Приемы, используемые для подготовки учащихся к егэ по математике
Скачать 401.28 Kb.
|
Переход к единой системе измеренияСказанное выше не отменяет другого важного правила: для всех величин должна применяться единая система измерения. Так, в задачах про рельсы длина этого самого рельса выражается в метрах, а удлинение — в миллиметрах. Прежде чем составлять уравнение, надо перевести все в метры. Все числа должны быть переведены в единую систему измерения. И лишь затем можно составить уравнение, где единиц измерения не будет вообще. Подобные задачи редко встречаются на ЕГЭ по математике, но уж если встретятся — мало не покажется. Поэтому рассмотрим еще раз задачу с рельсами: Задача При температуре 0 °С рельс имеет длину l0 = 20 метров. При строительстве железной дороги между рельсами оставили зазор в 9 мм. Когда температура растет, начинается тепловое расширение рельса, и его длина вычисляется по формуле: l(t) = l0 · (1 + a · t) где a = 1,2 · 10−5 (°C)−1 — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре зазор между рельсами исчезнет? Ответ дайте в градусах Цельсия. Решение Основная проблема в том, что длина рельса измеряется в метрах, а зазор — в миллиметрах. Переведем все в метры: если 1000 мм = 1 м, то 9 мм = 9 · 10−3 м = 0,009 м. Теперь подумаем: что значит «зазор между рельсами исчезнет»? Очевидно, это произойдет в тот момент, когда рельс удлинится на величину зазора, поэтому искомая длина рельса равна l(t) = 20 + 0,009 м. Записываем уравнение. Правильно 20 + 0,009 = 20 · (1 + 0,000012 · t); 20 + 9 · 10−3 = 20 · (1 + 1,2 · 10−5 · t); Неправильно 20 м + 0,009 = 20 м · (1 + 1,2 · 10−5 · t); 20 м + 9 мм = 20 м · (1 + 1,2 · 10−5 · t). Обратите внимание на коэффициенты. Их можно записать по-разному:
Всем своим ученикам я настоятельно рекомендую записывать числа именно в стандартном виде. Это очень просто и экономит много времени. А некоторые задачи (например, температура звезд) по-другому вообще не решаются. Комбинированные задачи B12Часто бывает, что в одной задаче B12 присутствует и функция, и формула. В таких задачах кроме основной переменной присутствуют дополнительные неизвестные, значения которых надо искать где-то в тексте. Общая схема решения почти ничем не отличается от задач с формулами. В двух словах: найти в тексте числа и подставить их в исходную формулу. Если все сделать правильно, получится стандартное уравнение с одной переменной. Задача В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:  где m0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, T (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m0 = 56 мг. Период его полураспада T = 7 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 7 мг? Решение По условию, известны следующие величины: m0 = 56; T = 7. Подставим их в функцию — получим m(t) = 56 · 2−t/7. Требуется найти момент, когда m(t) = 7 мг. Составим и решим уравнение: 56 · 2−t/7 = 7; 2−t/7 = 1/8 — разделили все на 56; 2−t/7 = 2−3 — представили 1/8 как 2−3; −t/7 = −3; t = 21. Ответ 21 Задача Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 75 − 5p. Определите максимальный уровень p цены (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 270 тыс. руб. Решение Итак, у нас есть функция r = q · p, причем q — неизвестная величина. Более того, переменная q сама является функцией: по условию, q = 75 − 5p. Подставим это выражение в функцию r. Получим: r = (75 − 5p) · p = 75p − 5p2. Теперь у нас есть функция, выражающая прибыль через цену. Все цены установлены в тысячах рублей — это следует из условия. Также, по условию, прибыль должна быть не менее 270 тыс. руб., поэтому можно написать r = 270. Составим и решим уравнение: 270 = 75p − 5p2; 5p2 − 75p + 