Особенности методики изучения элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в средней школе
Скачать 1.47 Mb.
|
Обозначение числа сочетаний Скn (от фр. "combinaison" - сочетания)Решаем с учащимися следующую задачу. Сколькими способами можно составить наборы из 3 квадратов, взятых из 5 квадратов разного цвета?Обозначим: красный квадрат— к, зеленый— з, синий— с, т.д. Составим и запишем одну из возможных выборок: ксб. Если мы будем переставлять элементы в этой выборке, то получим 3!=6 вариантов выборок кбс, бкс, скб, ксб, скб, сбк. Все выборки из 5 по3 можно разбить на шесть классов, в каждом классе будет только одна интересующая нас выборка (т.к. порядок расположения элементов в наборе квадратов не важен). Количество всевозможных выборок (число размещений) 5·4·3=60 делим на 6, получаем 10 способов составления наборов из 3 квадратов, взятых из 5 квадратов разного цвета. Значит, формула для числа сочетаний легко получается из формулы для числа размещений. Действительно, если составить сначала все k-сочетания из n элементов, а потом переставить входящие в каждое сочетание элементы всеми возможными способами. При этом получатся все k-размещения из n элементов, причем каждое только по одному разу. Но из каждого k-сочетания можно сделать k! перестановок, а число этих сочетаний равно Скn. Значит, справедлива формула  . Из этой формулы находим, что , т.е. Скn·Рк=Акn. Значит,  . (3) Характерный пример сочетаний без повторений — всевозможные варианты состава делегации в количестве, например, трех человек от коллектива, в котором 15 человек. В результате обсуждения появляется схема (модель системы понятий, имеющая логическую структуру): Выборки объема к из совокупности п различных элементов е  сли одна от другой отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположенияРазмещения без повторений объема к из п данных элементов. Их число Акn=n! : (п — к)!   если одно от другого отличаются хотя бы одним элементом Сочетания без повторений объема k из данных n элементов. Их число Скn= n!:((п — к)!к!) если одно от другого отличаются только порядком расположения элементов Перестановки без повторений объема к. Их число. Рк = к! Представленные схемы появляются как продукт анализа, синтеза, обобщения материала. Последняя схема позволяет разом охватить все множество вводимых понятий и проследить отношения между ними. Психологами было показано, что отношения между объектами сохраняются в памяти учащихся значительно дольше. Если объекты расположены в строго продуманной системе, то их восприятие требует минимальных усилий. Этот способ позволяет по аналогичной схеме ввести понятия размещений, перестановок, сочетаний с повторениями. Приведенные здесь определения (через выборки) более удобны при решении задач, в которых приходится устанавливать, имеем ли мы дело с размещениями, сочетаниями или перестановками. Исаак Ньютон утверждал, что "при изучении наук примеры полезнее правил". Пример - это яркий образ, правило же - это сухая схема. Рассмотрим вывод свойств сочетаний посредством решения конкретных задач. Заметим, что выбор к участников олимпиады равносилен выбору п—к учеников, не участвующих в олимпиаде. Поэтому число способов, которым можно выбрать к человек из п, равно числу способов, которым можно выбрать п — к человек из п, то есть  .Предположим, что в классе учится п человек. Зафиксируем какого-нибудь ученика класса (обозначим его через А). Разобьем все возможные команды по к человек на две группы: те, в которые А входит, и те, в которые А не входит. Число команд в первой группе равно Ск-1п-1 - надо дополнить команду еще к—1 учениками, выбрав их из п-1 оставшихся. Число команд во второй группе равно Скп-1 - теперь из оставшихся п-1 учеников надо выбрать полную команду. Поэтому  .Приведенные задачи позволили без всяких вычислений доказать содержательные факты (свойства сочетаний). Подобное явление вообще характерно для комбинаторики. Часто несколько минут размышлений (проникновения в комбинаторный смысл задачи) могут избавить от громоздких вычислений. 