Построение частотных характеристик
Для произвольных линейных систем применение частотных характеристик обязательно включает операцию перехода к преобразованию Лапласа. Запишем формулу передаточной функции:
Если от аргумента s = + j перейти к аргументу s = j, положив = 0, то будем иметь дело с моделью в виде частотной передаточной функции:
  
Q1 = ao - a2 2 + a4 4 - ... Q2 = a1 - a3 3 + a5 5 - ...
P1 = bo - b2 2 + b4 4 - ... P2 = b1 - b3 3 + b5 5 - ...
 
Меняя частоту от 0 до  можно строить частотные характеристики, по виду которых анализируется качество работы схемы. Итак, в общем виде
амплитудно - фазовая характеристика имеет вид:
Отметим, что динамика стационарных линейных систем в плане анализа устойчивости и быстродействия полностью может быть исследована с помощью частотных характеристик. Однако, применение частотных характеристик для произвольных линейных систем не всегда рационально. Такой выбор должен быть обоснован.
Методы анализа качества систем управления
Понятие устойчивости систем управления
Комплекс требований, определяющих поведение САУ, объединяется понятием качества процесса управления (качества системы управления). Главным требованием, предъявляемым к качеству работы систем управления, является требование устойчивости. Рассмотрим основные положения теории устойчивости.
Если под действием возмущения система управления отклонилась от состояния равновесия или заданного закона движения, а после прекращения действия возмущения снова вернулась к исходному состоянию, то такое движение является устойчивым, сходящимся к исходному. Если по окончанию воздействия, как бы мало оно не было, управляемая координата продолжает изменяться, или, если по окончании воздейсвия устанавливается новое состояние равновесия, отличное от первоначального, зависящее от произведенного воздейсвия, то объект является неустойчивым. Объект, способный после кратковременного внешнего воздействя с течением времени возвратиться к исходному состоянию или близкому к нему является ассимптотически устойчивым.
Рассмотрим определение устойчивости по Ляпунову [1]. Пусть имеем уравнение динамики:
 .
Его можно переписать с использованием фазовых координат:
 .
 , 
 - фазовые координаты, характеризующие состояние системы. Их можно трактовать как координаты n – мерного пространства. Такое пространство называется пространством состояний, и его координаты представляют собой производные по времени  . Координаты  вектора состояния – это абстрактные величины, лишенные физического смысла. Представленное уравнение в фазовых координатах описывает невозмущенное движение. Полагаем, что фазовые координаты в начальный момент времени t = to имеют значения: x1 = 1 (t0), x2 = 2 (t0), ... , xn = n (t0). Решение дифференциального уравнения определяется введенными начальными условиями. Оно может быть записано в виде
xi = i [t, i (to)] .
Пусть под действием возмущения начальные значения координат изменились и приняли значения:
i*(to) = i (to) + i .
Характер процессов, происходящих в системе, будет описываться уравнениями вида:
xi* = i*[t, i* (to)] .
Последнее уравнение описывает возмущенное движение. Движение называется устойчивым по Ляпунову, если при небольших изменениях начальных значений возмущенное движение в момент времени t > t0 будет отличаться от невозмущенного движения незначительно. Другими словами, движение, определяемое решением , будет устойчивым по Ляпунову, если для любого > 0 можно подобрать () > 0, чтобы при t > t0 и при
| i*(to) - i (to) | < ()
выполнялось условие:
| i*(t) - i (t) | .
Если условие не выполняется, то движение неустойчиво. Движение считается асимптотически устойчивым, если при t
lim | i*(t) - i (t) | = 0.
Отметим, что линейная система в подавляющем большинстве случаев получается в результате линеаризации характеристик исходной нелинейной системы, то есть является ее приближенной моделью, вследствие этого возникает вопрос – правомерно ли переносить выводы об устойчивости линейной системы на исходную нелинейную систему, когда и в какой мере это справедливо. А.М. Ляпуновым был доказан ряд теорем, отвечающий на поставленный вопрос.
Теорема 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения являются отрицательными, то невозмущенное движение в исходной нелинейной системе асимптотически устойчиво независимо от отброшенных при линеаризации членов.
Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения есть хотя бы один, имеющий положительную вещественную часть, то невозмущенное движение неустойчиво независимо от отброшенных при линеаризации членов.
