Рефератов по математике

Скачать 0.9 Mb.

Название	Рефератов по математике
страница	3/19
Дата публикации	03.12.2014
Размер	0.9 Mb.
Тип	Реферат

100-bal.ru > Математика > Реферат

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 19

Необыкновенная алгебра

А. А. Базыльников
Научный руководитель: Г.А. Борисова
учитель математики первой категории
МОУ Лицей № 12

Вы знаете, что в алгебре чисел: «А+А» дает результат «2А», но с точки зрения алгебры логики, выражение «А+А» равно «А». Где же здесь логика?

Это выражение истинно с точки зрения булевой алгебры. Она так названа по имени ученого, который ее изобрел. Его зовут Джорж Буль. Всем известно, что логика широко используется в математике. Буль совершил обратное: он записал логические рассуждения математическими формулами. Он осуществил мечту многих поколений математиков и философов: механизировать не только вычисления, но и рассуждения. Они надеялись, что когда-нибудь при возникновении споров между людьми скажут: «Перейдем к вычислениям» – и таким образом смогут разрешить все возникшие проблемы.

И только в 19 – 20 веке его последователь Кантор создал алгебру множеств, аналогичную алгебре чисел, но не сводящуюся к ней. Алгебра чисел занимается количественными вычислениями, а алгебру множеств интересует не количество, а качество предметов, свойства их объединяющие. Итак, что такое множество? Множество – это любой набор предметов (или понятий), обладающих рядом специфических одинаковых свойств.

Суммой двух множеств А и В, или их объединением называют такое множество, в которое входят все те, и только те элементы, которые входят в множество А или в множество В.

Произведением двух множеств А и В, или пересечением А и В называют такое множество, в которое входят те и только те, элементы которые входят как в множество А так и в множество В.

В алгебре Буля, как и в привычной нам математике, существует такой элемент «нуль», что прибавление его к любому множеству А не меняет этого множества. Это возможно только в том случае, если нулевое множество совсем не содержит элементов, т.е. является «пустым».

«Единичное множество» – это множество, состоящее из всех элементов всех рассматриваемых множеств. Обладающее тем свойством, что произведение его на любое множество А дает нам А.

В алгебре множеств выполняются все известные нам законы:

Коммутативный закон (переместительный) А×В = В×А

Ассоциативный закон (сочетательный закон) (А×В) × С = А × (В×С)

Дистрибутивный закон (распределительный) (А + В) × С = А×С + В×С

Алгебра множеств обладает многими удивительными законами, не имеющими места в обычной алгебре:

1) идемпотентные законы: А + А = А А×А = А

2) второй дистрибутивный закон: А×В + С = (А + С) × (В + С)

Алгебру Буля часто называют алгеброй высказываний. Назовем высказыванием любое утверждение, о котором можно сказать лишь одно из двух – либо оно истинно, либо ложно. Например, высказываниями являются утверждения: «дважды два – четыре», «сейчас идет дождь», «если 2х2=5, то существуют ведьмы» и т.п.

Из нескольких заданных утверждений можно получить более сложные. Это делается с помощью союзов «и», «или», «либо …,либо…», «если…, то…», а также отрицания «не». Чтобы высказывание имело смысл, надо каждому из союзов придать точно определенное значение. Это делают с помощью таблицы двух чисел. Аналогично я составил таблицу для четырёх чисел.

В своей работе я рассмотрел Алгебру максимумов и минимумов. Здесь сумма двух чисел равна большему из них, а произведение меньшему. А так же я изучил Алгебру наименьших и наибольших делителей. И с её помощью доказал первый и второй дистрибутивный закон.

Законы булевой алгебры используют при конструировании электрических цепей и вычислительных устройств. При этом высказываниями являются предложения типа «ток по участку … проходит». Параллельное соединение выключателей будет обозначать сложение, а последовательное соединение – произведение. Для электрических цепей выполняются все законы алгебры множеств.

Разберем, например, пойдет ли ток по цепи, изображенной на рисунке. Для этой цепи по участкам В, С, Е ток проходит, а по участкам A, D, F – нет. Нам надо вычислить значения выражения:

, если, А, D, F с

оответственно 0, а В, С, Е – соответственно 1. Получаем

. Таким образом, по цепи ток пойдет, а высказывание, составленное из истинных высказываний В, С, Е и ложных высказываний A, D, F будет истинным.

Теория множеств – является фундаментом математики, как высшей, так и школьной. Сегодня знание законов логики помогает учёным продвигаться вперёд в совершенствовании искусственного интеллекта и создании «электронного мозга». При изучении алгебры Буля я расширил свои знания в области арифметики. Эта тема мне очень понравилась, и я собираюсь продолжить её изучение.

Литература

Басова, Л. А. Лекции и задачи по математике [Текст] / Л. А. Басова, М. А Шубин, Л. А. Эпштейн. – М. : Просвещение, 1981. – 96 с.
Калужнин, Л. А. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики [Текст] / Л. А. Калужнин – М. : Просвещение, 1978. – 88 с.
Яглом, И. М. Необыкновенная алгебра [Текст] / И. М. Яглом ; изд. 2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 72 с.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 19

Похожие:

	Рефератов школьников по математике 27 февраля 2010 г Различные приемы доказательства теоремы Пифагора и ее применение в практической жизни		Тесты по математике, варианты егэ по математике ...
	Правила вступительного испытания по математике Вступительное испытание по математике в ргау-мсха имени К. А. Тимирязева и его филиале проводится в письменной форме. Продолжительность...		Программа вступительного экзамена по математике Вступительное испытание по математике в ргау-мсха имени К. А. Тимирязева и его филиале проводится в письменной форме. Продолжительность...
	Рабочая учебная программа по математике для учащихся 7 класса (далее... Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №23»		Методические рекомендации по подготовке и написанию рефератов темы рефератов Темы контрольных работ/рефератов и методические указания по их выполнению
	Рабочая программа по учебному предмету математике 10-11классов двухгодичного... Рабочая программа по математике 10 – 11 класса разработана в соответствии требований фкгос 2004г на основе Примерной программы среднего...		Реферат «Внеурочные формы работы по математике» Внеклассная работа учащихся по математике и методика её проведения
	Реферат по математике на тему Софизмы и парадоксы в математике Введение 3		Рабочая программа по математике к учебнику Л. Г петерсон для 3-а класса «Математика» составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта, учебного плана, примерной программы начального...
	Рабочая программа по математике для 6 класса составлена в соответствии... Государственного стандарта общего образования, на основе примерной программы основного общего образования по математике, программы...		Регламент проверки рефератов аспирантов факультета психологии спбгу... Темы рефератов утверждаются силами лекторов с философского и\или психологического факультетов; окончательные списки аспирантов и...
	Конспект урока по математике Открытый урок по математике в 3 «Г» классе по теме «Закрепление табличных случаев умножения и деления»		Методическая разработка семинара по математике «Мифы, которые приносят вред здоровью и мешают обучению математике и другим наукам.»
	Рабочая программа по математике для 3-б класса 4 часа в неделю (всего... «Математика» составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта, учебного плана, примерной программы начального...		Самостоятельная работа студентов по теории и методике обучения математике Соотношение между математикой как наукой и математикой как учебным предметом в современных условиях. Методическая система обучения...

Школьные материалы