2.1.5. Математическое моделирование – необходимый компонент обучения теории вероятностей Применение теории вероятностей к решению прикладных задач – одно из направлений формирования мировоззрения учащихся о месте и роли математики в общественной практике людей. Человечество познает окружающий мир через его моделирование. Задачей школьного образования является ознакомление учащихся с соотношениями между явлениями реального или проецируемого мира и его моделями, практическое обучение школьников построению моделей для встречающихся жизненных ситуаций. В ходе изучения учебного материала необходимо знакомить школьников с процессом построения модели, учить их анализировать, проверять адекватность построенной модели реальным ситуациям. Под моделью понимается некоторая реально существующая или мысленно представляемая система, которая, замещая и отображая в познавательных процессах другую систему — оригинал находится с ней в отношении сходства (подобия), благодаря чему изучение модели позволяет получить информацию об оригинале. Моделирование — это построение модели, воспроизводящей особенности структуры, поведения, а также свойства оригинала, и последующее ее экспериментальное или мысленное исследование. С логической точки зрения моделирование представляет собой способ расширения знания, перехода от знания одного объекта к познанию других объектов. Моделирование как метод познания включает в себя: 1) формализацию (переход от реальной ситуации к построению формальной модели); для построения модели учащиеся должны уметь выделить основные взаимосвязи между компонентами исследуемой проблемы, анализировать полноту имеющихся в условии данных; 2) исследование модели (экспериментальное или мысленное); учащиеся на этом этапе должны научиться выбирать рациональный метод решения; 3) анализ полученных результатов и их перенос на подлинный объект изучения. По сути дела, мы проходим через три названных выше этапа, решая прикладные задачи. Анализ моделей дает как бы образцы научной деятельности на уровне учебной деятельности, способствуя культурному и мировоззренческому пониманию сущности предмета. Большую роль в успешности работы по математическому моделированию играет выявление элементов математического моделирования (замена исходных терминов выбранными математическими эквивалентами; оценка полноты исходной информации и введение при необходимости недостающих числовых данных; выбор точности числовых значений, соответствующей смыслу задачи; выявление возможности получения данных для решения задачи на практике). Рассмотрим пример построения математической модели. Предположим, мы купили 8 шоколадок, а потом встретили двоих друзей и угостили каждого из них шоколадкой. Сколько шоколадок у нас еще осталось? Математический смысл задачи таков: «Чему равна разность 8-2?». Выполняем действие вычитание, получаем ответ. Таким образом, решая задачу про шоколадки, мы не стараемся вообразить сумку и представить себе, сколько там осталось шоколадок, а ищем математическое содержание задачи, подбираем для нее математическую модель и ее уже изучаем. Можно условно выделить следующие дидактические функции математического моделирования: 1. Познавательная функция. Методической целью этой функции является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постоянно при переходе от простого к сложному. Здесь мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному восприятию объекта. Заметим, что реализация познавательной функции не предопределяет процесса научного познания, ценность этой функции состоит в ознакомлении учащихся с наиболее кратчайшим и доступным способом осмысления изучаемого материала. 2. Функция управления деятельностью учащихся. Математическое моделирование предметно и потому облегчает ориентировочные, контрольные и коммуникационные действия. Ориентировочным действием может служить, например, построение чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, а также внесение в него дополнительных элементов, Контролирующие действия направлены на обнаружение ошибок при сравнении выполненного учащимися чертежа с помещенными в учебнике или на выяснение тех свойств, которые должны сохранить объект при тех или иных преобразованиях. Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащихся, которая соответствует исследованию полученных ими результатов. Выполняя эти действия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта. 3. Интерпретационная функция. Известно, что один и тот же объект можно выразить с помощью различных моделей. В одних случаях можно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других — геометрической моделью. Рассмотрение каждой из этих моделей является ее интерпретацией; чем значимей объект, тем желательней дать больше его интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон. Использование различных функций математической модели способствует наиболее плодотворному мышлению учащихся, т. к. его внимание легко и своевременно переключается с модели на