Урок «Мешок»
Новые ключевые понятия: мешок, есть, нет, ровно, пустой мешок.
До настоящего момента дети в нашем курсе работали лишь с одной структурой элементов — цепочкой (конечной последовательностью). На данном уроке ребятам предстоит познакомиться с новой структурой — мешком. Примеры листа определений позволяют выделить следующие отличительные особенности мешка. Во-первых, мешок состоит из отдельных элементов, т. е., как и цепочка, мешок — это дискретная структура. При этом элементами мешка могут быть, вообще говоря, любые объекты. В нашем курсе ребята будут обычно иметь дело с мешками фигурок, бусин, букв или цифр. Во-вторых, мешок — структура, где элементы сложены без всякого порядка и не находятся между собой ни в каких отношениях. Это — важное отличие мешка от цепочки, т. е. если цепочка — упорядоченная структура, то мешок — неупорядоченная структура. Таким образом, можно представлять мешок как кучку элементов и рисовать (писать, называть) элементы мешка в любом порядке.
В математике в качестве неупорядоченной структуры чаще используют понятие «множество». Понятие «мешок» соответствует математическому понятию «мультимножество». Единственное отличие мешка от множества в том, что в мешке могут быть одинаковые элементы (в множестве это невозможно). Поскольку при введении серьёзных теоретических понятий мы всегда опираемся на предметное мышление ребёнка, то в данной теме делаем всё, чтобы ребёнок соотнёс наше понятие «мешок» с реальным мешком предметов. Такое представление оказывается достаточным, чтобы успешно решать задачи и заложить основы глубокого теоретического знания. Ясно, что в реальном мешке может быть несколько совершенно одинаковых предметов, например карандашей, скрепок, мячей и т.д. Как видите, в нашем курсе понятие «мешок» оказывается более естественным для детей и удобным.
С мешком любой элемент связан отношением принадлежности, т. е. он либо есть в мешке, либо его нет. Понятия «есть», «нет» вводятся на материале мешков, они в равной степени могут употребляться и по отношению к цепочкам. Здесь дети знакомятся и с ещё одним новым понятием «ровно».
Мы хотим, чтобы ребята сразу поняли разницу в употреблении понятий «есть» и «ровно», в том числе некоторое отличие от словоупотребления в языке. Так, понятие «есть» мы употребляем, если хотим сказать, что данный элемент просто принадлежит данному мешку. При этом речь не идёт о числе таких элементах в мешке. Мы можем сказать: «В мешке есть яблоко» — и в той ситуации, когда там всего одно яблоко, и в той ситуации, когда там 10 яблок. С точки зрения языка для мешка с несколькими яблоками логичнее было бы сказать: «В мешке есть яблоки», но мы этого не делаем, чтобы выделить логическую составляющею утверждения. С точки зрения формальной логики утверждение «В мешке есть яблоко» означает, что в мешке есть хотя бы одно яблоко. Никакую дополнительную информацию мы в такие утверждения умышленно не включаем. Если же мы хотим указать точное число элементов в мешке, мы используем понятие «ровно». Выражение «В мешке ровно 8 элементов» мы будем понимать так, что мешок состоит ровно из 8 элементов, т. е. в мешке есть 8 элементов, но нет 9 элементов.
Также на данном листе определений ребята знакомятся с понятием «пустой мешок». Ясно, что это мешок, в котором нет ни одного элемента.
Решение задач из учебника
Задача 153. Несмотря на то что эта задача совсем простая, на неё стоит обратить внимание, поскольку в ней дети впервые сами рисуют мешок. Дети, конечно, заметят, что мы в учебнике часто рисуем мешки похожими на обычные мешочки предметов в разрезе. В частности, мы рисуем веревочку с бантиком, выделяем внутреннюю часть мешка серым цветом и т. д. Всё это важно с методической точки зрения, чтобы провести аналогию с реальными мешками предметов. Однако ясно, что детям делать то же самое совершенно необязательно. Для них достаточно просто нарисовать мешок так, чтобы было понятно, какие элементы в нём есть. Для этого можно нарисовать оболочку мешка в виде окружности, овала, скруглённого прямоугольника или другой замкнутой кривой без самопересечений. Размер оболочки (границы) мешка должен быть таким, чтобы в ней полностью помещались все элементы мешка. Поэтому часто детям удобнее сначала нарисовать все элементы, а затем провести границу. В данном случае задача имеет очень много решений. Подойдёт и мешок с одной круглой бусиной, и мешок с десятью круглыми бусинами. Важно лишь то, чтобы в мешке не было ни одной треугольной и ни одной квадратной бусины. Ясно, что поскольку в условии сказано, что искомый мешок — мешок бусин, то никаких других элементов (не бусин) в мешке тоже быть не должно.
