Особенности методики изучения элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в средней школе
Скачать 1.47 Mb.
|
| Введение Одна из задач модернизации содержания и структуры Российского школьного образования состоит в совершенствовании качества математического образования. Основным недостатком математической подготовки школьников является неумение пользоваться математическими понятиями при работе с реальными объектами. По данным Третьего международного исследования (ТIМSS) наши школьники хуже владеют методологическими знаниями. По данным международного исследования PISA были выявлены невысокие результаты качества обучения детей 15-летнего возраста, получивших общее обязательное образование. Исследование было проведено в 2004 году в 41 стране мира, в том числе вторично и в России. Наши школьники оказались между 29-м и 31-м местом по математической грамотности. Проверочные вопросы были разного уровня сложности. Показав хорошие результаты в области владения фактологическим материалом, умение воспроизводить знания и применять их в знакомой ситуации, учащиеся не смогли интегрировать эти знания и применить их для получения новых знаний и объяснения явлений, происходящих в окружающем мире. Наибольшие затруднения у учащихся вызывают задачи, в которых необходимо построить математическую модель, отражающую реальные процессы и с ее помощью просчитать результаты; задания на построение и чтение графиков реальных зависимостей; задачи на процентный рост, на оценку и прикидку результатов вычислений; задачи, связанным с выдвижением и проверкой гипотез. А в условиях современной цивилизации практически каждому человеку приходится постоянно проводить элементарные подсчеты, делать оценки и прикидки, прокладывать транспортные маршруты, читать графики и диаграммы, осмысливать статистические данные и т.п. Актуальность обновления содержания школьного математического образования стала очевидна, так как курс математики недостаточно хорошо готовил выпускников к коллизиям жизни, Наши выпускники с трудом преодолевают тот глубокий детерминизм, который взрастила в их умах средняя школа. Практика показывает, что человеку, не понявшему вероятностно-статистических идей в детстве, в более зрелом возрасте они даются нелегко, ибо многое в теории вероятностей вроде бы противоречит жизненному опыту, а с возрастом опыт набирается и приобретает статус безусловности. Значит, назрела необходимость введения элементов комбинаторики теории вероятностей, статистики в школьный курс математики. Но введение элементов теории вероятностей как замкнутого раздела программы по математике, относящегося к «чистой», теоретической математике, уже проводилось при реформировании школьного математического образования в 60-е годы. Тогда появился целый ряд работ ученых методистов, которые ставили своей целью разработать методику преподавания теории вероятностей как отдельной темы школьного курса математики. Однако в 70-х годах в силу изолированности и инородности его по отношению к традиционному школьному курсу этот материал был изъят из программ и учебников. Реформой 80-х годов элементы теории вероятностей и математической статистики были включены в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного. Итак, несмотря на то, что идея введения стохастической линии в школьный курс математики разрабатывалась много лет и встречала поддержку в среде математиков и педагогов-практиков, в практику нашей школы теория вероятностей и математическая статистика вводилась лишь номинально. Основными причинами такого положения дел являлась нетрадиционность, новизна этого материала для самой математики, отсутствие прочных методических традиций преподавания его школьникам, неподготовленность части учителей к изложению материала в духе прикладной, а не чистой математики. Но самое главное - социально-экономическое состояние общества, при котором умение грамотно анализировать имеющуюся информацию, делать научно обоснованные прогнозы, предвидеть последствия принимаемых решений, - а все это призвана формировать вероятностно-статистическая линия курса математики, - долго оставалось невостребованным. В настоящее время принципиально изменилась ситуация в обществе, и это позволяет предположить, что формируемые вероятностным материалом умения и знания окажутся необходимыми широкому кругу людей и станут наравне с компьютерной грамотностью неотъемлемой составляющей общекультурной подготовки современного человека. В течение последних лет те или иные материалы по комбинаторике, теории вероятностей, статистике появились в учебниках математики, однако не во всех УМК они являются систематическими и формируют