Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины «Экстремальные задачи в курсе математического анализа обучающийся должен:
знать основные понятия теории экстремальных задач (математического программирования, вариационного исчисления, теории игр, теории многокритериальных задач оптимизации); типичные постановки задач исследования операций и теории принятия решений, в том числе варианты критериев оптимизации; формулировки фундаментальных теорем математического и функционального анализа, связанных с задачами оптимизации;
уметь иллюстрировать основные положения теории примерами и контрпримерами; решать типовые задачи исследования операций (задачи на экстремум функций одной и нескольких переменных, функционалов классического вариационного исчисления, задачи теории матричных игр, некоторые задачи дискретной оптимизации);
владеть языком, символикой и формальным аппаратом дифференциального исчисления, вариационного исчисления, исследования операций, теории принятия решений;
иметь представление о месте задач оптимизации в современной математике и ее приложениях, о специфике разных математических дисциплин, связанных с экстремальными задачами.
Краткое содержание дисциплины
Задачи оптимизации и их математические модели: дискретные и континуальные задачи, допустимое множество и целевая функция, задачи на условный и безусловный глобальный экстремум.
Задачи на наибольшее/наименьшее значение функции нескольких переменных в замкнутой области: решение средствами дифференциального исчисления. Случай задачи линейного программирования.
Некоторые классические задачи вариационного исчисления. Функционалы. Задача об экстремуме функционала.
Теорема Ферма для функционалов. Уравнения Эйлера для экстремалей в задаче вариационного исчисления с закрепленными концами
Некоторые обобщения простейшей задачи вариационного исчисления: задачи с подвижными концами, задачи с угловыми точками.
Динамическое программирование в задачах оптимизации. Принцип оптимальности Беллмана.
Постановка задачи оптимального управления. Принцип оптимальности Понтрягина.
Задача поиска оптимальной стратегии в теории антагонистических игр. Матричные игры: чистые и смешанные стратегии, цена игры, построение оптимальной смешанной стратегии методами линейного программирования. Игры с природой. Понятие о дифференциальных играх.
Игры нескольких лиц. Бескоалиционные игры. Равновесие по Нэшу. Понятие о кооперативных играх.
Общая трудоемкость дисциплины: 276 часов.
Составитель: Фолиадова Е.В., кандидат физико-математических наук
Избранные вопросы элементарной математики
Цель дисциплины – развитие способностей к восприятию нестандартного материала и ориентации в нем.
Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
В результате изучения дисциплины студенты должны:
- знать основные понятия элементарной математики с точки зрения заложенных в них фундаментальных математических идей;
- свободно владеть учебным материалом элементарной математики;
- знать приемы решения нестандартных задач и уметь их использовать;
- знать особенности учебного материала, предназначенного для классов различной профильной направленности.
Краткое содержание дисциплины
Делимость. Систематические числа. Нестандартные задачи.
Метод математической индукции и его применение к решению задач..
Алгебраические и трансцендентные уравнения, неравенства нестандартного типа и их системы. Задачи с параметрами. Построение графиков сложных функций. Классические неравенства. Средние величины. Среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратическое. Приложение неравенств к элементарному нахождению экстремумов. Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Числа Фибоначчи. Возвратные последовательности.
Применение комбинаторики к вычислению вероятности. Решение нестандартных задач. Различные аксиоматики евклидовой геометрии и их сравнение. Замечательные точки и линии в треугольнике. Точка Торричелли. Окружность девяти точек. Прямые Эйлера и Симпсона. Окружность Аполлония. Выпуклые, невыпуклые и звездчатые многоугольники. Теорема Жордана. Задача о 3-х домиках и 3-х колодцах. Искусство М.Эшера. Экстремальные задачи. Задача Герона, задача Штейнера, изопериметрическая задача и др. Многогранники: различные подходы к определению. Теорема Коши. Виды тетраэдра: ортоцентрический, равногранный, прямоугольный. Прямая Эйлера для ортоцентрического тетраэдра. Первая и вторая сферы Эйлера. Пространственный аналог теоремы Пифагора.