Задача 154. Из примеров листа определений ребята должны сделать вывод, что пустой мешок — это мешок, в котором нет ни одного элемента. Именно такой мешок в этой задаче ребята и должны нарисовать.
Задача 155. Задача на усвоение новых понятий «есть», «нет». Если учащийся допустил в ней ошибку, его достаточно вернуть к текущему листу определений.
Задача 156. Не слишком сложная, но важная задача. Здесь дети впервые в одной задаче имеют возможность сравнить употребление понятий «есть» и «ровно». Так, словосочетание «есть два яблока» дети должны понимать так: в мешке есть хотя бы 2 яблока. При этом в мешке может быть и больше яблок. В данном случае в подходящем для нас (первом) мешке 3 яблока. Второй мешок нам не подходит, поскольку там вообще нет яблок, в третьем мешке яблоко лишь одно (т. е., двух яблок опять нет).
Второе задание сформулировано со словом «ровно», поэтому в нем требуется найти мешок, в котором ровно 2 груши, т. е. в котором есть две груши, но нет 3 груш. Например, второй мешок нам не подходит, поскольку в нём 6 груш.
Задача 157 (необязательная). Данная задача имеет ровно одно решение, поскольку в ней не встретится случай, когда обе клетки, стоящие на одинаковых местах, не раскрашены. Таким образом, цвет каждой нераскрашенной клетки в одной фигуре определяется однозначно цветом соответствующей раскрашенной клетки в другой фигуре.
Задача 158 (необязательная). Ребятам, которые затрудняются в решении этой задачи, можно, как обычно, предложить использовать метод перебора и пометки. Поскольку фигурок в наборе много и фигурки очень похожи, провести полный перебор здесь непросто. Эту задачу не стоит предлагать невнимательным учащимся и учащимся со слабой техникой.
Задача 159. Сильные учащиеся, скорее всего, решат задачу без всякой опоры; слабым, возможно, придётся работать с числовой линейкой. Обязательно нужно использовать числовую линейку в том случае, если учащийся допустил ошибку. Попросите такого ученика отметить все числа, которые он записал в окне на числовой линейке. В этом случае ошибки будет найти очень легко.
Задача 160 (необязательная). Здесь дети должны проверить наличие в цепочках одинаковых фигурок. Мы надеемся, что все дети справятся с задачей самостоятельно. Общую проверку в этой задаче организовать довольно сложно (ребёнку придется перечислять все фигурки в цепочке), поэтому предлагаем вам проверить решения, проходя по классу. Если кто-то допустил ошибку, попросите ребёнка отметить (пометить галочкой или обвести красным) две одинаковые фигурки в своей цепочке. Если слабый ученик затрудняется и ничего не может придумать, обсудите вместе с ним любую цепочку на предмет выполнения условия задачи. Посоветуйте ему вычёркивать цепочки, которые не подошли, так он найдёт ответ методом исключения.
Компьютерный урок «Мешок. Пустой мешок. Есть — нет» 1-я часть
На этом компьютерном уроке не вводится никаких новых инструментов, а лишь закрепляется материал новых листов определений.
Задача 163. В этой задаче ребята закрепляют понятие «пустой мешок». В случае правильного решения после выполнения первого задания в одном из мешков не остаётся ни одной бусины, этот мешок оказывается пустым.
Задача 164. В этой задаче дети закрепляют понятия «есть», «нет». Большинству ребят они наверняка знакомы из языка, и поскольку эти понятия употребляются в курсе в тех же значениях, то трудностей с этой задачей быть не должно. Однако, если кто-то из ребят допустил в ней ошибки, попросите его проверить своё решение, используя пометки. Для этого надо сначала пометить, например красной галочкой, все мешки, в которых нет черепахи. Затем можно пометить чёрной галочкой все мешки, в которых есть две одинаковые рыбки (одинаковых рыбок учащегося тоже можно попросить пометить). Такая подробная проверка позволит учащемуся понять, где он допустил ошибку.
Задача 165. Здесь дети впервые собирают мешок по описанию. Это несложно сделать методом проб и ошибок, поэтому не помогайте детям чрезмерно. В большинстве случаев вам будет достаточно указать ребёнку на нарушение одного из условий, т. е. либо бусин не 7, либо среди них есть две одинаковые.
