Программа элективного курса
«Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта»
Общая характеристика курса. Предлагаемый курс органически вписывается в систему предпрофильной подготовки учащихся в соответствии с принципами личностно-ориентированного образования. Курс «Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта» является одним из альтернативных курсов, предлагаемых учащимся 9 класса. В содержании курса освещаются вопросы, связанные с проблемой решения неопределенных уравнений первой степени в целых (натуральных) числах, с рассмотрением данных уравнений в качестве математических моделей реальных задачных ситуаций, позволяющих продемонстрировать интересные приложения математических методов.
Работа с учащимися на занятиях данного курса опирается на базовый уровень знаний и умений по теме «Линейные уравнения с двумя переменными и их системы», а также на умения выполнять операции над числами различной природы, особое внимание уделяется использованию знаний, связанных с вопросами делимости во множестве целых чисел.
В базовом школьном курсе при изучении линейного уравнения с двумя переменными рассматриваются только самые общие вопросы: определение линейного уравнения с двумя переменными, определение решения данного уравнения, равносильность уравнений с двумя переменными, график линейного уравнения. Вопрос о нахождении целых (натуральных) решений линейного уравнения с двумя переменными, о возможных методах его решения остается за рамками школьного учебника. Однако многие практические задачи сводятся к решению линейного уравнения с двумя переменными, эти задачи часто встречаются в вариантах математических олимпиад, вступительных экзаменов в вузы. Знание общих методов решения таких уравнений, названных в математике диофантовыми, существенно расширяет математический арсенал учащихся, позволяет им осознать необходимость изучения математики, способствует повышению интереса к предмету «математика», а как следствие ориентирует их на выбор математического (естественно-научного) профиля в старших классах средней школы.
Классы: 8—9.
Тип элективного курса: углубляющий курс, имеющий временное согласование с учебным предметом.
Количество часов: 12 (в неделю — 1 час).
Образовательная область: математика.
Цель изучения курса: углубление и расширение знаний по математике, развитие логического мышления, формирование познавательного интереса к предмету, ориентация учащихся на выбор математического (естественно-научного) профиля обучения в старших классах.
Основные задачи курса:
— познакомить учащихся с понятием диофантова уравнения, историей его появления в математической науке;
— научить решать диофантовы уравнения первой степени с двумя переменными различными способами;
— научить решать текстовые задачи, описывающие различные практические ситуации, математической моделью которых являются диофантовы уравнения первой степени с двумя переменными или их системы;
— расширить представления учащихся в области истории математики;
— продемонстрировать значимость математических методов в решении разнообразных задач науки и практики.
Организация изучения курса. Целесообразно включать предлагаемый элективный курс в учебный процесс после изучения необходимого материала в базовом курсе. В целях проведения профессиональной ориентации школьников наиболее удачным будет постановка этого курса в 9 классе.
Основные организационные формы реализации предлагаемой программы — лекционные, практические и семинарские занятия. Методы обучения, применяемые в процессе проведения занятий — школьная лекция, рассказ, беседа, метод упражнений и др. Формы обучения имеют как фронтальный, так и групповой, и индивидуальный характер. В ходе изучения курса используются и современные информационные технологии. Учащимся предлагается тематика учебно-исследовательских заданий, результаты выполнения которых школьники представляют в форме доклада (реферата), сопровождая свое выступление на семинарских занятиях презентацией, подготовленной авторами в программе Power Point.
Планируемые результаты:
— выбор учащимися математического (естественно-научного) профиля на старшей ступени средней школы;
— овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для решения диофантовых уравнений первой степени с двумя переменными, для изучения естественно-научных дисциплин в классах соответствующего профиля;
— развитие логического мышления, алгоритмической культуры, интуиции, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;
— формирование навыков самообразования, критического мышления, самоорганизации и самоконтроля, работы в команде, умения ставить, формулировать и решать проблемы.
Система оценки достижений учащихся. В технологии проведения занятий присутствуют элементы перекрестной и самопроверки, что позволяет учащимся самим проверить, как усвоен ими изученный материал. Форма итогового контроля — командные соревнования, на которых для выполнения заданий учащимся требуются знания и умения, формируемые в ходе изучения элективного курса «Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта». Также оценивается и самостоятельно подготовленный школьниками образовательный продукт в форме доклада (реферата)
и компьютерной презентации.
Содержание элективного курса
«Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта»
Введение. Цели и задачи курса, его организация. Диофант и его уравнения (исторический экскурс).
Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов. Актуализация знаний по теме «Линейное уравнение с двумя переменными» (определение уравнения, решения уравнения, график уравнения). Определение диофантова уравнения первой степени с двумя неизвестными. Способ перебора вариантов — метод решения диофантовых уравнений. Решение текстовых задач.
Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида. Актуализация знаний по теме «Наибольший делитель двух чисел. Алгоритм Евклида». Вывод формул для целых решений диофантова уравнения первой степени с двумя переменными на основе применения алгоритма Евклида. Решение уравнений с использованием алгоритма Евклида. Решение текстовых задач.
Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби. Введение понятия цепной дроби. Алгоритм получения цепной дроби. Формулы целых решений диофантова уравнения первой степени с двумя переменными на основе применения цепных дробей. Решение уравнений с использованием цепной дроби. Решение текстовых задач.
Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений. Алгоритм решения диофантова уравнения методом измельчения коэффициентов. Решение уравнений. Решение текстовых задач.
Диофантовы уравнения и великие теоремы. Теорема Пифагора. Теорема Ферма.
Решение задач, сводимых к диофантовым уравнениям или их системам. Решение диофантовых уравнений и их систем с использованием других приемов и методов.
Ученые-математики, внесшие свой вклад в теорию диофантовых уравнений: П. Ферма, Л. Эйлер, Ж. Лагранж, К. Гаусс, Д. Гильберт и др.
Тематический план элективного курса
«Сказки Шехерезады и уравнения Диофанта»
№
п/п
|
Тема занятия
|
Количество часов
|
1
|
Вводное занятие
|
1
|
2
|
Решение диофантовых уравнений способом перебора вариантов
|
1
|
3—4
|
Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида
|
2
|
5—6
|
Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби
|
2
|
7
|
Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений
|
1
|
8
|
Решение диофантовых уравнений различными способами
Урок одной задачи (обобщающее занятие)
|
1
|
9
|
Диофантовы уравнения и великие теоремы
|
1
|
10—11
|
Решение задач, с использованием различных диофантовых уравнений или их систем
|
2
|
12
|
Ученые-математики, внесшие свой вклад в развитие теории диофантовых уравнений
|
1
|
Итого:
|
12
|
|