полученную с ее помощью информацию об объекте и обратно. Все математические науки, в том числе и теория вероятностей, имеют дело лишь с математическими моделями, но не с реальной жизнью. Для решения жизненной задачи мы выбираем методы той математической дисциплины, которые к ней более подходят, чьи модели наиболее близки к существу задачи или просто удобнее. Сложной задаче из жизни может соответствовать сразу несколько разных по сложности моделей, в зависимости от того, как мы задачу понимаем и с какой точностью хотим решить. Рассмотрим пример. На карте изображена дорога между двумя городами, и мы хотим найти длину этого пути. Мы можем приставить линейку к началу и концу дороги и полученный результат принять за ответ (в этом случае в качестве модели дороги используется прямая линия). Более точно вычислить расстояние можно, разбив путь на достаточно мелкие участки и заменив каждый участок такой линией, длину которой мы умеем вычислять (частью окружности или прямой). Чтобы учащиеся лучше подружились с математикой и умело использовали ее, в учебниках многие математические задачи формулируются в виде некоторой реальной ситуации, т.е. суть изучаемых математических понятий передается и поясняется с помощью привычных вещей. Под решением задачи понимается правильное построение и изучение ее модели. В жизни мы сталкиваемся как с ситуациями, исход которых не вызывает сомнений. Например, мы не сомневаемся, что при отрицательной температуре вода превратится в лед. А так же встречаемся с ситуациями, когда невозможно предсказать, что получится. Например, какой стороной упадет бутерброд, выроненный из рук. Ситуации с непредсказуемыми (случайными) исходами широко распространены, и часто очень важно иметь как можно лучшее представление о них. Конечно, фактор случайности всегда останется неизбежным, но если всмотреться в суть нужных явлений, то во многих из них обнаружатся определенные закономерности, изучением которых можно заняться всерьез. Теория вероятностей - это область математики, в которой изучаются закономерности в случайных явлениях. Для формулировки задач в ней часто используются бросания монеты или игрального кубика, извлечение карт из колоды и т.п. Предметом теории вероятностей являются модели экспериментов со случайными исходами. При этом изучаются только такие эксперименты, которые можно в одних и тех же условиях повторять сколь угодно раз. В примерах таких экспериментов описания весьма точно соответствуют нужным моделям, и зачастую ответ, полученный математически можно проверить, проведя эксперименты (или опыты как их еще называют). Итак, чтобы решить задачу математически нужно правильно построить ее модель. Модель эксперимента со случайными исходами включает в себя перечисление всех возможных исходов. Мы должны перечислить все исключающие друг друга исходы такие, что результатом каждого эксперимента обязательно является один из них (элементарные исходы или элементарные события). Так, при построении математической модели эксперимента по бросанию игральной кости естественно учесть шесть исходов, при моделировании извлечения наудачу карты из хорошо перемешанной колоды в качестве элементарных можно рассматривать исходы, изображающие появление всех возможных карт (т.е. 32, 36 или 54 исхода в зависимости от набора колоды). Из элементарных событий можно составить уже все нужные нам случаи (события). Каждое из случайных событий есть «набор» некоторого числа элементарных событий. Например, «выпадет четное число очков» означает то же самое, что появится грань с одним из номеров {2,4,6}»; событие «выпадет число очков меньшее трех» равносильно тому, что «появится грань с одним из номеров {1,2}». Чем больше имеется элементарных исходов, тем больше событий можно рассмотреть. Наконец завершить создание вероятностной модели можно, определив способ задания вероятности для всех событий в ходе эксперимента, которые представляют для нас интерес. Обычно это наиболее трудная часть. 