Уроках математики

Скачать 306.79 Kb.

Название	Уроках математики
страница	4/7
Дата публикации	03.01.2015
Размер	306.79 Kb.
Тип	Урок

100-bal.ru > Математика > Урок

1 2 3 4 5 6 7

Свойства

Сумма углов четырёхугольника равна $~2\pi = 360^\circ$ .
Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° ( $~\angle a+\angle c = \angle b + \angle d = 180^\circ$ ). См. также теорема Птолемея.
Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны ()
Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей.
Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:

$a^2c^2\left(b^2+d^2+e^2+f^2-a^2-c^2\right) + b^2d^2\left(a^2+c^2+e^2+f^2-b^2-d^2\right)+$

$+ e^2f^2\left(a^2+c^2+b^2+d^2-e^2-f^2\right) = (abe)^2 + (bcf)^2 + (cde)^2 + (daf)^2$ .
Свойство диагоналей выпуклого четырёхугольника

Рисунок 1 рисунок 2

рисунок 4 рисунок 3
рисунок 5

рисунок 6 рисунок 7

На рисунке 1 диагонали AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O, а диагонали EG и FH невыпуклого четырехугольника EFGH не пересекаются. Это свойство диагоналей характерно для любого выпуклого (и соответственно невыпуклого) четырехугольника. Однако при всей его очевидности строгое обоснование этого свойства оказывается достаточно сложным. Предварительно рассмотрим два вспомогательных утверждения. Напомним, что согласно одной из аксиом планиметрии каждая прямая а разделяет плоскость на две полуплоскости так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а. Прямая а называется границей каждой из этих полуплоскостей, ее точки не принадлежат ни одной из полуплоскостей.

Утверждение 1. Если начало луча AB (точка A) лежит на прямой а,а точка B-в какой-то полуплоскости с границей а, то и весь луч лежит в этой полуплоскости (рисунок 3)

Второе утверждение связано с понятием внутренней области неразвернутого угла. Это понятие было в 7-м классе на основе наглядных представлений. Дадим точное определение.

Рассмотрим неразвернутый угол ACB (рисунок 4). Прямая BC разделяет всю плоскость на две полуплоскости. В одной из них лежит луч CA. Обозначим эту полуплоскость буквой a. Точно так же прямая AC разделяет всю плоскость на две полуплоскости, в одной из которых лежит луч CB. Обозначим эту полуплоскость буквой p. Общая часть полуплоскостей а и p называется внутренней областью угла ACB.

Утверждение 2. Если точки А и В лежат на разных сторонах неразвернутого угла с вершиной С, а точка D лежит внутри угла АСВ (т.е. в его внутренней области), то луч СD пересекает отрезок АВ (рисунок 5)

С наглядной точки зрения утверждения 1 и 2 совершенно очевидны. Строгое обоснование можно провести на основе аксиом планиметрии. Вернемся теперь к свойствам диагоналей выпуклого и невыпуклого четырехугольников.

Теоремы. Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются, а невыпуклого не пересекаются.

Доказательство.

Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD (рисунок 6). Докажем сначала, что вершина С лежит внутри угла BAD. Прямая AD разделяет плоскость на две полуплоскости. Так как четырехугольник выпуклый, то его вершины В и С лежат в одной из этих полуплоскостей и, значит, вершина С лежит в той же полуплоскости, что и луч АВ. Обозначим эту полуплоскость буквой а. Аналогично прямая АВ разделяет плоскость на две полуплоскости, причем вершина С и луч AD лежат в одной из этих полуплоскостей. Обозначим ее p. Таким образом,точка С лежит как в полуплоскости а, так и в полуплоскости р. Но общая часть этих полуплоскостей и есть внутренняя область угла BAD, поэтому точка С лежит внутри угла BAD.

Точки B и D лежат на разных сторонах угла BAD. Отсюда следует (в силу утверждения 2), что луч АС пересекает отрезок DВ в некоторой точке О.

Точно так же можно доказать, что луч DB пересекает отрезок АС. Ясно, что точкой их пересечения является та же самая точка О.

Итак, точка О-общая точка отрезков АС и ВD, т. е. диагонали АС и ВD пересекаются в точке О.

Рассмотрим теперь невыпуклый четырехугольник ABCD.

В таком четырехугольнике какие-то две соседние вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие соседние вершины.

Пусть вершины С и D лежат по разные стороны от прямой АВ (рисунок 7). Тогда в силу утверждения 1 лучи АС и ВD лежат в разных полуплоскостях с границей АВ и, следовательно, не имеют общих точек. Значит, и отрезки АС и ВD не имеют общих точек, т.е. диагонали АС и ВD четырехугольника АВСD не пересекаются. Теорема доказана.