В тех случаях, когда в характеристическом уравнении есть нулевые или чисто мнимые корни, а все остальные корни имеют отрицательные действительные части, судить об устойчивости движения по уравнению первого приближения нельзя. В таком случае для оценки устойчивости необходимо учитывать отброшенные при линеаризации нелинейные слагаемые.
Другими словами стационарная линейная система управления, поведение которой описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, устойчива тогда и только тогда, когда все корни ее характеристического уравнения (полюсы ее передаточной функции) имеют отрицательные вещественные части, то есть лежат в левой полуплоскости комплексной переменной s.
Характеристическое уравнение системы управления, исследуемой в комплексной области, представляется выражением:
bnsn + bn-1s n-1+ ... + bo = 0.
Если система управления исследуется в области фазовых координат, то характеристическое уравнение рассматривается в виде:
det [ sE - A] = 0,
где A – матрица коэффициентов уравнений в фазовых координатах; E - единичная матрица; s - алгебраическая переменная.
В теории автоматического управления пользуются условиями, которые позволяют судить о расположении корней характеристического уравнения в левой полуплоскости без нахождения их значений. Что весьма существенно, так как корни уравнений выше четвертой степени не выражаются через коэффициенты посредством алгебраических соотношений и могут быть найдены лишь численно. Такие условия называются критериями устойчивости. Существует несколько критериев устойчивости. Все они математически эквивалентны, так как решают единственный вопрос – лежат ли все корни характеристического уравнения в левой полуплоскости или нет. Существующие критерии устойчивости делятся на две группы: алгебраические и частотные.
Критерии устойчивости Гурвица и Рауса (алгебраические)
Необходимое и достаточное условие устойчивости системы управления без решения характеристического уравнения было сформулировано Гурвицем в виде неравенств [3]. Пусть характеристическое уравнение системы управления имеет вид:
bo sn+ b1 sn-1+ ... + bn = 0.
Тогда с учетом его коэффициентов может быть составлена матрица Гурвица:
При составлении матрицы Гурвица по диагонали записываются коэффициенты характеристического уравнения, начиная с b1. Строки вправо от диагонали заполняются коэффициентами в порядке возрастания индексов, а слева – в порядке убывания. Несуществующие коэффициенты ассоциируются с нулем. Гурвиц доказал, что для выполнения условия устойчивости, то есть для расположения всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы при bo > 0 все определители Гурвица (определители диагональных миноров матрицы Гурвица)
 1 = b1 > 0;  2 =  > 0; ...
были положительными. Остановимся кратко на некоторых общих замечаниях. Вычисление определителей Гурвица высоких порядков непосредственным разложением их по элементам строки или столбца сопряжено с большим числом вычислений и неоправданной затратой времени, поэтому весьма полезны правила, упрощающие расчеты:
1) для расположения всех корней характеристического уравнения слева от
мнимой оси необходимо (но недостаточно), чтобы все коэффициенты bi
были одного знака;
2) обращение в нуль определителя i свидетельствует о появлении пары
чисто мнимых корней;
3) если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то
все вещественные корни (если они есть) отрицательны. Комплексные
корни при этом могут лежать и в правой полуплоскости;
4) если в последовательности b0, b1, b2,…, bn имеется одна перемена знака, то
имеется один корень, лежащий в правой полуплоскости. Если число
перемен знака равно N > 1, то число таких корней равно N;
5) критерий Гурвица удобно применять для уравнений не выше четвертой
степени. Для более высоких степеней целесообразнее использовать
алгоритм Рауса, ориентированный на использование ЭВМ в расчетах.
Критерий Рауса состоит в следующем [4]. Положим, что найдена передаточная функция замкнутой автоматической системы в форме
 .
Характеристическое уравнение при этом имеет вид:
 = 0.
Составим таблицу, которая называется таблицей Рауса
Таблица 2.
Коэфф. 
|
i
|
Столбец
|
1
|
2
|
3
|
4
|
-
|
1
|
|
|
|
|
-
|
2
|
|
|
|
|
|
3
|
|
|
|
|
|
4
|
|
|
|
|
|
5
|
|
|
|
|
…
|
.
|
…
|
…
|
…
|
…
|
|
i
|
|
|
|
|
…
|
...
|
…
|
…
|
…
|
…
|
Алгоритм составления матрицы Рауса очевиден. Сформулируем критерий устойчивости. Для того чтобы автоматическая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
 .