2.1.6. Природа понятия вероятности и методика его введения В наши дни человек постоянно сталкивается с вероятностной терминологией в политических и научных текстах, широко использует ее в повседневной речи. Она звучит в завтрашнем прогнозе погоды, когда речь заходит о вероятности дождя, в выступлении политика, когда он оценивает шансы или анализирует данные, в разговоре экономиста, организатора производства, ученого. Одним из важнейших компонентов вероятностно-статистического стиля мышления является понимание устойчивости в мире случайностей, упорядоченности случайных фактов. Нельзя допустить, чтобы стихийно воспринимаемые в жизни отдельные стороны случайных явлений учащиеся воспринимали вне всяких взаимосвязей. Самый простой и доступный путь состоит в формировании представлений о вероятности как о «теоретически ожидаемом» значении частоты при увеличении числа наблюдений. При этом понимание взаимоотношения между вероятностью и ее эмпирическим прообразом — частотой приводит к осознанию статистической устойчивости частоты. В то же время важную роль играет и понимание того, что количественная оценка возможности наступления некоторого события может быть осуществлена до проведения эксперимента, исходя из некоторых теоретических соображений. Таким образом мы приходим к вычислению вероятностей в классической схеме. Рассмотрим введение понятия вероятности поэтапно. I этап (5 - 6 классы) обучения охватывает два года жизни учащихся и является ключевым для их общеобразовательной подготовки. Выделение 5 - 6 классов в отдельную ступень продиктовано следующими основными причинами. Во-первых, возраст учащихся 11 - 12 лет - является важным моментом в интеллектуальном развитии личности, в становлении вероятностной интуиции и мышления. На этом этапе вероятностно-статистическое образование имеет ряд специфических черт и особенностей: появляется необходимость и возможность изучать данный материал не распределенно, а в качестве отдельной темы курса математики, значительно возрастает роль межпредметных связей с другими школьными предметами, другими темами курса. При этом на первый план выходят существенные различия между статистическими закономерностями, начинают формироваться представления об особенности прогнозов, о характерных особенностях случайных явлений и процессов. Во-вторых, на данном этапе в школе изучается единый курс математики, отличающийся от курса алгебры 7 - 9 класса. В 5-6 классах сначала в игровой ситуации целесообразно начинать учить детей различать такие понятия, как «возможно да» или «обязательно да» (наверняка), «необязательно да» или «обязательно нет». Таким образом, начинается формирование понятия случайного события. Следует подвести детей к пониманию таких понятий, как «вероятнее», «менее вероятно», «равновозможно». Другими словами, можно научить детей качественно оценивать шансы наступления случайного события. Пока учащиеся еще не владеют свободно дробями, целесообразно сравнивать шансы наступления разных событий, пользуясь интуицией, предыдущим опытом. Здесь можно постепенно вырабатывать понимание того, что вероятность события можно измерять так же, как длину, массу, время и другие величины. Фактически в примерах, используемых для формирования этих понятий, речь идет о применении классической вероятности. Но прийти к сознательному применению формулы классической вероятности школьники смогут после экспериментирования с шарами, монетами, игральными костями и т.п. Спустя некоторое время учащиеся смогут решать подобные задачи, не прибегая к эксперименту. Все вводимые понятия базируются на интуиции, опыте, индуктивных и дедуктивных навыках мышления, которыми владеют учащиеся 5-6 классов. Учащиеся добывают знания через исследование поставленных проблем. Понятие вероятности вводится на данном этапе на эмпирическом уровне через целенаправленное накопление эмпирического материала, описание эмпирического материала на языке математики. Одним из вопросов, из которого родилась теория вероятностей, был вопрос о том, как часто наступает то или иное случайное событие в длинной серии опытов, происходящих в одинаковых условиях.
В  водим понятия абсолютной и относительной частоты события. Повторим эксперимент n раз. Пусть m — число тех опытов, в которых наступило событие А. Число m – абсолютная частота. Отношение m/n называется относительной частотой события А в данной серии опытов. В последнем столбце таблицы производилась регистрация относительных частот. Из таблицы можно увидеть свойства частот: сумма абсолютных частот равна числу опытов, относительная частота события – величина неотрицательная, сумма относительных частот равна 1.Удобным наглядным способом представления относительных частот служат гистограммы. Однако, несмотря на случайность исхода этого опыта, при многократном его повторении можно наблюдать интересную закономерность. Продолжаем серии опытов с монетой. Практика показывает, что детям очень важно ощутить свою личную значимость в процессе поиска истин, решения проблем. Они с удовольствием выполняют исследовательские и творческие задачи.
