Занятие 4
Решение диофантовых уравнений
с использованием алгоритма Евклида
(занятие-практикум)
План занятия
Актуализация знаний (проверка знания теории и выполнения практических заданий).
Решение задач с использованием алгоритма Евклида.
Постановка домашнего задания.
Оборудование: заполненные конспекты-заготовки предыдущей лекции, карточки с заданиями для фронтальной и групповой работы.
Ход занятия
Актуализация знаний
Проведение первого этапа занятия-практикума — учитель может спланировать по своему усмотрению. Необходимо организовать проверку выполнения домашнего задания, включающего как теоретические вопросы, так и практические задания.
Решение задач с использованием алгоритма Евклида
Задания для решения выбираются по принципу: от простого к сложному. Для овладения методом решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида можно предложить вначале решить уравнения, не связанные с какой-либо реальной ситуацией. Например, № 6(в, г). Затем можно предложить решение текстовых задач на составление линейных диофантовых уравнений: например № 9, 10 (все задания указаны из Приложения 1). Задания можно выполнить в группах, а затем проверить полученные ответы. Ниже приведем решение задачи № 9.
Неотъемлемой частью занятия-практикума является решение нестандартных задач, заданий повышенной трудности. В процессе их выполнения можно использовать прием разбиения на подзадачи. К таким заданиям можно отнести и задачу № 11, которую мы далее рассмотрим.
Заметим, что в ходе решения задач, учащиеся могут опираться на заполненный опорный конспект предыдущей лекции, в котором выделен способ решения диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида.
Задача № 9. Транспортные организации имеют в наличие машины вместимостью 3,5 т и 4,5 т. Следует перевезти груз весом 53 т. Сколько машин нужно выделить для одного рейса?
Решение.
Пусть x машин по 3,5 т, у — машин по 4,5 т. Составим и решим уравнение: 3,5х + 4,5у = 53. Перейдем к уравнению с целыми коэффициентами, например, умножим обе части уравнения на 2. Получим: 7х + 9у = 106.
НОД (7; 9) = 1, уравнение имеет целые решения.
Так как t — принимает целые значения, то системе неравенств удовлетворяют значения t = –47 и t = –46. Получим решение диофантова уравнения в натуральных числах:
Таким образом, для одного рейса можно взять:
а) 1 машину вместимостью 3,5 т и 11 машин вместимостью 4,5 т;
б) 10 машин вместимостью 3,5 т и 4 машины вместимостью 4,5 т.
Полезно обратить внимание на то, какой из возможных вариантов будет наиболее эффективным для работы предприятия с экономической точки зрения (экономия бензина, средств на оплату труда водителям и т. д.).
Задача № 11. Школа получила 1 млн р. на приобретение 100 единиц учебного оборудования (на всю сумму без сдачи). Администрации школы предложили оборудование стоимостью 3 000, 8 000 и 12 000 р. за единицу. Сколькими способами школа может закупить это оборудование. Укажите один из способов.
Решение.
В ходе обсуждения идеи решения данной задачи, необходимо выяснить: что дано, что неизвестно в условии, как связаны между собой данные и искомые. Затем переходить к составлению математической модели задачи.
1) Составление системы уравнений.
Пусть приобретено x единиц оборудования по 12 000 р., y единиц оборудования по 8 000 р., z единиц оборудования по 3 000 р.
Всего приобретено 100 единиц оборудования, т. е. x + y + z = 100, причем на приобретение 100 единиц оборудования затрачено 1 млн р., т. е.
12 000 x + 8 000 y + 3 000 z = 1 000 000,
12x + 8y + 3z = 1 000.
Таким образом, получаем систему двух уравнений с тремя неизвестными:
Вопрос учителя: всегда ли задача будет иметь решение? Иначе: какими должны быть x, y, z ?
(Ответ: x > 0, y > 0, z > 0.)
2) Обсуждение решения системы.
Во-первых, исключим z путем вычитания из второго уравнения первого, умноженного на 3. Следовательно, получаем диофантово уравнение первой степени с двумя неизвестными 9 x+ 5 y = 700.
Во-вторых, его можно решить способом с использованием алгоритма Евклида.
3) Оформление решения задачи.
Так как уже получили уравнение, которое решается известным способом, то оформление решения можно предложить выполнить учащимся дома. В результате решения получается, что приобрести оборудование библиотека может шестью способами. Укажем одно из частных решений задачи: x = 65, y = 23, z = 12, т. е. школа на 1 млн р. может приобрести 65 единиц оборудования по 12 000 р., 23 единицы оборудования по 8 000 р., 12 единиц оборудования по 3 000 р.
3. Постановка домашнего задания
В качестве домашнего задания можно преложить учащимся решить задачи № 2, 3, 5 из Приложения 1 с использованием алгоритма Евклида.
|