Общая трудоемкость дисциплины: 276 часов.
Составитель: Ионова И.В., кандидат педагогических наук, доцент.
4 Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений
Целью преподавания учебной дисциплины «Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений» является усвоение студентами особенностей применения математических методов для моделирования физических и иных процессов, возможностей использования информационных технологий при работе с математическими моделями..
В результате освоения дисциплины «Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений» обучающийся должен:
знать основные понятия, относящиеся к методологии математического моделирования ;
уметь применять математические методы при решении профессиональных задач;
владеть методами математического моделирования.
№
|
Тема или раздел
|
1.
|
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и разностные уравнения первого и второго порядка и их приложения.
|
2.
|
Конечно-разностные методы решения ОДУ и систем ОДУ.
|
3.
|
Решение ОДУ в системах компьютерной математики (СКМ).
|
4.
|
Уравнения в частных производных (УЧП) первого порядка.
|
5.
|
Решение УЧП 1-го порядка в СКМ.
|
6.
|
Уравнения математической физики (УМФ) и краевые задачи для них.
|
7.
|
Аналитические методы решения УМФ.
|
8.
|
Решение УМФ в СКМ.
|
9.
|
Конечно-разностные методы решения УМФ.
|
10.
|
Решение ОДУ и УЧП в СКМ Maple.
|
11.
|
Решение ОДУ и УЧП в СКМ Matlab.
|
Общая трудоемкость дисциплины: 276 часов.
Составитель: Цыганов А.В., кандидат физико-математических наук, доцент.
5 Элементы теории матриц и определителей
Целью преподавания данной дисциплины является обобщение и углубление знаний по общему курсу алгебры, формирование представление о его приложениях, о возможностях продолжения образования в области алгебры, о современных проблемах алгебры, а также формирование абстрактно-логического мышления и умения оперировать общематематическими понятиями.
Требования к уровню усвоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
иметь представление о роли матричных методов в математике и смежных
знать определение евклидова и унитарного пространства, основные специальные классы матриц, специальные методы вычисления определителей
уметь самостоятельно изучать математическую литературу, систематизировать материал, выступать с докладами, приводить матрицы к жордановой форме, вычислять собственные значения линейных операторов различными способами.
Краткое содержание дисциплины
№
п/п
|
Наименование темы/раздела
|
Содержание
|
1.
|
Жордановы нормальные формы матриц
|
Вывод формулы, выражающей определитель квадратной матрицы, представляющей собой произведение двух прямоугольных матриц, через миноры матриц – множителей (Формула Бине-Коши). Инвариантные подпространства линейного оператора. Блочные матрицы. Понятие о клетке Жордана. Присоединённые векторы. Алгебраические и геометрические кратности собственных значений. Применение спектров матриц к приведению их к диагональной форме.
|
2.
|
Евклидовы и унитарные пространства.
|
Сопряжённое пространство. Полилинейные функции. Билинейные формы, определяющие скалярные произведения. Билинейные формы и их связь с линейными операторами. Эквивалентность билинейных форм. Квадратичные и эрмитовы формы. Приведение симметрических билинейных форм к каноническому виду. Сигнатуры. Закон инерции. Положительно определённые формы. Критерий Сильвестра. Евклидовы и унитарные векторные пространства. Связь между линейными операторами и билинейными формами в евклидовом векторном пространстве. Ортогональные и унитарные операторы.
|
3.
|
Многочленные матрицы и матричные многочлены
|
Понятия матричный многочлен и многочленная матрица. Элементарные преобразования многочленной матрицы. Основные операции над многочленными матрицами (Сложение и умножение матричных многочленов). Основные свойства этих операций. Правое и левое деление матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу.
Присоединённая матрица..
|
4.
|
Дополнительные главы теории матриц и определителей
|
Вычисление определителей матриц, зависящих от параметров, вычисление некоторых специальных определителей. Циркулянты. Линейная зависимость линейных форм. Системы линейных уравнений с параметрами и их геометрические приложения.
|
5.
|
Избранные вопросы теории линейных операторов и линейной алгебры
|
Нормальные, симметрические и кососимметрические, эрмитовы и положительные операторы и их матричное представление. Спектр и собственные векторы линейных операторов, их практическое приложение. Инвариантные и корневые подпространства линейных операторов, группы и алгебры линейных операторов. Нормы линейных операторов, сингулярные числа. Матричные многочлены. Системы линейных неравенств и их экономические приложения.
|
Общая трудоемкость дисциплины: 276 часов.