Задача 166. Несмотря на употребление в задаче новых понятий («мешок», «нет»), наиболее активно здесь используется лист определений «Русские буквы». Взрослому (или более старшему ребёнку) решить эту задачу, возможно, было бы не так просто, поскольку он уже знает, что в русском и латинском алфавитах есть совпадающие по начертанию буквы. Действительно, строго говоря, относительно некоторых букв в мешках непонятно, к какому алфавиту их отнести. Однако первоклассник будет решать эту задачу совершенно формально — он будет сопоставлять набор букв в мешке с набором русских букв. Если некоторая буква из мешка есть в алфавите, значит, она русская. Ответом к задаче является мешок в правом нижнем углу.
Задача 167. Здесь без наложения сравнить фигурки будет сложно даже тем ребятам, у которых очень хороший глазомер. Если кто-то из ребят обвёл не тот мешок, скорее всего, он сравнивал фигурки на глаз. В этом случае попросите его сделать проверку правильности решения с помощью лапки.
Задача 168. Задача на поиск трёх одинаковых цепочек в наборе. Задача решается легко, если заметить, что только в трёх цепочках первая бусина красная круглая. Если ребёнок затрудняется с решением, попросите его пометить в каждой цепочке первую бусину.
Задача 169. Проще всего эту задачу решать тем ребятам, которые поймут, что нужно найти все цепочки из трёх бусин. Тем, кто до этого не додумался, конечно, подсказывать не надо — они тоже придут к этому выводу в ходе проверки условия для каждой из цепочек. Единственное, что можно посоветовать таким учащимся, — помечать уже просмотренные цепочки.
Задача 170 (необязательная). В данном случае буквы выписаны по алфавиту, а цифры — в порядке возрастания. Это может помочь ребятам в решении. Дети, которые твёрдо знают алфавит, скорее всего, будут просто называть буквы вслух или про себя и сравнивать с буквами на экране. Если учащийся пока знает алфавит плохо, нужно предложить ему открыть русский алфавит (например, на листе определений «Русские буквы и цифры») и сравнивать буквы в алфавите и на экране. При этом ребёнок может помечать все буквы, которые есть в данной задаче. Буква, которая останется непомеченной, и есть искомая буква. Найти недостающую цифру значительно проще, чем букву, поскольку цифр гораздо меньше.
2-я часть
На предыдущем компьютерном уроке ребята решали задачи на мешки, используя уже знакомые им компьютерные инструменты. На этом уроке у них появляется возможность самим построить мешок по некоторому описанию. Технически новая возможность обеспечивается с помощью уже знакомой детям лапки, а также новой для них библиотеки элементов. С похожей библиотекой ребята уже работали в проекте «Фантастический зверь». Библиотека элементов (бусин или фигурок) для ребёнка выглядит как несколько стопочек объектов, сложенных так, что все одинаковые объекты находятся в одной стопке, а разные — в разных. Таким образом, ребёнок берёт лапкой верхнюю фигурку из нужной ему стопочки и переносит её в мешок. С точки зрения ребёнка, лапка работает как всегда, поэтому никаких ваших пояснений в связи с появлением библиотеки элементов давать детям не требуется. Конечно, человеку, более искушённому в работе с компьютером, сразу становится ясно, что по сути это совершенно новое действие. Раньше дети лапкой только передвигали фигурку по рабочему пространству экрана, что в приложениях обычно соответствует операции перемещения. Объект при этом был и остаётся один, просто из одного места он перемещается в другое. Здесь же, очевидно, выполняется несколько иное действие, а именно копирование и перемещение объекта. Однако ученик 1 класса эту разницу может просто не заметить. Поэтому мы не стали вводить новый инструмент для работы с библиотекой и используем знакомую ребятам лапку.
Задача 171. Цель этой задачи — познакомить ребят с библиотекой фигурок. Лапка здесь работает привычным для ребёнка образом. Например, мы хотим положить в мешок фиолетовую машину. Выбираем в ящике инструментов лапку. Теперь щёлкнем лапкой на фиолетовой машине в библиотеке фигурок. При этом машина копируется и приклеивается к лапке. Внешне это выглядит так, как будто лапка берёт верхнюю машину в стопке. Перемещаем машину, как обычно, в мешок. По второму щелчку лапки скопированная машина отклеится и останется в мешке. С объектами, взятыми из библиотеки, можно дальше работать обычным образом. Поэтому, если вы взяли какой-то элемент из библиотеки и поместили в мешок, а затем захотели его передвинуть, это можно сделать той же «лапкой». Если вам необходимо удалить фигурку, взятую в библиотеке, это можно сделать либо кнопкой «Отмена», либо ластиком.