целостное представление. Учителя не всегда рассматривали этот материал, так как он не был включен в государственный стандарт и программы. Теперь это произошло. Включение элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в государственный стандарт общего образования требует более тщательного осмысления методики преподавания этих разделов математики. В лицее № 2 г. Рыбинска я работаю с 1994 года. Специфика лицея № 2 проявляется, в том числе и в организации, поиске, разработке и внедрении нового содержания обучения, форм и методов его реализации; в формировании у школьников потребностей к саморазвитию и самообучению, пробуждение в лицеистах активных исследовательских интересов, способствующих их творческой самореализации. (Приложение 5) На протяжении нескольких лет я веду спецкурсы по основам комбинаторики, теории вероятностей и статистики c 7 класса, а в 5-6 классах использую элементы комбинаторики и теории вероятностей, статистики на уроках математики. Шесть лет работала в физико-математических классах. Сейчас работаю в классах с углубленным изучением математики, руковожу исследовательской работой школьников по математике. Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей, статистики помогло учащимся осознать, что многие законы природы и общества имеют вероятностный характер, что много реальных явлений и процессов описываются вероятностными моделями. За это время возрос уровень познавательной активности учащихся; разнообразные по содержанию и по уровню сложности задания позволили выявить творческие возможности детей, нестандартность их мышления. В своей разработке я попыталась отразить решение проблемы введения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики в школьный курс математики. Цель работы: разработать методические материалы для работы учителя математики по проблеме введения элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школьный курс математики. Задачи, решаемые для достижения цели: -проанализировать способы введения элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики с учетом возрастных особенностей школьников; -разработать подходы и методическое обеспечение в работе учителя по данному направлению. 1. Анализ ситуации, постановка проблемы, цели, планируемые результаты при изучении элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики В настоящее время комбинаторика, теория вероятностей и статистика завоевали очень серьезное место в науке и прикладной деятельности. Идеи, методы и результаты теории вероятностей, статистики, комбинаторики не только используются, но буквально пронизывают все естественные и технические науки, экономику, планирование, организацию производства, связи, а также такие далекие, казалось бы, от математики науки, как лингвистику и археологию. (Приложение 1) Во многих зарубежных странах с элементами теории вероятностей и статистики учащиеся знакомятся уже с первых школьных лет и на протяжении всего обучения усваивают вероятностно-статистические подходы к анализу распространенных ситуаций, встречающихся в повседневной жизни. (Приложение 2) Развитое общество предъявляет к своим членам довольно высокие требования, относящиеся к умению анализировать случайные факторы, оценивать шансы, выдвигать гипотезы, прогнозировать развитие ситуации и, наконец, принимать решение в ситуациях, имеющих вероятностный характер, в ситуациях неопределенности. Были приняты принципиальные решения о включении элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школьное математическое образование. ( Приложение 3) 1.1. Анализ изложения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики в различных УМК Для введения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики в практику преподавания математики создаются реальные условия. Имеется учебно-методическое обеспечение, позволяющее включать элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в учебный процесс. Уже несколько лет в различных регионах России учащиеся основной школы работают по учебным комплектам «Математика 5-6» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7-9» под ред. Г.