Дискретные и цифровые системы управления
Линейной системой импульсного регулирования называется такая система автоматического регулирования, которая кроме звеньев, описываемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, содержит импульсное звено, преобразующее непрерывное входное воздействие в равноотстоящие друг от друга импульсы. Рассмотрим принцип работы дискретных систем управления, которые наряду с цифровыми относятся к импульсным системам. Будем считать [5], что квантование сигналов х(t) по времени осуществляется с постоянным интервалом (периодом) Т, и сигналы дискретной системы x(kT) представлены последовательностями идеальных импульсов различной амплитуды, определенных в равноотстоящие моменты времени t = kT. Целое число
k = 0,1,2,… называется дискретным временем, а сами амплитудно - модулированные импульсные последовательности - решетчатыми функциями. С целью упрощения обозначений дискретные сигналы рассматриваемого типа часто записываются просто как функции дискретного времени x(k), т.е.
 .
Описание дискретного процесса может быть представлено как решение разностного уравнения. Наиболее распространены разностные уравнения
n – го порядка (модели вход – выход) и системы уравнений первого порядка
(модели вход – состояние - выход), а также их операторные формы. Дискретные модели либо отражают динамику реальных квантованных по времени процессов, либо являются одной из форм приближенного описания систем непрерывного действия. В последнем случае возникает необходимость рассмотрения вопросов квантования и методов преобразования динамических систем к дискретной форме, т.е. их дискретизации.
Модели дискретных процессов
Разностные уравнения, описывающие динамику систем дискретного времени получаются в результате анализа реальных процессов в различные моменты дискретного времени k.
Пример 5.1. Рассмотрим цифровой накопитель (счетчик), содержимое которого в дискретные моменты времени k описывается функцией 
с начальным значением  . В момент k на вход счетчика поступает сигнал  , в результате чего в последующий момент дискретного времени k + 1 происходит увеличение содержимого счетчика на величину этого сигнала:
 (5.1)
Последнее выражение и является моделью счетчика, представленной в форме разностного уравнения первого порядка. Уравнение (5.1) можно записать в операторной форме. Введем в рассмотрение оператор сдвига (упреждения) z, действующий по схеме
и после элементарных преобразований получим
 (5.2)
Оператор 1/(z - 1) является передаточной функцией дискретной системы (5.1).
Пример 5.2. Проанализируем прохождение однородных предметов (товаров) в торговой системе склад – магазин, функциональная схема которой представлена на рисунке
Рис. 5.1. Система склад – магазин
Здесь - число товаров в магазине, - товары, поступающие со склада,  - заказанное количество товаров (заказ),  - число реализованных (проданых) товаров, k – дискретное время в днях. Начальное состояние системы (в момент k =0) характеризуется значениями  и  .
Динамика товаров в магазине описывается разностным уравнением
 (5.3)
в котором число проданных единиц товара f(t) выступает в роли возмущающего воздействия. Полагая, что заявка выполняется складом с задержкой в один день, запишем модель склада в виде
 (5.4)
где заявка u(k) на требуемое количество товара играет роль управляющего воздействия. Если задача управления ставится как задача регулирования объема товаров в магазине, то переменная  считается выходом системы:
 . (5.5)
Таким образом, рассматриваемая система описывается уравнениями состояния (5.3) – (5.4) и уравнением выхода (5.5). Разностные уравнения состояния связывают значения переменных состояния и  в последующий момент дискретного времени k + 1 (следующий день) с переменными системы в текущий момент времени k. С использованием оператора сдвига z полученые разностные уравнения (5.3) – (5.4) можно привести к операторной форме:
удобной для построения структурной схемы
Рис. 5.2. Структурная схема склад – магазин
Модель дискретной системы может быть также представлена в форме вход – выход. Для этого уравнение (5.3) переписывается для времени k + 2:
После подстановки выражений (5.4) и (5.5), находим
Полученное разностное уравнение второго порядка связывает объемы товаров в моменты дискретного времени k+2 и k+1 с соответствующими значениями заказа u(k) и продаж f(k+1).
Для решения задачи стабилизации количества товаров в магазине y на заданном уровне  может быть использована простейшая стратегия управления заказами – пропорциональный алгоритм управления
где  - отклонение, К – постоянный коэффициент. Графики процессов в такой системе при постоянном спросе f(k) = const приведены на рисунках и представлены решетчатыми функциями: 
Рис. 5. 3. Процессы системы склад – магазин
Квантование непрерывных сигналов и теорема прерывания
Процедура преобразования сигнала непрерывного времени x(t) к дискретному (квантованному по времени) виду называется квантованием (рис. 5.4). Такая процедура отражает как реальные процессы, происходящие в цифровых системах управления, так и математические операции, использующиеся в различных сферах теории информации.