Если хотя бы один коэффициент характеристического уравнения отрицателен, то система неустойчива, а если равен нулю, то это свидетельствует о появлении пары чисто мнимых корней, что характерно для неустойчивых систем управления, либо находящихся на границе устойчивости. Число отрицательных коэффициентов равно числу правых полюсов. В таблице Рауса для упрощения расчетов элементы строк можно делить или умножать на положительные величины. Таблица, реализующая алгоритм Рауса, удобна для программирования на ЭВМ, поэтому с помощью этого метода можно исследовать на устойчивость системы высокого порядка, а также исследовать влияние на устойчивость отдельных параметров системы.
Критерии устойчивости Михайлова и Найквиста (частотные)
Частотные критерии устойчивости стационарных линейных систем были найдены Найквистом и Михайловым. Запишем характеристическое уравнение САУ при s = i с целью его рассмотрения в частотной области:
B(i) = bn (i)n + bn-1 (i)n-1+ ...+ bo = A () e i () = P() + i Q() = 0.
При изменении от 0 до , вектор B(i) начинает описывать в комплексной плоскости кривую, которую называют кривой Михайлова:
Михайлов доказал что, для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой B(i) при =  повернулся, нигде не обращаясь в 0, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол ( n)/2, где n - степень характеристического уравнения. Отметим, что в неустойчивых системах нарушается последовательность прохождения кривой Михайлова квадрантов комплексной.
В 1932 году Найквистом был опубликован критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике Z(j) разомкнутой системы, что позволило значительно упростить расчеты. Примем во внимание тот факт, что если система управления в разомкнутом состоянии неустойчива, то ее характеристическое уравнение имеет k корней, лежащих в правой полуплоскости s. Рассмотрим функцию
1+ Z(i) = 1 +  . (2.1)
В числителе этой функции содержится характеристический полином замкнутой системы, в знаменателе – характеристический полином разомкнутой системы. Пусть степень полинома A(s) = a0 sm + a1 sm-1+ ...+ am
не выше степени n полинома B(s)= b0 sn + b1 sn-1+ ...+ bn . Тогда степени числителя и знаменателя (2.1) одинаковы и равны n. В плоскости s функция 1+ Z(i) изображается вектором, начало которого находится в точке (-1,0), а конец расположен на амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы.
Для того, чтобы установившееся движение в замкнутой системе было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы при возрастании от 0 до вектор 1+ Z(i), скользящий своим концом по амплитудно – фазовой характеристике разомкнутой системы, повернулся вокруг точки (-1, j) в направлении по часовой стрелке k/2 раз, где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Под правыми корнями здесь понимаются корни, расположенные в правой полуплоскости комплексной плоскости s.
Корневые показатели качества
Отметим, что основными показателями качества системы управления являются устойчивость, быстродействие и точность. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы управления считается выполнение условия:
i < 0; (si = i + ji , i= )
где si - корни характеристического уравнения замкнутой системы. Рассмотрим влияние вида корней характеристического уравнения замкнутой системы управления на поведение системы управления во времени в переходном и установившемся режимах при подаче на вход системы единичной ступенчатой функции.
si = i < 0 , ( i = 1,…, n)
si = i +j, i < 0, ( i = 1,…, n)
s i = i > 0
s i = i + j i, i > 0,
h(t)
 t
si = j, автоколебания
h(t)
 t
Введем в рассмотрение область задания расположения корней характеристического уравнения эталоной (идеальной) САУ:
si , ( = + j: -, > 0, | | || ).
Здесь приняты следующие обозначения: - степень устойчивости; - показатель колебательности. Область выглядит следующим образом:
где  . Для оценки качества САУ в комплексной плоскости понадобятся знания следующих характеристик:
= | max Re(si)|, Re(si) < 0, ( i = 1,…, n),
запасом устойчивости по амплитуде называется относительное
увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором
устойчивая система доходит до границы области устойчивости;
= |Im (sдом) / Re (sдом)|; = arctg ,
колебательность обычно имеет значение 1 - 2, но в отдельных случаях
допускается до 3;
Tрег = (1/) ln (1/);
- демпфирования (затухания)
 = 1 - exp (-2 / ),
демпфирование допускается в пределах 90-98%;
- переходной функции
В введенных формулах приняты следующие обозначения: si - корень характеристического уравнения; sдом - доминантный полюс, то есть такой полюс, который имеет минимальный модуль; А(s) и В(s) – соответственно полиномы числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы; n - порядок полинома В(s);  - малое действительное положительное число, характеризующее максимально допустимое отклонение процесса на выходе объекта управления от заданного после окончания переходного процесса.
