения потребовалось выплатить 120 тыс. руб. Чему равен процент годовых по выданному кредиту? Ответ. 20%. |