Данные серии опытов регистрируются в следующей таблице. Таблица показывает, что относительная частота появления герба от серии к серии случайным образом колеблется около одного и того же числа.  Далее переходим к сериям с возрастающим числом испытаний. Для этого используем предыдущую таблицу, и будем рассматривать новые серии испытаний, которые получаются при объединении двух серий, трех, четырех и т.д. По данным новой таблицы составляется график зависимости какой-нибудь из относительных частот от числа экспериментов. Значит, относительная частота события обладает свойством устойчивости: с ростом числа опытов она имеет тенденцию стабилизироваться вблизи числа. Устойчивость относительной частоты массовых случайных событий является объективным свойством реального мира, который убедительно подтверждается практикой. Первые представления о статистической устойчивости возникли из наблюдений над демографическими явлениями. Относительная частота повторения случайного события служит прообразом понятия вероятности. Эта взаимосвязь лежит в основе статистического определения вероятности, которое целесообразно дать учащимся на данном этапе обучения на описательном языке. Вероятностью массового случайного события А называют такое число P, что частота события A почти для каждой большой группы испытаний лишь незначительно отклоняется от P. Достоинства этого определения: понятие вероятности имеет корни в реальной действительности; является простым, естественным и доступным, хотя в ущерб формальной строгости. Недостатками данного определения является его "расплывчатость", которая выражается словами "почти", "большая группа", "незначительно отклоняется". Поэтому определение нельзя признать математическим. II этап. В 7-9 классах происходит постепенное усиление уровня строгости в изложении материала. Сначала можно рассмотреть классическую схему, то есть опыты с конечным числом равновозможных исходов. Равновозможные элементарные события - такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не обладает никаким преимуществом появляться чаще другого при многократных испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.. Выпадения герба и цифры на симметричной монете представляются равновозможными, грани правильной игральной кости одна по отношению к другой также не имеют преимуществ. В  ероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий определяемых данным испытанием. Это — классическое определение вероятности случайного события. Полезно формуле Р(А)= т/п (m - число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию A, п - число всех равновозможных элементарных событий определяемых данным испытанием) придать наглядную иллюстрацию. Э  то определение представляет собой более высокую ступень математической формализации случайного явления, чем статистическое определение. Оно свободно от расплывчатых выражений, применяемых в статистическом определении. Однако оно носит ограниченный характер, связанный с концепцией равновозможности. Классическая вероятностная модель пригодна для опытов с конечным числом равновозможных исходов. Для вычисления вероятности события в классической модели применяются комбинаторные схемы.Определим вероятность того, что выпадет нечетное число очков при бросании правильной игральной кости. Количество равновзможных элементарных исходов в условиях данного эксперимента - 6 (на кости могут выпасть следующие количества очков: 1,2,3,4,5,6), из них три исхода благоприятствуют нашему событию. М  ожно представить множество элементарных исходов в виде прямоугольника, разделенного на равные квадраты, каждый из которых представляет некоторое элементарное событие. Выделим искомое случайное событие (подмножество, состоящее из 3 таких квадратов).
 Значит, вероятность события равна 3/6=1/2. Рисуем дерево возможных исходов, рядом с каждым его ребром записываем вероятность элементарного события. Дерево становится вероятностным. Находим искомую вероятность 1/6+1/6+1/6=3/6. В некоторых случаях умение интерпретировать наблюдаемое событие с помощью графов является самым простым подходом к вычислению вероятности этого события. Наглядность при решении вероятностных задач способствует повышению интереса учащихся к поиску закономерностей в случайных явлениях. Классическое определение можно рассматривать как "мостик" от эмпирических основ теории вероятностей к современной теории, которая строится на базе теоретико-множественных представлений. Действительно, с одной стороны, оно допускает наглядную частотную интерпретацию. В результате проведения с учащимися лабораторных работ (например, кладем в коробку разноцветные кружки одинакового радиуса, вырезанные из одинаковой по структуре бумаги, тщательно перемешиваем их, не глядя, извлекаем один или несколько