Составители: Глухова Н.В., доцент, Баринова И.В., ассистент
Избранные вопросы теории алгебраических структур и теории чисел
Целью преподавания данной дисциплины является обобщение и углубление знаний по общему курсу алгебры и теории чисел, формирование представления об их приложениях, о возможностях продолжения образования в области алгебры и теории чисел, о современных проблемах математики, а также формирование абстрактно-логического мышления и умения оперировать общематематическими понятиями.
Краткое содержание дисциплины
№
п/п
|
Наименование темы/раздела
|
Содержание
|
1.
|
Группы и факторгруппы. Элементы теории представлений групп. Факториальные и евклидовы кольца. Идеалы
|
Группы, подгруппы. Нормальные делители групп. Факторгруппы. Изоморфизмы и гомоморфизмы групп. Циклические группы. Задание групп образующими элементами и определяющими соотношениями. Группа Галуа. Понятие кольца, подкольца, идеала кольца, области целостности. Сравнение по идеалу. Фактор-кольцо. Гомоморфизмы колец. Характеристика кольца. Понятие делимости в кольце. Факториальные кольца, примеры, простейшие свойства. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца. Факториальность кольца многочленов от одной и нескольких переменных над факториальным кольцом.
|
2.
|
Расширения полей. Конечные поля
|
Понятие поля, подполя, изоморфизм полей. Расширения полей. Алгебраические и конечные, простые и составные расширения. Алгебраические числа и их приближения. Применения к освобождению от иррациональности в знаменателе дроби. Вопрос о разрешимости уравнений в квадратных радикалах. Применение к задачам на построение с помощью циркуля и линейки. Нормальные расширения полей, поля разложений многочлена. Элементы теории Галуа. Конечные поля их общие свойства. Классификация. Вычислительные аспекты работы с данными полями. Приводимость многочленов над конечными полями. Круговые многочлены. Возможности применения конечных полей в теории кодирования.
|
3.
|
Элементы теории чисел. Квадратичные поля
|
Простые и составные числа. Простые числа специальных видов. Совершенные числа, простые числа Мерсенна и Ферма. Числовые функции. Мультипликативные теоретико-числовые функции. Конечные и бесконечные цепные дроби. Подходящие дроби как наилучшие приближения. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра. Символ Якоби. Двучленные сравнения по простому модулю. Сравнения высших степеней. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби. Квадратичные расширения. Квадратичные поля.
|
4.
|
Алгебры конечного ранга
|
Комплексные числа и их применение в геометрии. Тело кватернионов. Применение кватернионов. Октавы. Конечномерные алгебры.
|
5.
|
Кольцо многочленов от n переменных
|
Многочлены нескольких переменных. Симметрические многочлены и их приложения. Антисимметрические многочлены. Результант и дискриминант.
|
Общая трудоемкость дисциплины: 276 часов.
Составитель: Гришина С.А., кандидат физико-математических наук, доцент.
5.Конструктивная геометрия
Основной целью спецкурса является более глубокое изучение тех вопросов курса геометрии, которые бегло представлены в систематическом курсе геометрии или совсем не затронуты в нем.
