Занятия элективного курса
«Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта»
и их методическое обеспечение Занятие 1 (вводное)
План занятия
Цели и задачи элективного курса «Диофантовы уравнения». Организация занятий курса.
Диофант и его уравнения (исторический экскурс).
Распределение заданий к семинарским занятиям для групповой
и индивидуальной работы учащихся.
Оборудование: портрет Диофанта, плакаты (слайды) с текстом надписи на гробнице Диофанта (компьютерная презентация, иллюстрирующая рассказ учителя о Диофанте и его уравнениях).
Ход занятия
Вступительное слово учителя
На первом вводном занятии слушателям сообщаются цели проведения данного элективного курса, обращается внимание на необходимость выбора учащимися профиля класса на старшей ступени, задается ориентация на математический (естественно-научный) профиль, подчеркивается значимость математических методов для решения различных задач, отражающих реальные ситуации.
Раскрывая суть названия курса, первое занятие следует начать с задачи «О сказках Шехерезады»:
Шехерезада рассказывает свои сказки великому правителю. Всего она должна рассказать 1 001 сказку. Сколько ночей потребуется Шехерезаде, чтобы рассказать все свои сказки, если x ночей она будет рассказывать по 3 сказки, а остальные сказки по 5 за у ночей (Сюжет был предложен Б. А. Кордемским в статье «Этому виду задач более 1 600 лет» в журнале «Квант» [13]).
Сказочнице, очевидно, потребуется x + у ночей, где x и у — натуральные корни уравнения 3х + 5у = 1 001, которое и называют диофантовым уравнением в честь знаменитого математика II—III веков н. э. Диофанта. Обращаем внимание, что изучение различных способов решения таких уравнений и будет находиться в центре внимания на занятиях элективного курса. Предложить учащимся в качестве домашнего задания найти хотя бы одно решение данного уравнения. Как правило, учащиеся выполняют это задание подбором корней или с использованием способа переборов возможных вариантов, который и будет рассматриваться на занятии № 2. В связи с этим к решению задачи имеет смысл вернуться на этом занятии.
2. Рассказ учителя об известном ученом-математике Диофанте и его уравнениях
Диофант и его уравнения
В наши дни каждый, кто занимался математикой как профессионал или как любитель, слышал о диофантовых уравнениях и даже о диофантовом анализе. За последние 15—20 лет эта область сделалась «модной» благодаря своей близости к алгебраической геометрии — властительнице дум современных математиков. Между тем о том, кто дал имя неопределенному анализу, о самом Диофанте, одном из наиболее интересных ученых античности, почти ничего не написано. О его работах даже историки науки имеют самое превратное представление. Большинство из них считают, что Диофант занимался решением отдельных задач, равносильных неопределенным уравнениям, применяя для этого хитроумные, но частные методы.
Между тем простой разбор задач Диофанта показывает, что он не только обозначил проблему решения неопределенных уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения.
Большинство из нас составляют впечатление об античной математике по «Началам» Евклида, сочинениям Архимеда и Аполлония. Диофант открывает нам мир арифметики и алгебры, не менее богатый и красочный.
Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди полной непроницаемой тьмы.
Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия! Нижняя грань этого промежутка определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского, который жил в середине II века до н. э. С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского
к «Альмагесту» знаменитого астронома Птолемея помещен отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине IV века н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!
Французский историк науки Поль Таннери, издатель наиболее полного текста Диофанта, попытался сузить этот промежуток. В библиотеке Эскуриала он нашел отрывки из письма Михаила Пселла, византийского ученого XI века, где говорится, что «ученейший Анатолий, после того как собрал наиболее существенные части этой науки (речь идет о введении степеней неизвестного и об их обозначениях), посвятил их своему другу Диофанту». Анатолий Александрийский действительно составил «Введение в арифметику», отрывки из которой приводят в дошедших до нас сочинениях Ямблих и Евсевий. Но Анатолий жил в Александрии в середине III века н. э. и даже более точно — до 270 года, когда он стал епископом Лаодакийским. Значит, его дружба с Диофантом, которого все называют Александрийским, должна была иметь место до этого. Итак, если знаменитый александрийский математик и друг Анатолия по имени Диофант составляют одно лицо, то время жизни Диофанта — середина III века н. э.
Сама же «Арифметика» Диофанта посвящена «достопочтенному Дионисию», который, как видно из текста его «Введения», интересовался арифметикой и ее преподаванием. Хотя имя Дионисий было в то время довольно распространенным, Таннери предположил, что «достопочтенного» Дионисия следует искать среди известных людей эпохи, занимавших видные посты. И вот оказалось, что в 247 году епископом Александрии стал некий Дионисий, который с 231 года руководил христианской гимназией города! Поэтому Таннери отождествил этого Дионисия с тем, которому посвятил свой труд Диофант, и пришел к выводу, что Диофант жил в середине III века н. э. Мы можем, за неимением лучшего, принять эту дату.