В. Дорофеева. В этих учебниках последовательно с 5 по 9 класс вводится вероятностно-статистическая линия. Перечисленные книги написаны живым языком с постоянной опорой на здравый смысл и на жизненный опыт учащихся. В 5 классе рассматриваются случайные, достоверные, невозможные события, а в 6-ом классе - эксперимент со случайными исходами, частота и вероятность события, школьники учатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит позднее. Для решения комбинаторных задач вводится дерево возможных вариантов, правило умножения (в 5-6 классах). В 5-6 классах начинается формирование умений работать с информацией, представленной в форме таблиц и диаграмм. В курсе 7-8 классов рассматриваются наиболее простые примеры дискретных пространств элементарных событий. В этих учебных комплектах принят статистический подход к понятию вероятности, который методически и психологически соответствует возрастным особенностям учеников основной школы. В основе статистического определения вероятности лежит закон больших чисел, который в курсе приводится, как факт, подтвержденный многочисленными опытами и наблюдениями. Важнейшей методической особенностью данных учебников является возможность реализации уровневой дифференциации, за счет широкого диапазона в уровне сложности задач, распределенных в группы А и Б, разнообразного материала, позволяющего выйти за рамки обязательного содержания. Методические особенности комплекта: мотивированное и доступное изложение материала, создание условий для формирования навыков исследовательской деятельности, для развития самостоятельности мышления. Элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей включены в учебники под ред. А.Г. Мордковича (Математика 5-6 класс), а к курсу алгебры для 7-9 классов подготовлен специальный вкладыш «События. Вероятность. Статистика» (авторы А.Г. Мордкович, П.В. Семенов). В первой части каждого параграфа на большом количестве конкретных примеров изложены начальные положения, идеи и методы комбинаторики (правило умножения, перестановки, размещения, сочетания), теории вероятностей (случайные события, классическое определение вероятности, вероятность суммы событий, схема Бернулли) и статистики (многоугольники распределения данных, кривая нормального распределения, числовые характеристики выборки). Теоремы и определения формулируются только после того, как из рассмотрения практических вопросов становится ясной необходимость их введения. Во второй части каждого параграфа собраны упражнения для классных, домашних, самостоятельных и контрольных работ. В «Учебниках-собеседниках» для 5-6 классов (авторы Л.Н. Шеврин и др.) стохастическая линия так же внедряется в учебный процесс. В начале 5-ого класса идет разговор о таблицах. В конце 5-го класса, где два последних параграфа посвящены достоверным, невозможным и случайным событиям, совместным и несовместным событиям, сравнению шансов наступления событий и первому знакомству с комбинаторными задачами, с деревом вариантов. Далее, в 6-м классе комбинаторные задачи включаются в систему упражнений по другим темам (например, при изучении числовых промежутков), вводится правило умножения, действия над событиями, осуществляется первое знакомство с понятием вероятности и с подсчетом вероятности, вводится вероятность суммы событий, вероятность произведения событий, понятие случайной величины и ее среднего значения. В учебниках «Математика 5», «Математика 6» (авторы: Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд) имеется достаточное количество прикладных и математических задач на составление комбинаций из нескольких элементов; числовых ребусов; задач на перебор элементов заданного множества, на выявление общего признака некоторого множества чисел, фигур. Однако, как в 5 классе, так и в 6 классе отсутствуют элементы теории вероятностей. Для преподавания вероятностно-статистической линии в 5 – 6 классах по учебникам этих авторов можно использовать рекомендации М.В. Ткачевой «Анализ данных в учебниках Н.Я. Виленкина и других». Авторы пособия «Элементы статистики и теории вероятностей» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк в 7-8 рассматривают статистические характеристики, статистические исследования. Параграф об элементах комбинаторики помещен в курс 9 класса и содержит гораздо больше и теоретических сведений (вводятся соединения), и практических упражнений, чем соответствующий материал по комбинаторике в УМК под ред. Г.В. Дорофеева. Сведения из теории вероятностей (вероятность события, сложение и умножение вероятностей) тоже рассматриваются в 9-ом классе. Пособие содержит большое количество хорошо подобранных упражнений разного уровня сложности. Учебники «Арифметика» для 5-6 классов и «Алгебра» для 7-9 классов С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина содержат элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей (рассмотрен минимальный круг вопросов). В 5-ом классе рассматриваются комбинаторные задачи на существование и построение комбинаций, удовлетворяющих заданному свойству, а в 6-ом классе - задачи на перебор всех возможных вариантов, вводится понятие вероятности события, начинается формирование умений работать с информацией, представленной в форме графиков и диаграмм. Вопросам комбинаторики, статистики и теории вероятностей в учебниках алгебры для учащихся 7 – 9 классов авторского коллектива Ш.