Рис. 5.4. Квантование непрерывного сигнала
В результате квантования получается импульсная последовательность
x(kT) (решетчатая функция), которая при t = kT совпадает с исходным сигналом:
 ,
а в другие моменты времени она не определена. Потеря информации при квантовании зависит от величины интервала квантования Т или частоты квантования
 .
Выбор интервала Т обычно осуществляется из соображений теоретической
возможности восстановления исходного сигнала по полученой в результате квантования импульсной последовательности (дискретной выборке), что отражает содержание известной теоремы прерывания (теоремы Котельникова – Шеннона).
Рассмотрим задачу нахождения сигнала x(t) по известной решетчатой функции x(kT), полагая, что спектр сигнала x(t) ограничен частотой  .
Тогда в соответствии с теоремой прерывания, точное восстановление функции x(t) теоретически возможно при условии, что частота квантования
 более чем в 2 раза превосходит наибольшую частоту :
 ,
а для интервала квантования выполняется
 .
Приведенный результат широко используется в задачах идентификации динамических систем и дискретизации непрерывных моделей.
Использование z - преобразования
Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа, определяемое формулой [3]
 , (5.6)
где  ,  - абсцисса абсолютной сходимости. Если  , то ряд, определяемый формулой (5.6) сходится и решетчатой функции соответствует некоторое изображение, являющееся функцией величины  .
Для исследования импульсных систем большое распространение получило так называемое z - преобразование, которое связано с дискретным преобразованием Лапласа и вытекает из него.
Под z – преобразованием понимается изображение решетчатой функции, определяемое формулой
 . (5.7)
Здесь введено обозначение  . Откуда следует, что z – преобразование
практически совпадает с дискретным преобразование Лапласа и отличается только обозначением аргумента изображения. Из основного выражения следует:
Рассмотрим разностное уравнение вида
 .
Если ввести предположение, что решетчатая функция y[n] тождественно равна нулю при n < 0 и, кроме того, функция f[n] прикладывается в момент времени n = 0, то переход к z - изображению дает
Изображение искомой решетчатой функции можно представить в виде
Здесь введена дискретная передаточная функция W(z), которая, как и в случае непрерывных функций, есть отношение двух изображений (выходной и входной величин) при нулевых начальных условиях. Дискретная передаточная функция играет такую же роль в дискретных и цифровых системах, как и обычная передаточная функция в непрерывных системах.
Устойчивость и качество дискретных систем
В линейных системах автоматического регулирования устойчивость будет иметь место, если все полюсы передаточной функции замкнутой системы, т.е. корни характеристического уравнения, лежат в левой полуплоскости области s. Границей устойчивости является мнимая ось. Для построения области устойчивости в плоскости комплексной величины z отобразим мнимую ось плоскости s на плоскость z. Для этой цели необходимо сделать подстановку  и менять затем частоту  в пределах от  до  . Таким образом, получаем  . При изменении частот в указанных пределах на плоскости z получится окружность единичного радиуса, представляющая собой область устойчивости. Условием устойчивости будет расположение особых точек (полюсов) передаточной функции замкнутой системы Ф(z), внутри этой окружности. Корни характеристического уравнения должны быть ограничены по модулю: 
Отметим очень важное требование. Передаточная функция устойчивой стационарной дискретной линейной системы должна быть конечна всюду вне единичного круга плоскости комплексного переменного z с центром в начале координат.
Оценка качества дискретной системы регулирования может делаться построением кривой переходного процесса, что при использовании z – преобразования осуществляется сравнительно легко, а также посредством
различных критериев качества. Наиболее простым является использование показателя колебательности, который может характеризовать запас устойчивости системы. Как и в случае непрерывных систем, получение заданного показателя сводится к требованию, чтобы амплитудно – фазовая характеристика системы не заходила в запретную зону, окружающую точку
(-1, j0). Точность импульсной системы может оцениваться по коэффициентам ошибок. Аналогично непрерывным системам, начиная с некоторого момента времени ошибку дискретной системы регулирования можно представить в виде ряда
где y - выходной сигнал, g – входной сигнал,  - коэффициенты ошибок, которые представляют собой коэффициенты разложения передаточной функции  по ошибке в ряд Маклорена по степеням s:
 .
Величины, обратные коэффициентам могут называться соответствующими добротностями. Например, добротность по скорости
добротность по ускорению
и т.д.
Пример 5.3. Вычислим коэффициент добротности по скорости для системы с передаточной функцией разомкнутой цепи
 ,
где  .
Решение. Найдем передаточную функцию по ошибке:
 .
