Занятие 6
Решение диофантовых уравнений
с использованием цепной дроби
(занятие-практикум)
План занятия
Актуализация знаний (проверка знания теории и выполнения практических заданий).
Решение задач с использованием цепной дроби.
Постановка домашнего задания.
Оборудование: заполненные конспекты-заготовки предыдущей лекции, карточки с заданиями для фронтальной и групповой работы.
Ход занятия
Основная цель занятия — овладение учащимися способом решения уравнений с использованием цепной дроби. Необходимо провести проверку усвоения теоретического материала: основных понятий, алгоритма решения. Целесообразно, чтобы формулы для решения уравнения были «перед глазами учащихся» в процессе проведения занятия. Можно записать их на доске, а также использовать заполненные конспекты-заготовки предыдущей лекции.
На занятии нужно рассмотреть задачи, для которых сразу ясна идея решения (№ 12(а, б), 13, 14 из Приложения 1), а также задачи, требующие обдумывания и смекалки (№ 15, 16 из Приложения 1). Задачи № 15, 16 можно предложить учащимся для решения в группах, а затем проверить решение фронтально. Можно до оформления решения обсудить его идею, наметив основные шаги, и предложить учащимся выполнить решение самостоятельно. Затем проверить полученный ответ. Часть из предлагаемых заданий можно дать на дом учащимся.
Рассмотрим решение задач № 15 и 16.
Задача № 15. Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причем петух стоит 5 монет, курица — 4, а 4 цыпленка — одну монету?
Решение.
Пусть x — искомое число петухов, у — кур, а 4z — цыплят. Составим систему уравнений, которую надо решить в целых неотрицательных числах.
Умножив первое уравнение системы на 4, а второе на (–1) и сложив результаты, придем к уравнению –x + 15z = 300 с целочисленными решениями x = –300 + 15t, z = t. Подставляя эти значения в первое уравнение, получим y = 400 – 19t. Значит, целочисленные решения системы имеют вид
x = –300 + 15t, y = 400 – 19t, z = t.
Из условия задачи вытекает, что
 откуда  , т. е. t = 20 или t = 21.
Ответ. На 100 монет можно купить 20 кур и 80 цыплят или 15 петухов, 1 курицу и 84 цыпленка.
Задача № 16. Крестьянка несла на базар корзину яиц. Неосторожный всадник, обгоняя женщину, задел корзину, и все яйца разбились. Желая возместить ущерб, он спросил у крестьянки, сколько яиц было в корзине. Она ответила, что число яиц не знает, но когда она раскладывала их по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз одно яйцо оставалось лишним,
а когда она разложила по 7, лишних яиц не осталось. Сколько яиц несла крестьянка на базар?
Решение.
Пусть x — число яиц. Так как (x – 1) делится на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, то оно делится на их НОК, равное 60. Значит, x имеет вид 60у + 1.
Поэтому для ответа на вопрос задачи надо решить в натуральных числах уравнение 60у + 1 = 7z или 7z – 60у = 1.
С помощью способа с использованием цепной дроби получаем, что целочисленные решения уравнения имеют вид у = –2 + 7t, z = –17 + 60t, где t — любое целое число.
Наименьшее положительное решение получаем при t = 1. В этом случае у = 5, z = 43. Итак, крестьянка несла на базар 301 яйцо.
Ответ. Крестьянка несла на базар 301 яйцо.
В домашнее задание обязательно включить повторение способов решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида
и цепной дроби, а также ряд задач, которые нужно решить этими способами.
|
