Конспект лекций математическое моделирование систем управления

Скачать 0.92 Mb.

Название	Конспект лекций математическое моделирование систем управления
страница	4/15
Дата публикации	18.09.2013
Размер	0.92 Mb.
Тип	Конспект

100-bal.ru > Математика > Конспект

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 15

2.1.Типовые воздействия

Типовые воздействия это типовые функции времени, подаваемые на вход устройства, по реакции на которые определяются динамические характеристики устройства в переходном режиме. Переходным режимом считается режим перехода технического устройства из одного состояния в другое. Считается, что состояние технического устройства в фиксированный момент времени определяется значением его обобщенных координат. Рассмотрим типовые воздействия.

Типовое воздействие 1 ( t )

Реакция системы управления на функцию 1(t) называется переходной функцией или переходной характеристикой и обозначается h(t).
Импульсная дельта - функция

Реакция системы управления на импульсную дельта - функцию называется импульсной переходной функцией, функцией веса, весовой функцией. Обозначим ее через

(t). Особенность дельта - функции заключается в том, что она имеет единичную площадь:

.

Отметим, что импульсная переходная функция зависит только от интервала времени между моментом начала действия импульса

и данным моментом времени t. Важно знать, что импульсная переходная функция

(t) системы и переходная характеристика h(t) связаны соотношением:

.
Передаточная функция непрерывной линейной стационарной системы определяется через преобразование Лапласа ее весовой функции, а именно:

Типовые воздействия 1(t) и

(t) являются наиболее неблагоприятными для работы технических устройств и их элементов. Если качество управления удовлетворительно при типовых воздействиях, то тем более оно будет удовлетворительно при обычных режимах работы.
Гармоническая функция
Гармонические функции на входе и выходе устройства могут быть

представленны следующим образом:
g_вх (t) =A_вх sin  t, g_вых (t) =A_вых sin ( t + ).
Частотные характеристики A() и () описывают установившиеся вынужденные колебания, полученные при подаче на вход устройства гармонического воздействия. A() - амплитудно - частотная характеристика. () – фазо-частотная характеристика.

2.2. Типовые звенья обыкновенных линейных систем

Обыкновенными называют линейные системы с постоянными параметрами. После многократного применения операции разбиения практически любую техническую систему в конечном итоге можно разбить на не подающиеся дальнейшему разбиению звенья четырех типов: умножающие, суммирующие, интегрирующие, дифференцирующие. Из названных типов звеньев к динамическим относятся интегрирующие и дифференцирующие. При разбиении (декомпозиции) схемы на элементарные звенья она обычно становится чрезмерно детальной, громоздкой и малонаглядной, поэтому в системах автоматического управления широкое применение находит декомпозиция на типовые звенья несколько более сложной структуры, чем элементарные, но более соответствующие реальным элементам. Рассмотрим их.
Идеальное интегрирующее звено (интегратор)
Интегральное и дифференциальное уравнения звена имеют вид:

Здесь приняты следующие обозначения: х(t) – входной сигнал, у(t) – выходной сигнал. Воспользуемся изображением Лапласа, получим:

.
Откуда нетрудно выразить передаточную функцию звена:

.
Переходная функция звена, то есть реакция звена на входное воздействие

х(t) = 1(t) при начальных условиях х(0) = 0, будет следующей:

Она изображается прямой, наклоненной к оси t под углом arctg (1/T).

Импульсная переходная или весовая функция идеального интегрирующего звена является реакцией звена на типовое входное воздействие в виде импульсной дельта - функции х(t) =

(t) и определяется выражением

При х(t) =

(t) выходная величина y(t) скачком принимает постоянное значение, которое и сохраняет в дальнейшем. Примером приближенной реализации интегратора может служить двигатель постоянного тока, у которого постоянная времени мала в сравнении с временем переходного процесса системы, в которой двигатель работает.
Идеальное дифференцирующее звено
Дифференциальное уравнение звена имеет вид:

Воспользуемся преобразованием Лапласа и перепишем последнее уравнение:
y(s) = T s x(s). .

Передаточная функция определится выражением:

Переходная характеристика такого звена определяется выражением:

,

где

- импульсная дельта - функция. Переходная характеристика представляет собой импульс типа дельта - функции с площадью Т. Возможность представления реального звена идеальным дифференцирующим определяется соотношением постояной времени звена и дифференцируемого процесса. Чем больше инерция звена, тем с большей погрешностью оно будет дифференцировать быстро изменяющиеся функции. О близости реального звена к идеальному звену удобно судить по частотным характеристикам.

Отметим, что идеальный дифференциатор дает усиление гармонических колебаний, пропорционально частоте и опережение выходных колебаний по фазе

независимо от частоты. Весьма близким к идеальному дифференцирующему звену является дифференцирующий усилитель с большим коэффициентом усиления. В той полосе частот, которая указана в паспорте усилителя, его передаточная функция

Выходная величина дифференцирующего звена при гармоническом воздействии пропорциональна частоте воздействия, и звено усиливает высокочастотные помехи, что сильно затрудняет его использование. Поэтому в моделирующих устройствах обычно стремятся обойтись без дифференцирующих звеньев. Это всегда возможно, если степень числителя передаточной функции моделирующего звена не выше степени знаменателя.
Неидеальное интегрирующее звено
Строго говоря, любое реальное интегрирующее звено неидеально.