Место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира. После распада огромной империи Александра Македонского Египет в конце IV века до н. э. достался его полководцу Птолемею Лагу, который перенес столицу в новый город — Александрию. Вскоре этот многоязыкий торговый город сделался одним из прекраснейших городов древности. Размерами его превзошел впоследствии Рим, но долгое время ему не было равного. И вот именно этот город стал на многие века научным и культурным центром древнего мира. Это было связано с тем, что Птолемей Лаг основал Музейон, храм Муз, нечто вроде первой Академии наук, куда приглашались наиболее крупные ученые, причем им назначалось содержание, так что основным делом их были размышления и беседы с учениками. При Музейоне была построена знаменитая библиотека, которая
в лучшие свои дни насчитывала более 700 000 рукописей. Неудивительно, что ученые и жаждущие знаний юноши со всего мира устремились
в Александрию, чтобы послушать знаменитых философов, поучиться астрономии и математике, иметь возможность в прохладных залах библиотеки углубиться в изучение уникальных рукописей.
Музейон пережил династию Птолемеев. В первые века до н. э. он пришел во временный упадок, связанный с общим состоянием дома Птолемеев в связи с римскими завоеваниями (Александрия была окончательно завоевана в 31 году до н. э.), но затем в первые века н. э. он снова возродился, поддерживаемый уже римскими императорами. Александрия продолжала оставаться научным центром мира. Рим никогда не был в этом отношении ее соперником: римской науки (мы имеем в виду естественные науки) просто не существовало, и римляне оставались верными заветам Вергилия, писавшего:
Тоньше другие ковать будут жизнью дышащую бронзу, —
Верю тому, — создадут из мрамора лики живые,
Красноречивее будут в судах, движения неба
Тростью начертят своей и вычислят звезд восхожденья,
Ты же, римлянин, знай, как надо народами править.
И если в III—II веках до н. э. Музейон блистал именами Евклида, Аполлония, Эратосфена, Гиппарха, то в I—III веках н. э. здесь работали такие ученые как Герон, Птолемей и Диофант.
Чтобы исчерпать все известное о личности Диофанта, приведем дошедшее до нас стихотворение-загадку:
Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Замечание. Существуют различные интерпретации данной задачи. Приведем еще один перевод стихотворения о жизни Диофанта.
Путник. Здесь прах погребен Диофанта.
И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни.
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
Двенадцатая часть протекла еще жизни — покрылся пухом тогда подбородок.
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
Прошло пятилетие; он был осчастливлен рождением первенца сына.
Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом.
И в печали глубокой старец земного удела конец
воспринял, переживши четыре года с тех пор, как сына лишился.
Скажи, сколько лет жизни достигнув,
смерть воспринял Диофант.
Решение задачи сводится к решению уравнения первой степени с одним неизвестным.
Пусть х — количество лет, прожитых Диофантом, тогда х/6 лет — он прожил ребенком, а х/12 лет — он прожил до появления пуха на его подбородке, х/7 лет — Диофант провел в бездетном браке, спустя 5 лет у него родился сын, который прожил х/2 лет.
Отец пережил сына на 4 года. Составим и решим уравнение.
х = х/6 + х/12 + х/7 + 5 + х/2 + 4.
В результате решения получаем, что Диофант женился в 21 год, стал отцом на 38-м году, потерял сына на 80-м году и умер в 84 года.
Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение первой степени с одним неизвестным,
а это умели делать египетские писцы еще за 2 тысячи лет до н. э.
Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда
и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались нам совершенно не известны. Мы можем только гадать о ее корнях и изумляться богатству и красоте ее методов и результатов.
«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения)
и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.
В своей арифметике Диофант рассматривает целые и дробные числа
и различные их степени от второй до шестой, далее которой он не идет. Представленные в сочинении задачи частью относятся к неопределенному анализу, частью же приводятся к решению определенных систем уравнений первой или второй степени. Для примера укажем на следующие две задачи:
1) представить квадрат данного числа в виде суммы двух квадратов;
2) найти два числа по данной их сумме и данному произведению.
Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых (реже рациональных) чисел, вошли в историю математики как диофантовы. Наиболее интересными являются неопределенные уравнения или их системы, т. е. такие, в которых количество переменных больше числа уравнений. Наиболее изучены диофантовы уравнения первой и второй степени. В содержание нашего элективного курса включены задачи, которые сводятся к решению уравнения первой степени с двумя неизвестными
 . (1)
Существует несколько способов решения уравнения (1). Мы рассмотрим их на следующих занятиях.
Отметим, что в первый раз сочинения Диофанта были изданы в латинском переводе, в 1575 году; затем в 1621 году Bachet de Méziriac издал греческий текст Диофанта с переводом на латинский язык и собственными примечаниями; тот же перевод был переиздан в 1670 году с замечательными примечаниями Ферма; кроме того, имеются переводы на французский и немецкий.
3. Распределение заданий для подготовки к семинару проводится
в соответствии с Приложением 2. Учащимся предлагается как групповая форма для подготовки заданий, так и по желанию — индивидуальная. Учитель раздает карточки с заданиями, в которых указаны тема, список литературы. Предлагается для поиска тематической информации использовать и ресурсы сети Интернет. Обращается внимание, что задание может быть выполнено в форме презентации или реферата. Учитель определяет дату выступления учащихся на занятии, график консультаций.
|