Содержание разделов и тем
№
п/п
|
Наименование
темы (раздела)
|
СОДЕРЖАНИЕ
|
1.
|
Обоснование построений циркулем и линейкой. Аксиоматика конструктивной геометрии.
|
Понятие задачи на построение и ее решения. Общие аксиомы геометрических построений. Инструменты построений, их аксиомы. Этапы решения задачи на построение. Основные построения и основные задачи. Решение основных задач классическим набором инструментов. Оценка простоты и точности построения.
|
2
|
Геометрические построения одной линейкой. Основные факты проективной геометрии как теоретическая база геометрических построений одной линейкой.
|
Определение и задание проективного соответствия в формах первой ступени. Теоремы Дезарга в применении к геометрическим построениям с различными ограничениями. Построение гармонических четверок элементов в формах 1 ступени. Теория полюсов и поляр, ее применение для решения задач с недоступными точками. Построение линейкой с эталоном длины. Построение двусторонней линейкой.
|
3
|
Построения одним циркулем и построения линейкой при однократном использовании циркуля.
|
Построения одним циркулем. Деление окружности на n равных частей. Теорема Гаусса. Построения линейкой с однократным использованием циркуля. Теорема Штейнера
|
4
|
Задачи, неразрешимые циркулем и линейкой. Классические задачи и задачи на восстановление треугольников.
|
Примеры задач, не имеющих решения, неразрешимых соответствующим набором инструментов. Критерий разрешимости задач на построение циркулем и линейкой. Классические задачи древности. Приближенные решения, решение их иными наборами инструментов. Неразрешимые задачи на построение на восстановление треугольников по некоторым его элементам
|
5
|
Преобразования инверсии, ее свойства и построение образов фигур при инверсии. Задача Аполлония.
|
Преобразование инверсии. Антипараллельные прямые. Построение образов фигур при инверсии.
Аналитическое выражение инверсии. Примеры решения задач на доказательство и построение с помощью инверсии. Задача Аполлония.
|
Общая трудоемкость дисциплины:276 часов.
Составитель: Прокопьев Г.С., кандидат физико-математических наук, доцент.
ДПП.ДС
ДПП.ДС.Ф.1 Элементы абстрактной и компьютерной алгебры
Целью данной дисциплины является демонстрация того, как компьютер может быть применён для решения невычислительных математических задач, а также возможностей применения математических методов в информатике;
Требования к уровню освоения содержания дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
иметь представление о роли и месте фундаментального математического знания в компьютерных науках, о межпредметных связи на уроках математики и информатики, об основных задачах помехоустойчивого кодирования и криптографии;
знать о возможностях приложения математических методов в различных областях и быть готовым применить эти знания для повышения заинтересованности учащихся в изучении математики, для разработки соответствующих элективных курсов, знать определения основных алгебраических структур и их основные свойства, основные требования к представлению данных в компьютере.
уметь переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую, выполнять операции с элементами конечных полей, применять простейшие алгоритмы для нахождения и исправления одной ошибки, выполнять простейшие символьные преобразования.
Краткое содержание дисциплины
№
|
Тема/ раздел
| Содержание |
1
|
Представление данных в компьютере. Алгоритмы символьных преобразований
|
Представление данных в компьютере. Позиционные системы счисления. Представление натуральных чисел. Представление дробей в компьютере. Дробные числа в позиционных системах счисления. Алгоритмы работы с обыкновенными дробями. Представления символьных данных. Общие сведения о программе Maple. Простейшие алгоритмы символьных преобразований (многочлены, дробно-рациональные выражения). Кольцо многочленов от одной переменной, теория делимости. Многочлены от нескольких переменных. Алгоритмы символьных преобразований (числа, многочлены, выражения, дифференцирование, интегрирование).
|
2
|
Элементы абстрактной алгебры
|
Понятие группы, кольца, поля, булевой алгебры. Алгебры и алгебраические системы. Теория делимости в кольце целых чисел. Кольца классов вычетов. Поле комплексных чисел. Подгруппы. Смежные классы по подгруппе, факторгруппы. Подкольца. Идеалы кольца, факторкольца. Расширения полей, алгебраические и конечные расширения. Конечные поля. их общие свойства. Классификация. Вычисления над конечными полями.
|
3
|
Элементы теории кодирования
|
Первоначальные представления о теории кодирования. Принципы помехоустойчивого кодирования, подгруппа линейных кодов и классы смежности. Алгоритмы с исправлением одной или двух ошибок, пути усовершенствования алгоритмов для исправления большего числа ошибок (применение конечных полей). Криптографические системы с открытым ключом.
| |