Следствие. Если диагонали четырехугольника пересекаются, то этот четырехугольник выпуклый.
Характеристическое свойство фигуры

Итак, нами было доказано, что диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются, и обратно, если диагонали четырехугольника пересекаются, то этот четырехугольник выпуклый. Таким образом, выпуклые четырехугольники обладают определенным свойством, которое выделяет их среди всех четырехугольников, отличает от других (невыпуклых) четырехугольников. Такое свойство геометрических фигур называется характеристическим свойством.

Характеристическое свойство может быть положено в основу определения геометрической фигуры. Например, можно дать такое определение выпуклого четырехугольника: четырехугольник называется выпуклым, если его диагонали пересекаются.

Это определение равносильно “старому” выпуклого четырехугольника, (напомним, что “старое” определение относилось к любым многоугольникам, в том числе и к четырехугольникам). В самом деле, если четырехугольник является выпуклым по “старому” определению, то по доказанной ранее теореме его диагонали пересекаются и, значит, он является выпуклым по “новому” определению, т.е. его диагонали пересекаются, то согласно следствию из той же теоремы он является выпуклым и по “старому” определению.

Утверждение о характеристическом свойстве фигуры можно сформулировать с использованием словосочетания “тогда и только тогда”. Например: диагонали четырехугольника пересекаются тогда и только тогда, когда он является выпуклым.

В этом предложении содержаться два утверждения. Первое (оно связано со словом “тогда”) выражает свойство выпуклого четырехугольника: если четырехугольник выпуклый, то его диагонали пересекаются. Второе (обратное) утверждение связано со словом “только тогда”, оно выражает признак выпуклого четырехугольника: если диагонали четырехугольника пересекаются, то четырехугольник выпуклый.
Площадь. Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

$s=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$ , где d₁, d₂ — диагонали и α — угол между диагоналями.
$16s^2=4e^2f^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2$ , где e, f — длины диагоналей, a, b, c, d - длины сторон.
$s^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\frac{\angle a+\angle c}{2}$ , где p — полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.

Особые случаи

Если 4-угольник и вписан и описан, то $s=\sqrt{abcd}$ .

История

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали в качестве площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d^[1]:

$s=\frac{a+c}{2}\cdot\frac{b+d}{2}$ .

1 2 3 4 5 6 7

Похожие:

	Уроках математики Совершенствование движений и сенсомоторного развития Вопрос Какие вы знаете основные направления коррекционной работы на уроках математики		Уроках математики Использование исторического материала по теме «Начало» Евклида на уроках математики
	Уроках математики Учителя начальных классов Необходимость выбора темы «Развитие познавательной активности учащихся на уроках математики» обусловлена многолетним наблюдением...		Уроках математики в 5 и 6 классах Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому...
	Уроках математики в 5 классе Формирование навыков проектной деятельности учащихся в системе работы на уроках математики в 5 классе		Уроках математики Ред собой, заключается в том, чтобы отыскать новые эффективные методы обучения и такие методические приемы, которые активизировали...
	Уроках математики и во внеурочное время Обобщение опыта по теме "Активизация познавательной деятельности учащихся на уроках математики и во внеурочное время"		Уроках математики Цор. Использование цор на уроках математики в сочетании с традиционными методами обучения позволяет повысить качество усвоения детьми...
	О гаоу дпо (повышение квалификации) специалистов «Белгородский институт... Особенности использование информационных технологий на уроках математики 14		«Ровеньский политехнический техникум» Развитие познавательной и творческой... Развитие познавательной и творческой активности учащихся на уроках математики посредством использования современных образовательных...
	Уроках математики, способствующих развитию критического мышления... И это, конечно, правильно. Но порой это и приводит к тому, что учащиеся в определенный момент перестают делать домашнюю работу. Поэтому...		План работы методического объединения учителей математики на 2011-2012 учебный год Актуальность использования дифференцированных заданий на уроках математики с целью повышения качества математического образования...
	Формирование метапредметных умений на уроках математики Номинация:... Средняя общеобразовательная школа №1 с углубленным изучением отдельных предметов		«Формирование творческой индивидуальности учащихся средствами современных... Обобщение опыта работы учителя математики и физики первой квалификационной категории
	Уроках математики как пространства выбора с использованием технологии исуд Теплинская А. К., учитель математики цо ОАО газпром, г. Москва, победитель городского конкурса «Учитель года 2010»		Уроках математики у преподавателя математики возможности самые широкие.... Публикация в сборнике «Экспериментально-инновационная работа в образовательных учреждениях Томской области»

Школьные материалы