А. Алимова и других уделено мало внимания. Чтобы школьники, обучаясь по этим учебникам, приобрели вероятностно-статистическую грамотность, было выпущено пособие для учащихся «Алгебра, 7-9: Элементы статистики и вероятность» (авторы М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова). Более широкий круг вопросов по комбинаторике и теории вероятностей рассмотрен в учебных пособиях для углубленного изучения математики (9, 11 кл.) под ред. Виленкина Н.Я. (основные понятия, законы и формулы комбинаторики, алгебра событий, вероятность события, вероятностное пространство, теоремы сложения, формула умножения вероятностей, формула Бернулли, закон больших чисел), но в них отсутствует раздел математической статистики. В учебном пособии «Вероятность и статистика. 5-9 кл.» (авторы Е.А.Бунимович, В.А.Булычев) система изложения близка к той, которая используется в учебниках под ред. Дорофеева. В книге содержится дополнительный теоретический материал и соответствующие ему блоки задач, которые могут оказаться полезными для проведения занятий в профильных классах, математических кружках, на факультативах. Отдельные главы пособия могут быть успешно использованы при изучении вероятностно-статистического материала и в 10-11 классах. Задачи поделены на две группы: первая группа - типовые задачи, необходимые для усвоения основных теоретических положений, вторая - более сложные задачи, в которых развиваются идеи и методы теоретической части. Предлагаемые в «Сборнике задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы» (авторы С.А. Шестаков, И.Р. Высоцкий, Л.И. Звавич) материалы могут быть использованы учителями общеобразовательных школ и математических классов для организации и проведения обобщающего повторения вне зависимости от учебников и сборников задач, по которым они работают. Такая универсальность базируется на выделении основных содержательных линий, соответствующих стандарту математического образования, и отнесении каждой задачи к одной из этих линий. Классификация задач из данного сборника, относящихся к вероятностно-статистической линии: статистическое определение вероятности, статистические характеристики, классическое определение вероятности, геометрическое определение вероятности, теорема сложения вероятностей, теорема умножения вероятностей, анализ табличных данных. |
Похожие:
 | Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений.... | | Т ехнология применения цифровых образовательных ресурсов в изучении... Технология применения цифровых образовательных ресурсов в изучении элементов комбинаторики |
| Практическая направленность при изучении основ статистики и элементов... Тема Дискретная случайная величина, способы ее задания. Числовые характеристики. Функция распределения и ее свойства. 19 |  | Рабочая программа По математике 11 класс «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,... |
| Пояснительная записка. Общая характеристика учебного предмета «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей вводятся в течение учебного года через примеры решения простейших... | | Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное... Целью изучения дисциплины является освоение базовых понятий, методов и принципов теории вероятностей и математической статистики |
| Основные понятия теории вероятностей. Задание: выберите правильный... Охватывают темы программы общей теории статистики по учебной дисциплине «Статистика» | | Отчет по результатам самоаттестации кафедры теории и методики обучения математике в школе Кафедра теории и методики обучения математике в школе математического факультета мгпу была открыта в 2002 году. Основной деятельностью... |
| Тесты по теории вероятностей. Уровень Условие Варианты ответов Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ | | Исследовательская работа тема: «Удача на егэ в формулах теории вероятностей» Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении | | Рабочая программа по алгебре Класс Рабочая программа учебного курса алгебры и теории вероятностей и статистики для 8а, 8б |
| Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистики.... Эвм). Устранимая и неустранимая погрешности. Абсолютная и относительная погрешности, математические операции над погрешностями (складывание,... | | Вопросы государственного экзамена по теории и методики обучения физике История становления и развития методики обучения физике. Связь теории и методики обучения физике с другими науками. Задачи теории... |