Следует подчеркнуть, что корни полинома с действительными коэффициентами всегда являются либо действительными числами, либо попарно - сопряженными комплексными величинами.
Анализ качества САУ по переходной характеристике
Склонность системы управления к колебаниям, а также и запас устойчивости могут быть охарактеризованы максимальным отклонением значения регулируемой величины от установившегося значения. Рассмотрим график переходной характеристики и отметим основные показатели.
Здесь  - величина перерегулирования. При анализе используют ее абсолютное или относительное значение:
  100 %.
h() - установившееся значение регулируемой величины. В большинстве случаев считается, что запас устойчивости является достаточным, если перерегулирование < 30%. В ряде случаев допускается до 70%. Быстродействие системы управления может определяться по длительности переходного процесса Tрег. Длительность переходного процесса определяется временем, протекающим от момента приложения на вход системы управления единичной ступенчатой функции до момента начала выполнения неравенства:
| h(t) - h() | ,
где – статическая ошибка. Иногда в качестве требования, накладываемого на работу системы управления, может задаваться допустимое число колебаний за время регулирования. Отметим еще две важные временные характеристикия, используемые при анализе качества работы системы управления:
tзап. - время запаздывания - отрезок времени между моментом приложения входного воздействия и моментом времени, при котором величина выходного сигнала станет равной половине установившегося значения;
время срабатывания - время между моментом приложения входного воздействия и точкой пересечения переходной характеристики с h().
Анализ качества САУ по частотным характеристикам
Частотные характеристики легко находятся для любых сколь угодно сложных систем простыми графическими и алгебраическими операциями. Для построения амплитудно-частотных (АЧХ) и фазо-частотных (ФЧХ) характеристик задаются значения частот: 1, 2, ... и при каждом i по формулам А() и () рассчитывают ординаты характеристик, затем по полученным точкам строят графики. Рассмотрим графики этих характеристик и отметим некоторые их особенности.
Резонансная частота p соответствует Аmax. Полоса частот от 0 до n называется полосой пропускания. Частота среза ср соответствует амплитуде равной 1. Она характеризует быстродействие. При анализе качества САУ важными показателями считаются запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде. Кроме того, анализ часто включает построение логарифмических характеристик, а именно: логарифмической амплитудно-частотной характеристики L() = 20lg A() измеряемой в децибелах (дБ) и логарифмической фазо-частотной характеристики (). В качестве аргумента при построении логарифмических характеристик вместо используется аргумент lg, измеряемый в декадах.
Запасом устойчивости по амплитуде называется относительное увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором устойчивая замкнутая система доходит до границы устойчивости. Запас устойчивости по амплитуде на основе логарифмических частотных характеристик определяется следующим образом: необходимо точку А пересечения фазовой характеристики с прямой  или  спроектировать на амплитудную характеристику, тогда модуль ординаты точки В определит запас устойчивости по модулю. Запас устойчивости по фазе определяется значением фазы на частоте среза, если частотная характеристика строится относительно оси . Если же она строится относительно оси , то запас устойчивости по фазе будет определяться величиной  . Устойчивость есть необходимое условие нормального функционирования любой технической системы. Она должна иметь место не только в случае постоянства параметров, но и когда в процессе эксплуатации параметры изменяются в определенных пределах. Это может быть выполнено, если система работает не на границе устойчивости, а на некотором удалении от нее. Другими словами система управления должна обладать некоторым запасом устойчивости, обеспечивающим ее работоспособность в различных условиях эксплуатации. Рассмотрим оценку запаса устойчивости в комплексной области. Для этого обратимся к характеристическому полиному, где s заменим на j:
В(j) = P() + j Q() ; = .
Отметим, что из двух систем управления потеряет устойчивость быстрее та, у которой запас устойчивости меньше. В комплексной области в качестве меры запаса устойчивости по фазе принимается угол между отрицательным направлением действительной оси и лучом, проведенным из начала координат через точку, лежащую на пересечении частотного годографа B(i) c окружностью единичного радиуса.
Величина H показывает расстояние от точки (-1, j0) до точки пересечения частотного годографа В(j) с действительной осью. Она является мерой оценки запаса устойчивости по модулю.
|
