Приемы, используемые для подготовки учащихся к егэ по математике

Скачать 401.28 Kb.

Название	Приемы, используемые для подготовки учащихся к егэ по математике
страница	7/9
Дата публикации	30.07.2013
Размер	401.28 Kb.
Тип	Программа

100-bal.ru > Математика > Программа

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Площадь поверхности многогранника

Чтобы найти площадь многогранника после растягивания или сжатия, используйте следующую теорему:

Теорема

Когда все стороны многогранника увеличить в n раз, его площадь увеличится в n² раз:

S_новая = S_старая · n²

Аналогично, если все стороны сжать в n раз, площадь уменьшится в n² раз.

Как видите, формула площадей очень похожа на частный случай формулы объемов. Разница лишь в степени:

V_новый = V_старый · n³, поскольку объем — это «трехмерная» величина. Например, объем измеряется в кубических метрах (м³);
S_новая = S_старая · n², поскольку площадь — величина «двумерная» и измеряется в квадратных метрах (м²).

Задача

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильной пирамиды, если все ее стороны увеличить в 7 раз?

Решение

Подставляем n = 7 в формулу площади:

S_новая = S_старая · 7² ⇒ S_новая = 49 · S_старая

Итак, площадь увеличится в 49 раз — это и есть ответ.

Ответ 49

Задача [Материалы индивидуальных занятий]

Площадь первой сферы равна 175. Найдите площадь второй сферы, если ее радиус в 5 раз меньше радиуса первой.

Решение

Работаем по той же формуле: n = 5. Но вместо умножения будет деление, поскольку радиус уменьшается. Имеем:

S_новая = S_старая : n² = 175 : 5² = 175 : 25 = 7

Ответ 7

Задача

В пространстве даны два прямых круговых конуса. У второго конуса радиус основания и высота в 3 раза больше, чем у первого. Найдите площадь боковой поверхности первого конуса, если площадь боковой поверхности второго равна 324 см².

Решение

Чтобы решить задачу, надо понять, как из первого конуса получается второй. По условию, нам известны следующие величины:

n = 3 — именно во столько раз растягивается первый конус по каждой оси;
S_новая = 324 — площадь второго конуса.

Подставляем эти числа в нашу формулу — получаем:

S_новая = S_старая · n²
324 = S_старая · 9
S_старая = 324 : 9 = 36

Умножение на n² (а не деление) мы берем потому, что второй конус больше первого. Полученная площадь — это и есть ответ.

Ответ 36

Приложение №4

Типичные задачи B12 с функциями

Рассмотрим типичные задачи B12, которые сводятся к работе с функциями. Речь пойдет о функциях в «чистом» виде — без дополнительных параметров и аргументов. Подобных задач не так много.

Как решать такие задачи? Рекомендуют сводить функцию к уравнениям и неравенствам, а затем решать их. Можно и так, но есть способ проще. Итак, всего три шага:

Найти в тексте задачи, чему должна быть равна функция. Пусть это будет число K.
Решить уравнение f(x) = K. Ну, или h(t) = K — в зависимости от того, как называется функция.
Если корень один — это и есть ответ. Если корней два и более — надо немного подумать. Например, время не может быть отрицательным, масса — нулевой, и так далее.

Функции в задаче B12 всегда очень простые, поэтому чаще всего проблемы возникают на третьем шаге.

Задача

Высота, на которой находится камень, брошенный с земли вертикально вверх, меняется по закону h(t) = 2 + 12t − 5t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень будет находиться на высоте более 6 метров?

Решение

Из условия следует, что надо решить уравнение h(t) = 6. Получаем обычное квадратное уравнение:

2 + 12t − 5t² = 6;
5t² − 12t + 4 = 0 — собрали все с одной стороны;
... (решаем обычное квадратное уравнение)
t₁ = 0,4; t₂ = 2.

Итак, у нас два корня. Что это значит? В момент времени t₁ = 0,4 камень был на высоте 6 метров, затем — очевидно, больше 6, и, наконец, в момент t₂ = 2 снова 6 метров. Короче говоря, в период с t₁ = 0,4 до t₂ = 2 камень находился на высоте более 6 метров. Найдем длину отрезка:

l = t₂ − t₁ = 2 − 0,4 = 1,6.

Ответ 1,6

Задача

Камень брошен вниз с высоты 24 метра. Пока камень не упал, его высоту можно находить по формуле h(t) = 24 − 7t − 5t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень будет падать?

Решение

Что значит, что камень упал? Это означает, что его высота над поверхностью земли стала равна нулю. Итак, надо решить уравнение h(t) = 0. Имеем:

24 − 7t − 5t² = 0 — обычное квадратное уравнение;
... (решаем квадратное уравнение)
t₁ = −1,6; t₂ = 3;

Очевидно, корень t₁ = −1,6 нам не подходит, поскольку время не может быть отрицательным. Поэтому камень будет падать 3 секунды.