Подстановка в это выражение z = 1 дает коэффициент  Для получения
коэффициента  находим первую производную:
Подстановка z = 1 дает коэффициент
 ,
а также добротность по скорости
 .
Цифровые системы управления
В настоящее время широкое применение находят цифровые системы управления. Использование в этих системах цифровых вычислительных устройств обеспечивает реализацию достаточно сложных алгоритмов (законов) управления, а также высокую точность вычислений [7]. Цифровые САУ относятся к классу дискретных систем, в которых квантование сигнала осуществляется одновременно по времени и по уровню. При синтезе цифровых САУ можно использовать либо цифровую вычислительную машину, либо отдельные цифровые устройства в виде сумматоров, интеграторов и т.д. Использование цифровых устройств позволяет упростить САУ путем применения простых и надежных модулей. Введение в контур управления ЭВМ требует наличия в САУ вспомогательных элементов, осуществляющих преобразование непрерывных процессов в дискретные и обратно. Но это окупается возможностью реализации практически любого алгоритма управления. В зависимости от способа включения ЭВМ цифровые САУ могут быть трех типов:
- с ЭВМ, включенной вне замкнутого контура управления; в этом случае ЭВМ служит для формирования на основании наблюдаемого процесса y(t)
оптимального задающего воздействия на входе управляемой системы (УС):
- с ЭВМ в замкнутом контуре управления; при этом улучшения динамических свойств САУ достигают благодаря возможности формирования практически любого алгоритма управления и изменения его в процессе работы; точность такой САУ ограничивается непрерывным сравнивающим устройством, включенным в цепь управления до ЭВМ:
- с ЭВМ, в которой происходит сравнение задающего воздействия g(t) с выходным сигналом y(t). Такая САУ обладает всеми качествами предыдущей системы и к тому же является более точной за счет увеличения разрешающей способности цифрового сравнивающего устройства. С точки зрения структуры она охватывает обе предыдущие системы:
Выбор конкретного типа ЭВМ определяется в первую очередь теми функциями, которые САУ следует выполнять. Это может быть обработка поступающей информации, которая требует вычислительных или логических операций, улучшение динамических свойств системы, операции оптимизации по некоторым статическим или динамическим параметрам, операции контроля и т.д.
Теоретической базой для аналитических исследований цифровых САУ
может служить теория дискретныз систем. Сложность при этом состоит в обеспечении одновременного квантования сигнала и по времени и по уровню. Воспользуемся методами расчета, которые основаны на рассмотрении линеаризованных импульсных систем с учетом влияния оказываемого квантованием по уровню. Идеальный импульсный элемент преобразует непрерывный сигнал в мгновенные импульсы в виде  - функций, а экстрополятор формирует импульсы заданной формы из - импульсов. В простейшем случае импульсное звено можно выполнить в виде ключа, который замыкается с периодом Т. Если время замыкания ключа мало по сравнению с Т и постоянными времени непрерывной части системы, а сигнал на входе ключа е = const в замкнутом состоянии, то последовательность модулированных импульсов на входе ключа можно заменить последовательностью - функций:
Значение каждой - функции пропорционально величине сигнала на входе ключа в момент его замыкания. На выходе импульсного элемента получают сигнал
Сигналы в импульсных системах обычно представляются дискретными (решетчатыми) функциями. При исследовании динамических свойств САУ в первую очередь необходимо определить ее передаточные функции. Рассмотрим сначала передаточные функции импульсных систем. Передаточная функция разомкнутой импульсной системы – это отношение изображений (в соответствии с дискретным преобразованием Лапласа) выходного сигнала к входному сигналу при нулевых начальных условиях, т.е.
Аналогично определяется эта передаточная функция в соответствии с z – преобразованием:
Для определения передаточной функции W(z) по известной передаточной функции приведенной непрерывной части САУ W(s) необходимо сначала с помощью обратного преобразования Лапласа найти весовую функцию непрерывной части системы
Затем по этой функции определить соответствующую ей дискретную весовую функцию  , по которой, используя z – преобразование, найти искомую передаточную функцию:
 .
Передаточная функция вычислительной машины – это отношение изображений выходного сигнала к входному, которые взяты в безразмерной (цифровой) форме:
 ,
где  и  есть z - изображения решетчатых функций  и  . Переходя от изображений к оригиналам, из последнего выражения можно получить разностное уравнение вычислительной машины:
которое соответствует линейному алгоритму ее работы. Из уравнения следует, что настоящее значение выходного сигнала определяется предыдущими его значениями и настоящими и предыдущими значениями входного сигнала. При синтезе и анализе цифровых САУ применяются частотные передаточные функции и частотные характеристики. Анализ качества цифровых САУ выполняется аналогично анализу качества дискретных САУ.
|