кружков) появляется возможность сравнения частоты наступления событий и его вероятности, вычисленной на основе классического определения. Подобные занятия имеют большое воспитательное значение, показывая, что в задаче, где господствует случай, имеются свои закономерности. С другой стороны, классическое определение вероятности может служить преддверием более общего аксиоматического определения. Равновозможные случаи, которые используются в выше названном определении, по существу представляют собой элементарные события из конечного пространства элементарных событий, в котором специальным образом задана вероятность. При классическом подходе определение понятия вероятности сводится к более простому понятию — равновозможности элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равновозможность. Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра. Каким путем следует подойти к понятию, например, вероятности выпадения шестерки при бросании такой кости? Пусть т1/п, т2/(п+1),…, тN/N — относительные частоты наступления события А в некоторой серии испытаний, каждое из которых проводится в одинаковых условиях (например, подбрасывается одна и та же игральная кость с одинаковой высоты). Вероятностью события А называется то неизвестное число Р, около которого сосредоточиваются значения относительных частот наступления события А при возрастании числа испытаний. Это — статистическое определение вероятности случайного события. Вероятность события можно приближенно определить принципиально со сколько угодной высокой точностью, осуществив достаточно большое число испытаний и подсчитав частоту наступления события в этой совокупности испытаний. Пусть стрелок производит выстрел по мишени. Как оценить вероятность попадания? Если события «попадание» и «промах» равновозможны, то ответ получаем сразу: Р («попадание»)=1/2. Но они могут быть неравновозможны. Скажем, первый мальчик постоянно посещает тренировки по стрельбе и каждый раз из сотни выстрелов попадает в мишень 80—90 раз, а второй на стрельбище бывает редко, поэтому из сотни выстрелов попадает только 30—40 раз. Ясно, что у первого возможность попадания больше, чем у второго. Как оценить эти разные возможности? Из практики, так, как определяется число появлений герба при подбрасывании монеты.
 з таблицы видно, что как у первого мальчика, так и у второго отношение числа попаданий к числу произведенных выстрелов меняется. Эти отношения в какой-то мере зависят от числа произведенных выстрелов. Но вместе с тем заметно, что упомянутое отношение для каждого стрелка колеблется около определенного числа: у первого - около 4/5, у второго - около 3/10. Эти числа логично принять за оценку вероятности попадания. Эта оценка тем более надежна, чем больше проведено опытов с целью установления ее значения. Можно на конкретном примере показать, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий и подпространство, представляющее событие А, были бы одинакового вида и одинаковых измерений. С этой целью можно рассмотреть такой пример. С какой вероятностью стрелка вертушки, изображенной на рисунке (круг разделен на 8 равных частей), остановится на черном секторе? Для ответа на этот вопрос можно: вычислить площадь черных секторов и разделить ее на площадь всего круга, или найти суммарную длину дуг, ограничивающих черные секторы, и поделить ее на длину всей окружности. Способ 2 лучше отражает суть нашего эксперимента, ведь фактически мы выбираем точку на окружности, в которой остановится острие стрелки. Отсюда искомая вероятность будет Р=(2·π/4·R)/(2πR)=1/4. Заметим, что тот же результат можно было получить и без привлечения геометрической вероятности, ведь вертушка поделена на 8 равных ( значит равновозможных) секторов, из которых 2 выкрашены в черный цвет. Отсюда Р=2/8=1/4. Теперь рассмотрим пример, в котором геометрическое определение вероятности дает единственно возможный способ решения. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?  Изобразим квадрат со стороной 4 см и закрасим в нем множество точек, удаленных от ближайшей стороны квадрата меньше, чем на 1 см. Площадь закрашенной части квадрата составляет 16 см2 — 4 см2 = 12 см2. Отсюда искомая вероятность будет равна Р=12/16=3/4. Геометрический подход к определению вероятности может применяться и тогда, когда задача не имеет геометрической природы. Рассмотрим такой пример. Поезда метро ходят с интервалом ровно 3 минуты. Какова вероятность того, что пассажир, пришедший на станцию в случайный момент времени, будет ждать поезда больше, чем 1 минуту? П  ассажиры, конечно же, не знают расписания поездов, и подходят на платформу в моменты времени, никак не связанные с движением поездов. Изобразим моменты прихода поездов на станцию точками на числовой оси