Занятие 7
Метод рассеивания (измельчения)
в решении диофантовых уравнений
План занятия
Проверка домашнего задания (форму проверки выбирает учитель,
в данном случае можно провести самостоятельную работу на 10 мин по материалу предыдущих занятий).
Изучение нового материала. Способ измельчения коэффициентов как один из методов нахождения целых (натуральных) решений диофантовых уравнений.
Решение задач способом измельчения коэффициентов.
Постановка домашнего задания.
Оборудование: компьютер, проектор, слайды с заданиями, карточки
с заданиями.
Ход занятия
Проверка домашнего задания (в форме самостоятельной работы)
Решить уравнение двумя способами: с использованием алгоритма Евклида и цепной дроби:
1 вариант: 2x + 5y = 17. Ответ: (1; 3), (6; 1).
2 вариант: 5х + 8у = 39. Ответ: (3; 3)
Можно предложить учащимся текстовую задачу, сводимую к диофантову уравнению. Так как уравнение нужно решить двумя способами, то ученик имеет возможность контролировать себя сам, а как следствие — искать и устранять ошибки, если таковые имеются.
Изучение нового материала
На этом этапе необходимо ознакомить учащихся с методом рассеивания (измельчения) для решения диофантовых уравнений: разъяснить суть данного метода, привести некоторые исторические сведения, показать на примере использование данного метода для решения задач.
Способ рассеивания (размельчения) впервые применил в начале
VI века индийский математик Ариабхатта. Метод заключается в сведении данного уравнения к последовательности других уравнений с убывающими по абсолютной величине коэффициентами перед неизвестными.
Продемонстрируем его на примере решения следующей задачи.
Задача. Найти два числа, если разность произведений первого на 19
и второго на 8 равна 13.
Решение.
Требуется решить уравнение 19х – 8у = 13.
Перепишем его иначе: 8y =19x – 13; 8y = 16x + 3x – 13; у = 2х + 
и обозначим y1 = у – 2х.
В результате уравнение примет вид 8у1 = 3x – 13 или x = 2y1 .
Если вновь произвести замену х1 = x – 2у1, то придем к уравнению
3xl – 2у1 = 13.
Заметим, что коэффициенты при неизвестных уменьшились — измельчились. Продолжим дальнейшее их уменьшение: так как y1 = xl + , то положим у2 = у1 –х1.
В результате последнее уравнение преобразуется к виду х1 – 2у2 = 13. Здесь коэффициент при х1, равен 1, а поэтому при любом целом у2 = t число х1 тоже целое.
Остается выразить исходные переменные через t:
вначале выразим х1 = 2t + 13, y1 = 3t + 13; а затем x = 8t + 39, y = 19t + 91.
Итак, получаем бесконечную последовательность (39 + 8t, 91 + 19t) целочисленных решений.
Нетрудно заметить, что методы цепных дробей и рассеивания являются лишь другой формой применения алгоритма Евклида.
3. Решение задач способом измельчения коэффициентов
Для решения можно предложить учащимся как новые задания, так
и уже ранее решенные, но потребовать применить способ измельчения. Данный способ еще называют «методом спуска».
Задача № 18(а).
Решить способом измельчения в целых числах уравнение 5x + 8y = 39.
Решение:
1. Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное: x = (39 – 8y) : 5.
Выделим целую часть: x = 7 – y + (4 – 3y) : 5.
Все число будет целым, если целым окажется значение (4 – 3y) : 5.
Это возможно тогда, когда число (4 – 3y) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее уравнение запишем в виде: 4 – 3y = 5z.
Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное уравнение, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его уже нужно относительно переменных y и z.
2. y = (4 – 5z) : 3 = 1 – z + (1 – 2z) : 3.
Аналогично рассуждая, запишем (1 – 2z) через новую целочисленную переменную и: 1 – 2z = 3u.
4. z = (1 – 3u) : 2 = (1 – u):2 – u; 1 – u = 2v.
3. u = 1 – 2v — дробей больше нет, спуск закончен.
5. Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом y и затем x.
z = (1 – u) : 2 – u = (1 – 1 + 2v) : 2 – 1 + 2v = 3v – 1,
z = 3v – 1.
y = (4 – 5z) : 3 = (4 – 5(3v – 1)) : 3 = 3 – 5v,
y = 3 – 5v.
x = (39 – 8y) : 5 = (39 – 8(3 – 5v)) : 5 = 3 + 8v,
x = 3 + 8v.
6. Формулы x = 3 + 8v, y = 3 – 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.
7. Если необходимо получить только натуральные числа, то среди всех целых решений нужно выбрать такие, для которых x > 0, y > 0, то есть 3 + 8v > 0, 3 – 5v > 0. Совместно эти неравенства могут выполняться лишь при v = 0. В этом случае x = 3, y = 3.
8. Ответ. (3; 3).
С учащимися можно рассмотреть и более сложные задания, решая их именно «методом спуска».
Задача № 19.
Решить в целых числах 29х + 13у + 56 z = 17. (1)
Выразим неизвестное, коэффициент при котором наименьший, через остальные неизвестные.
y = (17 – 29 х – 56 z) : 13 = (1 – 2x – 4z) + (4 – 3x – 4z) : 13. (2)
Обозначим (4 – 3x – 4z) : 13 = t1. (3)
Из (2) следует, что t1 может принимать только целые значения. Из (3) имеем 13t1 + 3x + 4z = 4. (4)
Получим новое диофантово уравнение, но с меньшими, чем в (1) коэффициентами. Применим к (4) те же соображения:
x = (4 – 13t1 – 4z) : 3 = (1 – 4t1 – z) + (1 – t1 – z) : 3;
(1 – t1 – z) : 3 = t2, t2 — целое, 3t2 + t1 + z = 1. (5)
В (5) коэффициент при z — неизвестном исходного уравнения равен 1 — это конечный пункт «спуска». Теперь последовательно выражаем z, x, y через t1 и t2.
z = –t1 – 3t2 + 1,
x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 – 1 + t2 = –3t1 + 4t2,
y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1 = 11t1 + 4t2 – 3.
Итак, x = –3t1 + 4t2,
y = 11t1 + 4t2 – 3,
z = –t1 – 3t2 + 1.
t1, t2 — любые целые числа, определяющие все целые решения уравнения исходного уравнения.
Можно предложить учащимся найти частные решения данного уравнения и проверить их.
Например, пусть t1 = 1, t2 = 2. Имеем х = 5, у = 16, z = –6.
Подставим найденные решения в уравнение 29х + 13у + 56z = 17, получим 145 + 208 – 336 = 17;
353 – 336 = 17;
17 = 17.
В домашнее задание можно включить практические задания из Приложения 1 (или решенные ранее другими способами), в процессе решения которых будет усваиваться метод рассеивания (метод спуска). Целесообразно предложить учащимся составить задачу, сводимую к диофантову уравнению, и решить ее одним из изученных способов.
Также для подготовки к практическому занятию № 8, которое является занятием обобщения и систематизации изученного материала, учащимся необходимо повторить:
— понятие диофантова уравнения, линейного диофантова уравнения
с двумя переменными, условия существования целых решений уравнения;
— методы решения уравнения: способ перебора вариантов, с использованием алгоритма Евклида, с использованием цепной дроби.
Для повторения полезно использовать опорные конспекты лекционных занятий и конспекты практических занятий.
|