Задача 172. Здесь библиотека уже большая, поскольку в задачах на построение мешка бусин мы помещаем в библиотеку все разные бусины (а их у нас 24). Кроме того, дети строят мешок не произвольно, а по описанию. Поэтому для построения мешка им понадобятся и те бусины, которых на экране не видно. Действительно, в мешке должно лежать 10 разных бусин, а в библиотеке видно всего 7 разных бусин. Поэтому дети просто будут вынуждены освоить работу кнопок «вверх» и «вниз», с помощью которых осуществляется просмотр библиотеки. Для просмотра библиотеки можно использовать также колёсико мыши.
Задача 173. Здесь снова нужно построить мешок по описанию, но описание более сложное: оно состоит из нескольких условий. Если ребёнок допустил здесь ошибку, для начала попросите его явно сформулировать все условия, которые должны выполняться, чтобы решение было верным. Таких условий здесь четыре: в мешке ровно 2 груши (т. е. в мешке есть 2 груши, но нет 3 груш), в мешке есть 2 гриба (в мешке грибов может быть 2, 3, 4 или больше), в мешке нет капусты, в мешке ровно 10 фигурок (то есть в мешке есть 10 фигурок, но нет 11 фигурок). После того как ребёнок сформулирует все условия, он должен по очереди их проверить и найти то условие, которое у него в решении не выполняется.
Задача 174. Здесь 3 гласные есть почти во всех мешках (кроме последнего), в том числе и в первом мешке второй строки. Возможно, кто-то из детей подумает, что в мешках необходимо найти 3 разные гласные, и не пометит этот мешок. С такими детьми нужно провести формальную проверку всех букв данного мешка, помечая гласные буквы, а затем посчитать число помеченных букв. Таким образом, с учётом условия о букве К в задаче ровно три подходящих мешка.
Вот решение данной задачи:
Задача 175. Для кого-то из детей задача может оказаться сложной, поскольку фигурки очень похожи. Большинство ребят, скорее всего, будут решать задачу методом проб и ошибок. Если кто-то из них запутается, посоветуйте ему как-то систематизировать свою деятельность, составить алгоритм своей работы. Например, будем просматривать фигурки мешка слева направо. Берём 2 первые фигурки: если они одинаковые, вынимаем одну из мешка (оставшуюся помечаем), если разные, обе оставляем и помечаем как уже просмотренные. Берём следующую фигурку, сравниваем её с двумя просмотренными. Если она оказывается такой же, как одна из просмотренных, вынимаем её из мешка, если нет, оставляем её в мешке и помечаем как просмотренную. Так мы работаем до тех пор, пока в мешке не окажется 5 помеченных фигурок, остальные фигурки из мешка нужно вынуть.
Задача 176. Чтобы найти решение, здесь необходим полный перебор всех слов. Если кто-то из ребят допустил ошибку, предложите ему сделать проверку, используя пометки. Просмотренные слова, которые не подошли, можно пометить галочкой. Остальные слова нужно обвести. Желательно попросить ребёнка пометить в этих словах 3 одинаковые гласные буквы.
Задача 177. Задача на построение цепочки по описанию. В таких задачах часто важно правильно выбрать условие, которое лучше использовать первым. Так, в этой задаче разумнее сначала использовать второе условие. В наборе всего 2 одинаковые фигурки (груши), их и нужно поставить на третье и предпоследнее места. После этого нужно учесть первое условие и поставить яблоко на второе место. Оставшиеся фигурки можно разложить в окна произвольным образом. Таким образом, данная задача имеет ровно два решения.
Вот одно из решений данной задачи:
Задача 178 (необязательная). Стратегии решения подобного рода задач могут быть разными, например полный перебор. Однако более эффективной будет стратегия, при которой все фигурки разбиваются на группы по какому-нибудь признаку. Сначала можно разделить старушек на смотрящих влево и смотрящих вправо. (Надеемся, дети не забыли, что зеркально симметричные фигурки являются разными. В случае необходимости предложите учащемуся, допустившему ошибку, вернуться к листу определений «Одинаковые фигурки. Разные фигурки».) Всего есть 4 старушки, смотрящих влево; простым просматриванием можно установить, что в этой группе двух одинаковых фигурок нет. Другую группу, которая существенно больше, следует разбить на более мелкие группы, например по цвету клубка. Здесь у нас получаются три подгруппы, состоящие из 3, 3 и 1 фигурок. В одной из них мы и находим двух одинаковых старушек.
|