Т1, Т2, ..., Тк, .... Эти точки отстоят одна от другой на 3 минуты. Момент прихода пассажира на станцию изобразим точкой Р на этой же оси. Легко заметить, что если расстояние от точки Р до первой, следующей за ней точкой Тк больше 1, то и ждать придется больше, чем 1 минуту (в остальных случаях ожидание не затянется больше, чем на минуту). Пассажир Р1 уедет на своем поезде меньше, чем через минуту, а Р2 придется ждать больше 1 минуты. Поскольку момент появления пассажира на станции не связан с расписанием поездов, можно считать, что все моменты времени в промежутке между двумя поездами для него равноправны, то есть имеем право применять геометрические вероятности. Так как все отрезки [Тк-1; Тк] имеют одинаковую длину, а точка Р обязательно попадет на один из них, достаточно рассмотреть именно этот отрезок. С интересующим нас событием (ожидание больше 1 минуты) связан отрезок длины 2, а весь отрезок [Тк-1; Тк] имеет длину 3, следовательно, вероятность интересующего нас события равна отношению 2/3. Учащиеся отлично знают, что плоская фигура имеет площадь. Они знают, что площадь, например, прямоугольника можно измерить физически, накладывая на него квадратик, принятый за единицу площади. Эту же площадь можно вычислить, предварительно определив длины сторон прямоугольника и затем перемножив их. Но при этом никому не приходит в голову говорить о разных площадях — измеренной и вычисленной. Есть одно понятие «площадь» и есть разные способы его определения. При этом слово «определение» следует понимать как нахождение величины, а не как раскрытие сущности понятия. Аналогично можно подходить и к введению понятия вероятности. Разные случайные события происходят с разной относительной частотой: одни чаще, другие реже. Те события, которые происходят чаще, имеют большую возможность появления, а те, которые реже — меньшую. Иначе говоря, подобно тому, как каждая плоская фигура имеет свою меру пространственной протяженности — площадь, так и каждое случайное событие имеет свою меру возможности появления — вероятность. Как и площадь, эта мера может быть выражена числом. Находить это число, т.е. значение вероятности, можно в разных случаях по-разному. Можно проводить реальный эксперимент и считать число появлений события - это будет статистический подход к определению (нахождению значения) вероятности. В частном случае, когда количество элементарных исходов конечно и все эти исходы равновозможны, можно поступить иначе: подсчитать общее число возможных исходов и число исходов, благоприятных для рассматриваемого события, а затем разделить второе число на первое — это будет классический подход к определению вероятности. Итак, понятие вероятности одно, а способы нахождения значения вероятности разные. Используются четыре подхода к формированию понятия вероятности: статистический, классический, геометрический и аксиоматический. При том или ином подходе к понятию вероятности вырисовывается единое ядро: вероятность — это специальная мера. III этап (10 - 11 классы). Основным средством дифференциации обучения на старшей ступени является создание профильных классов и школ, которые могут иметь самые разнообразные цели математического образования. Однако, можно выделить некий "минимальный" уровень, то есть уровень обязательной подготовки, который бы обеспечил каждому выпускнику школы необходимый для полноценного функционирования в современном обществе уровень знаний. Общий для всех профилей уровень обязательной подготовки предполагает, что учащийся овладевает теми умениями и навыками, которые необходимы ему как специалисту, профессиональные интересы которого не связаны с математикой, как современному человеку для ориентации в повседневной жизни. Возможный уровень подготовки не является максимальным для всех профилей, он ориентирован на формирование общекультурных представлений и развитие навыков прикладного характера, позволяющих использовать вероятностно-статистические идеи и методы для решения задач, связанных с различными отраслями знаний, организацией производства и повседневными нуждами людей. Этот уровень характеризует возможную вероятностно-статистическую подготовку выпускника большинства профилей, однако в отдельных профилях (математическом, физическом и т.