Дополнительные соображения
Условие задачи B2 с дискретным графиком всегда нужно понимать буквально. Если требуется найти, сколько раз значение функции находилось «в пределах от 2 до 7», то следует учитывать все числа из отрезка [2, 7]. Обратите внимание: границы отрезка, т.е. числа 2 и 7, тоже учитываются! Игнорирование это факта — очень частая ошибка на экзамене.
На рисунке изображен график среднесуточной температуры в Саратове в период с 6 по 17 октября 1969 г. На оси абсцисс откладываются числа, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Определить по графику, сколько дней из указанного периода средняя температура была не ниже 6,0 °C.
Решение
Очевидно, это дискретный график. Избавимся от ненужной информации, убрав все соединительные линии. На полученном наборе точек выполним горизонтальное отсечение, проведя черту на уровне 6,0 °C. Все, что ниже этой границы, нас не интересует, поэтому закрашено серым цветом. Имеем:
Подсчитаем точки, попадающие в диапазон — их оказалось шесть. Обратите внимание, что 8 и 17 октября температура равна 6 °C. Эти дни тоже учитываются в итоговом расчете.
Ответ 6
В этих задачах нет сложных и двусмысленных формулировок. Если требуется определить наивысшую точку графика, такая точка будет только одна. А если, например, просят найти минимальную ночную температуру, то по графику будет видно, что самая низкая температура была именно ночью. Не придется размышлять о том, когда именно заканчивается ночь и начинается день.
На графике показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток, начиная с 0 часов вторника. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси ординат — значение температуры в градусах. Определите по графику наименьшую температуру воздуха в ночь со среды на четверг.
Решение
Это непрерывный график. Для решения задачи необходимо отбросить всю лишнюю информацию, проведя вертикальные границы. Проблема в том, что фраза «ночь со среды на четверг» не дает четких границ.
Попробуем установить эти границы. Так, 12:00 среды — это точно еще не ночь, а 12:00 четверга — это уже не ночь. Чем ближе мы подходим к указанным моментам, тем выше температура. Очевидно, в этой задаче 12:00 среды и 12:00 четверга могут служить вертикальными границами. Проведем их и получим следующую картинку:
То, что закрашено серым цветом, нас не интересует. На оставшейся части графика минимальная температура равна 10 °C. Это значение достигается как раз ночью — примерно в 0:00 — и поэтому является ответом.
Ответ 10
Приложение №3 Метод коэффициентов в задаче B11
Многие задачи B11 решаются элементарно с помощью специальных приемов из высшей математики. К сожалению, эти приемы не изучаются в обычных школах.
Объем многогранника
Часто в задачах B11 дается многогранник и его объем. Затем многогранник растягивается или сжимается по разным направлениям. В результате получается новый многогранник, объем которого и требуется найти.
Как решать такие задачи? Прежде всего, запомните вот что:
Многогранник рассматривается в трехмерном пространстве. И все изменения происходят по одной из трех осей.
Теперь, когда в задаче написано «высота цилиндра увеличена в 2 раза, а основание уменьшено в 3 раза», это следует понимать так:
Сжатие в 2 раза по оси OZ;
Растяжение в 3 раза по осям OX и OY.
Обратите внимание: растяжение произошло сразу по двум осям. Ведь окружность — фигура двумерная, в отличие, например, от отрезка (который одномерен). Поэтому изменение радиуса влечет растяжение сразу «в обе стороны». Мы еще вернемся к этому факту, когда будем рассматривать реальные задачи.
А сейчас — основная теорема:
Теорема
Пусть дан объем исходного многогранника Vстарый. Пусть также известны числа a, b и c — коэффициенты растяжения для осей OX, OY и OZ соответственно. Тогда объем нового многогранника Vновый рассчитывается по формуле:
Vновый = Vстарый · a · b · c
Если по какой-то оси производится сжатие многогранника, а не растяжение, то вместо умножения просто пишется деление.
В частности, если все стороны многогранника изменились в одинаковое число раз (пусть это будет n), новый объем считается так:
Vновый = Vстарый · n3
Вот так все просто. Единственная загвоздка — определить, по какой оси и во сколько раз происходит растяжение или сжатие. Но это вопрос тренировки.
Задача
Параллелепипед ABCDA1B1C1D1 имеет объем 35 см3. Ребро AB увеличили в 2 раза, ребро AC — в 5 раз, а ребро AA1 уменьшили в 7 раз. Найдите объем нового параллелепипеда.
Решение
Только не надо чертить параллелепипед! Эта задача словно создана для решения описанным выше методом. Имеем:
Vстарый = 35;
Ось OX: растяжение в 2 раза ⇒ a = 2;
Ось OY: растяжение в 5 раз ⇒ b = 5;
Ось OZ: сжатие в 7 раз ⇒ c = 1/7.
Рассчитываем объем нового параллелепипеда:
Vновый = Vстарый · a · b · c = 35 · 2 · 5 : 7 = 50
Получили, что Vновый = 50 — это и есть ответ. Все!
Ответ 50
Задача
Высоту кругового цилиндра увеличили в 4 раза, а радиус основания уменьшили в 3 раза. Найдите объем нового цилиндра, если объем исходного равен 45 м3.
Решение
По условию, нам известно:
Vстарый = 45;
По оси OZ идет растяжение в 4 раза, поэтому c = 4;
По осям OX и OY идет сжатие в 3 раза, поэтому a = b = 1/3.
Теперь можно найти объем:
Vновый = Vстарый · a · b · c = 45 · 4 : 3 : 3 = 20
Обратите внимание, что сжатие идет сразу по двум осям: OX и OY. Ведь мы работаем с круговым цилиндром, в основании которого лежит окружность. Но окружность — объект двумерный, и чтобы сохранить пропорции, надо менять радиус по обоим измерениям. Иначе получится не окружность, а эллипс.
Ответ 20
Задача
Бетонный шар весит 0,75 т. Сколько будет весить шар, изготовленный из того же материала, если его радиус в 2 раза больше?
Решение
Поскольку шары изготовлены из одного и того же материала, масса меняется по тому же закону, что и объем. Следовательно, работаем по формулам, приведенным выше.
Vстарый = 0,75;
Растяжение в 2 раза по всем осям ⇒ a = b = c = 2.
Почему растяжение по всем осям одинаково? Да очень просто: если растяжения будут разные, получится «приплюснутый» шар — в математике он называется эллипсоид. Чтобы такого не случилось, радиус меняется по всем осям.
Осталось найти ответ (по упрощенной формуле):
Vновый = Vстарый · a3 = 0,75 · 23 = 6
Ответ 6
Задача
Высоту прямого кругового конуса увеличили в 5 раз, а радиус основания уменьшили в 3 раза. В результате получился новый конус объемом 30. Найдите объем исходного конуса.
Решение
Выписываем коэффициенты и работаем по той же самой формуле:
Мы не знаем Vстарый, зато знаем Vновый = 30;
Растяжение по оси OZ в 5 раз ⇒ c = 5;
В основании лежит окружность, поэтому сжатие в 3 раза идет сразу по двум осям: OX и OY ⇒ a = b = 1/3;
Записываем формулу объема:
Vновый = Vстарый · a · b · c
30 = Vстарый · 5 : 3 : 3
Vстарый = 30 · 3 · 3 : 5 = 54
Ответ 54
Как видите, ничего сложного в задачах на объем нет. Просто выписываем числа и подставляем в формулу. А теперь разберемся с задачами на площади.
|