Ответ 3

Почему-то многие (на самом деле, почти все) хотят решить уравнение h(t) = 24. Аргументация такая: число 24 встречается в тексте, да еще и в самом начале. Так вот: это число не имеет никакого отношения к решению. А требуемое значение функции надо искать в вопросе.

В самом деле, сколько секунд камень будет падать? Ну, до тех пор, пока не упадет. А что значит, что камень упал? Это значит, что его высота над землей равна нулю.

Когда искомое значение функции определено, решить задачу не составит труда. В заключение рассмотрим еще 2 типовые задачи.

Задача

В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону:

H(t) = 5 − 1,6t + 0,128t²

где t — время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

Решение

Эта задача очень похожа на предыдущую — про камень, брошенный с высоты 24 метра. Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока высота столба не станет равной нулю. Поэтому H(t) = 0. Подставляем это значение в функцию и решаем уравнение:

0 = 5 − 1,6t + 0,128t²;
0 = 625 − 200t + 16t² — умножили все на 125;
16t² − 200t + 625 = 0 — стандартное квадратное уравнение;

Поскольку коэффициенты получились непростые, a = 16 ≠ 0, работая через дискриминант, получим:

D = b² − 4ac = (−200)² − 4 · 16 · 625 = 40 000 − 40 000 = 0 — уравнение имеет ровно 1 корень.
t = −b : (2a) = −(−200) : (2 · 16) = 200 : 32 = 6,25.

Таким образом, вода перестанет вытекать из бака через 6,25 минуты — это и есть ответ.

Ответ 6,25

Задача

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = −5t², где t измеряется в секундах, а h — в метрах.

До дождя время падения камушков составляло 1,4 секунды. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,1 секунды? Ответ выразите в метрах.

Решение

Это немного нестандартная задача с функцией. По условию, аргумент t может принимать 2 значения:

t₁ = 1,4 — исходное, дано в условии задачи;
t₂ = 1,4 − 0,1 = 1,3 — новое значение.

Теперь подставим эти значения в функцию h(t). Так мы найдем расстояние от верхней кромки колодца до поверхности воды до и после дождя. Имеем:

h(t₁) = −5 · (1,4)² = ... = −9,8;
h(t₂) = −5 · (1,3)² = ... = −8,45.

Итак, есть два значения: −9,8 метра и −8,45 метра. Если вычесть из большей высоты меньшую, получим искомую минимальную высоту Δh, на которую должен подняться уровень воды:

Δh = −8,45 − (−9,8) = 9,8 − 8,45 = 1,35 — это и есть ответ.

Ответ 1,35

Небольшое пояснение к последней задаче. Откуда взялось число t₂ = 1,3? По условию, уровень воды повышается, а значит, расстояние от воды до верхней кромки колодца становится меньше. Следовательно, уменьшается и время полета камня.

Именно поэтому мы уменьшаем исходное время (t₂ = 1,4 − 0,1 = 1,3), а ни в коем случае не увеличиваем его. Понять это — вот основная трудность подобных задач.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Похожие:

	Тесты по математике, варианты егэ по математике ...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Егэ по математике. Сайт предназначен для подготовки учащихся к экзамену. Имеются: on-line тестирование в форме егэ, конспекты по...
	Тесты для подготовки к егэ по математике. Ростов н/Д. Феникс, 2009;... Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к егэ и к другим формам выпускного...		Цели: Формирование адекватного реалистичного мнения о егэ. Знакомство... ...
	А у нас егэ! Если я не хочу сдавать егэ? ...		Егэ по математике Открыть пункты проведения экзамена (далее – ппэ) в форме единого государственного экзамена (далее – егэ) по математике 03 июня 2013...
	Егэ по математике Открыть пункты проведения экзамена (далее – ппэ) в форме единого государственного экзамена (далее – егэ) по математике 03 июня 2013...		Егэ по русскому языку и математике Открыть пункты проведения экзамена (далее – ппэ) в форме единого государственного экзамена (далее – егэ) по математике 03 июня 2013...
	Система подготовки учащихся к егэ по математике в сельской школе Вполне естественно, что перед учителем сельской общеобразовательной школы встал вопрос о повышении качества обучения и подготовки...		Пособия для подготовки к гиа В пособиях вы найдёте правила, формулы, алгоритмы, различные приемы и способы решения тех или иных заданий для успешной подготовки...
	Анализ проведения урока с позиций здоровьесбережения Все используемые учителем на уроке технологии и педагогические приемы могут быть оценены (количественно и качественно) по критерию...		Дидактический материал по математике для подготовки к егэ слабоуспевающих... Краснодарского края «Алгебра и начала анализа. 10 -11 классы». Авт. Е. А. Семенко и Методических рекомендаций для общеобразовательных...
	Вопрос-Ответ ...		Реферат по теме: «Методика подготовки учащихся к выполнению части а в егэ» Методический принцип повторения и обобщения материала при подготовке учащихся к выполнению заданий части а в егэ
	Рекомендации ученикам по подготовке к итоговой и промежуточной аттестации ...		Изменения в егэ 2012: нововведения от фипи 24: 08: 2011 г ...

Школьные материалы