д.) может быть дополнен рядом требований, связанных с более высоким уровнем конкретных знаний. В общеобразовательной школе, в гуманитарных классах, в классах технического, естественнонаучного, экономического профилей целесообразно строить изложение материала на статистическом определении вероятности. Этот подход экономней по времени, более доступный для учащихся в сравнении с другими благодаря тому, что в значительной мере опирается на их личный опыт, интуицию, здравый смысл. Что касается классов математического профиля, то там наиболее приемлемым является аксиоматический подход. Он отличается большей, по сравнению с другими подходами, строгостью, позволяет строить вероятностные модели случайных экспериментов Завершающим этапом введения понятия вероятности является аксиоматическое определение вероятности и обсуждение соотношения между теорией вероятностей и реальной действительностью. Все частные определения вероятности события имеют как достоинства, так и недостатки. Недостатки классического определения вероятности: с экспериментом связана конечная система элементарных исходов, которые должны быть равновозможными. Достоинства: позволяет точно определить вероятность в рамках математической модели, не обращаясь к опыту. Недостатки статистического определения вероятности: проведение экспериментов, сбор и обработка статистических данных; при малом количестве опытов полученная частота дает искаженное, иногда и просто ошибочное представление о вероятности; какой бы длинной ни была серия экспериментов, частота все равно будет колебаться, нет уверенности, что в дальнейшем частота не выскочит за пределы найденного интервала. Недостатки геометрического определения вероятности: пространство  содержит настолько большое количество исходов, что их нельзя даже перенумеровать; вероятность каждого отдельного исхода приходится считать равной нулю, а вероятность случайного события вычислять как отношение длин (площадей, объемов). Достоинства: позволяет точно определить вероятность в рамках математической модели, не обращаясь к опыту. Общепринятое в настоящее время аксиоматическое определение вероятности было предложено А.Н. Колмогоровым в 1983 году. Для школьников применяется аксиоматическое определение вероятности, основанное на рассмотрении конечного пространства элементарных событий. Пусть - конечное множество всех возможных результатов испытания. Каждому элементарному исходу испытания  i ставится в соответствие неотрицательное число рi=р(i), называемое вероятностью элементарного исхода, причем сумма этих чисел равна 1. (Вероятностное пространство: (1, 2,…, п, р1,…,рп).) Вероятностью P(A) любого события A называется сумма вероятностей элементарных событий, входящих в событие A. P(A)=0, если А - невозможное событие, P(A)=1, если А- достоверное событие, P(A)= р( 1)+…+р (К), если А={1, 2,…, к}.Ценность аксиоматического подхода к понятию вероятности определяется возможностью продемонстрировать процесс применения вероятностных знаний для решения внематематических проблем. Решение внематематической задачи начинается с перевода проблемы на язык математики и с построения вероятностной модели. |
1Похожие:
 | Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений.... | | Т ехнология применения цифровых образовательных ресурсов в изучении... Технология применения цифровых образовательных ресурсов в изучении элементов комбинаторики |
| Практическая направленность при изучении основ статистики и элементов... Тема Дискретная случайная величина, способы ее задания. Числовые характеристики. Функция распределения и ее свойства. 19 |  | Рабочая программа По математике 11 класс «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,... |
| Пояснительная записка. Общая характеристика учебного предмета «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей вводятся в течение учебного года через примеры решения простейших... | | Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное... Целью изучения дисциплины является освоение базовых понятий, методов и принципов теории вероятностей и математической статистики |
| Основные понятия теории вероятностей. Задание: выберите правильный... Охватывают темы программы общей теории статистики по учебной дисциплине «Статистика» | | Отчет по результатам самоаттестации кафедры теории и методики обучения математике в школе Кафедра теории и методики обучения математике в школе математического факультета мгпу была открыта в 2002 году. Основной деятельностью... |
| Тесты по теории вероятностей. Уровень Условие Варианты ответов Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ | | Исследовательская работа тема: «Удача на егэ в формулах теории вероятностей» Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении | | Рабочая программа по алгебре Класс Рабочая программа учебного курса алгебры и теории вероятностей и статистики для 8а, 8б |
| Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистики.... Эвм). Устранимая и неустранимая погрешности. Абсолютная и относительная погрешности, математические операции над погрешностями (складывание,... | | Вопросы государственного экзамена по теории и методики обучения физике История становления и развития методики обучения физике. Связь теории и методики обучения физике с другими науками. Задачи теории... |