270 = 0 — перенесли все влево; p2 − 15p + 54 = 0 — разделили все на 5; ... (решаем квадратное уравнение) p1 = 6; p2 = 9. Поскольку нас интересует наибольшая цена, выбираем p2 = 9. Ответ 9 Задача При температуре 0 °С рельс имеет длину l0 = 20 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 9 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону l(t) = l0 · (1 + a · t), где a = 1,2 · 10−5 (°C)−1 — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре зазор между рельсами исчезнет? Ответ выразите в градусах Цельсия. Решение Изначально нам известны две величины: l0 = 20 и a = 1,2 · 10−5. Самый тонкий момент — понять, чему равно l(t). А именно: зазор исчезнет, когда рельс удлинится на эти самые 9 мм. Была длина 20 метров, а стала — 20 метров + 9 мм. Переведем все в метрическую систему. В одном метре 1000 мм, поэтому 9 мм = 9 · 10−3 м. Итого, l(t) = 20 + 9 · 10−3. Оставим эту запись именно в таком виде, не будем складывать. Получилось уравнение: 20 + 9 · 10−3 = 20 · (1 + 1,2 · 10−5 · t). Раскроем скобки — и после очевидных преобразований уравнение станет совсем простым: 20 + 9 · 10−3 = 20 + 20 · 1,2 · 10−5 · t; 9 · 10−3 = 24 · 10−5 · t — убрали с обеих сторон число 20. Умножим обе стороны на 105 и получим: 9 · 10−3 + 5 = 24 · 10−5 + 5 · t; 9 · 102 = 24t — обычное линейное уравнение; t = 900/24 = 37,5. Ответ 37,5 Общие выводы из приведенных решений:
Сложные задачи B12Существуют еще более сложные задачи, требующие действительно грамотных размышлений. Рассмотрим две такие задачи. Они действительно предлагались на пробном ЕГЭ по математике. Справились с ними лишь единицы. Задача Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:  где σ = 5,7 · 10−8 — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/128) · 1020 м2, а излучаемая ею мощность P не менее 1,14 · 1025 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина. Решение Конечно, формула с четвертой степенью и числа, содержащие степени десятки, выглядят угрожающе. Но в действительности все не так плохо. Нам известна мощность P, площадь S и постоянная σ. Подставим их в формулу — получим: 1,14 · 1025 = 5,7 · 10−8 · (1/128) · 1020 · T 4. Единицы измерения не пишем — они только засоряют уравнение. Чтобы упростить решение, умножим обе стороны на 128, а затем по возможности сократим количество множителей. Имеем: 1,14 · 1025 · 128 = 5,7 · 10−8 · (1/128) · 1020 · T 4 · 128; 1,14 · 128 · 1025 = 5,7 · 10−8 · 1020 · T 4 — сократили множители, отмеченные красным; 1,14 · 128 · 1025 = 5,7 · 1012 · T 4; 1,14 · 128 · 1025 − 12 = 5,7 · 1012 − 12 · T 4 — разделили все на 1012; 1,14 · 128 · 1013 = 5,7 · T 4; 1,14 · 128 · 1013 : 5,7 = 5,7 · T 4 : 5,7 — делим все на 5,7; 0,2 · 128 · 1013 = T 4 — потому что 1,14 : 5,7 = 0,2; 2 · 10−1 · 128 · 1013 = T 4 — записали 0,2 = 2 · 10−1; 256 · 1012 = T 4 — группируем двойки и десятки; T 4 = 1012 · 28 — поскольку 256 = 28; T = 103 · 22 = 1000 · 4 = 4000. На последнем шаге мы находим корень 4-й степени. Напомню: извлечение корня понижает степени у каждого множителя. Вообще говоря, действительных корней в уравнении будет два: T1 = 4000 и T2 = −4000. Но температура в Кельвинах не может быть отрицательной, поэтому второй вариант нас не интересует. Ответ 4000 Задача В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону:  где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H0 = 20 м — начальная высота столба воды, k = 1/50 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды? Решение Для начала выясним, чему равно искомое H(t). По условию, в баке должна остаться четверть первоначального объема воды. Поэтому H(t) = (1/4) · 20 = 5 м. Теперь, когда все параметры известны, подставим числа в функцию. Чтобы не усложнять выкладки, заметим следующее:  Таким образом, вместо корня можно смело писать число 20. Имеем: 5 = 20 − 20 · (1/50) · t + (10/2) · (1/50)2 · t2; 0 = 15 − 20 · (1/50) · t + 5 · (1/50)2 · t2 — перенесли все в одну сторону; (1/50)2 · t2 − 4 · (1/50) · t + 3 = 0 — разделили все на 5. Сделаем замену переменной: (1/50) · t = x. Тогда (1/50)2 · t2 = x2, и все уравнение перепишется следующим образом: x2 − 4x + 3 = 0; (x − 3) · (x − 1) = 0 — корни квадратного уравнения легко угадываются без всякого дискриминанта x1 = 3; x2 = 1. Теперь вспоминаем, что такое x. Поскольку мы выполняли замену x = (1/50) · t, имеем: t = 50x; t1 = 50 · 3 = 150; t2 = 50 · 1 = 50. Итак, у нас два кандидата на ответ: числа 50 и 150. Заметим, что в момент времени t = 100 высота столба воды равна: H(100) = 20 − 20 · (1/50) · 100 + 5 · (1/50)2 · 1002 = 20 − 40 + 20 = 0. Другими словами, через t = 100 секунд вода полностью вытечет из бака, и уравнение H(t) теряет физический смысл. Поэтому вариант t = 150 нас не интересует. Остается только t = 50. Ответ 50 В заключение хочу еще раз заострить внимание на последней задаче. Мы отсеяли корень t = 150, поскольку он расположен слишком далеко от старта — там, где исходная формула теряет всякий физический смысл. Сравните:
В задаче про звезды мы выбрали положительный корень, также руководствуясь физическим смыслом. Данные примеры наглядно демонстрируют, насколько опасно «увлекаться» математическими уравнениями без оглядки на реальные условия задач. |
Похожие:
 | Тесты по математике, варианты егэ по математике ... |  | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Егэ по математике. Сайт предназначен для подготовки учащихся к экзамену. Имеются: on-line тестирование в форме егэ, конспекты по... |
| Тесты для подготовки к егэ по математике. Ростов н/Д. Феникс, 2009;... Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к егэ и к другим формам выпускного... | | Цели: Формирование адекватного реалистичного мнения о егэ. Знакомство... ... |
| А у нас егэ! Если я не хочу сдавать егэ? ... | | Егэ по математике Открыть пункты проведения экзамена (далее – ппэ) в форме единого государственного экзамена (далее – егэ) по математике 03 июня 2013... |
| Егэ по математике Открыть пункты проведения экзамена (далее – ппэ) в форме единого государственного экзамена (далее – егэ) по математике 03 июня 2013... | | Егэ по русскому языку и математике Открыть пункты проведения экзамена (далее – ппэ) в форме единого государственного экзамена (далее – егэ) по математике 03 июня 2013... |
| Система подготовки учащихся к егэ по математике в сельской школе Вполне естественно, что перед учителем сельской общеобразовательной школы встал вопрос о повышении качества обучения и подготовки... | | Пособия для подготовки к гиа В пособиях вы найдёте правила, формулы, алгоритмы, различные приемы и способы решения тех или иных заданий для успешной подготовки... |
| Анализ проведения урока с позиций здоровьесбережения Все используемые учителем на уроке технологии и педагогические приемы могут быть оценены (количественно и качественно) по критерию... | | Дидактический материал по математике для подготовки к егэ слабоуспевающих... Краснодарского края «Алгебра и начала анализа. 10 -11 классы». Авт. Е. А. Семенко и Методических рекомендаций для общеобразовательных... |
| Вопрос-Ответ ... | | Реферат по теме: «Методика подготовки учащихся к выполнению части а в егэ» Методический принцип повторения и обобщения материала при подготовке учащихся к выполнению заданий части а в егэ |
| Рекомендации ученикам по подготовке к итоговой и промежуточной аттестации ... | | Изменения в егэ 2012: нововведения от фипи 24: 08: 2011 г ... |