Иногда грубое интегрирование выполняют с помощью статического звена, например, с помощью пассивной RC цепи, для которой ранее было найдено уравнение динамики

. При переходе в s – область уравнение принимает вид

или

. Передаточная функция такого звена определится выражением:

Дифференцирующее инерционное звено
Рассмотрим схему

Для этой схемы законы Кирхгофа для токов и напряжений имеют вид:

,

где у токов и напряжений опущен аргумент (время) с целью обеспечения наглядности математических выкладок. Далее учитывая, что

перепишем уравнение Кирхгофа для напряжений

Подставим последнее выражение

в интеграл, получим

Продифференцируем левую и правую части уравнения, получим дифференциальное уравнение рассматриваемого звена:

Далее, чтобы получить выражение передаточной функции, умножим левую и правую части уравнения на одинаковый сомножитель Т = RС, применим преобразование Лапласа, перейдем к изображениям, сгруппируем члены нужным образом. Будем иметь

Погрешность замены идеального звена неидеальным звеном, можно уменьшить, выбрав T достаточно малым, и вводя большой коэффициент усиления k. Передаточная функция такого звена определится выражением:

.

Переходная функция звена, то есть реакция звена на входное воздействие

х(t) = 1(t) при начальных условиях х(0) = 0, будет следующей:

В момент включения h(0)=k, то есть выходная величина изменяется скачком аналогично изменению входной х(0) = 1.
Идеальное форсирующее звено
Введение производных в закон регулирования осуществляется обычно с помощью так называемых форсирующих звеньев. Идеальное форсирующее звено осуществляет сложение выходной величины с ее производной и имеет передаточную функцию

Апериодическое звено первого порядка
Рассмотрим звено с передаточной функцией

.

В таком звене при

преобладает форсирование (дифференцирование), при

- инерционное запаздывание (интегрирование). Поэтому такое звено часто называют интегрирующим. При

, оно превращается в часто используемое звено, называемое статическим звеном первого порядка, инерционным, апериодическим. Величины k и T называются соответственно

коэффициентом усиления и постояной времени.
Колебательное звено
Уравнение динамики такого звена было получено ранее на примере RLC контура. Такое звено имеет дифференциальное уравнение вида

.
Перейдем к изображению Лапласа, получим:

.

Откуда следует выражение его передаточной функции

Колебательное звено, у которого

, называется консервативным

( резонансным) звеном.

Аналогичным образом получены передаточные функции остальных типовых звеньев, результаты внесены в таблицу 1:

Таблица 1.

Тип звена	Передаточная функция
1. Безынерционное звено	k, k = const
2. Идеальное дифференцирующее звено	k s
3. Дифференцирующее звено с замедлением	ks / (1+Ts)
4. Идеальное интегрирующее звено	k / s
5. Интегрирующее звено с замедлением	k / (s (1 + Ts))
6. Апериодическое звено 1-го порядка	k / (Ts+1)
7. Апериодическое звено 2-го порядка	k / (T₂s²+T₁s+1)
8. Колебательное звено	k / (Ts²+2Ts+1)
9. Идеальное форсирующее звено	Ts+1
10. Изодромное звено	k ( Ts +1) / s
11. Консервативное звено	k / ( T² s²+ 1 )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 15

Похожие:

	Математическое моделирование систем управления Программа составлена в соответствии с требованиями фгос впо по направлению подготовки 080200 Менеджмент		Математическое моделирование термически нагруженных конструкций котельных агрегатов Специальность: 05. 13. 18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
	Программа вступительного экзамена в аспирантуру по специальности... В основу настоящей программы положены следующие дисциплины: функциональный анализ, теория дифференциальных уравнений, теория управления,...		Пояснительная записка рабочая программа дисциплины «Иностранный язык... «Математика и компьютерные науки», 010500. 62 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», 230100. 62...
	Фгбоу впо «сгэу» от 09. 11. 2012г. № Решение ученого совета Самарского... «Математическое моделирование», «Математические модели в финансовых операциях», «Методы оптимизации», «Экономико-математические методы...		Математическое моделирование экономических систем «Основы математического моделирования экономических систем» должно способствовать развитию у студентов более глубокого понимания...
	Исследование систем управления процесс определения организационной... Место исследований систем управления в комплексе дисциплин по теории и практке управления		Конспект лекций по курсу "Микропроцессоры и микро-эвм в Персональной... Целью настоящего курса является дать понятие о микропроцессорах и однокристальных микро-эвм, области их применения, дать основы функционирования...
	Рабочая программа для студентов 010800. 62 специальности «Механика... Мосягин В. Е. Теория вероятностей, математическая статистика, случайные процессы. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа...		Рабочая программа учебной дисциплины современные технологии математического... Специальность научных работников: 05. 13. 18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
	Конспект лекций по дисциплине: теория систем и системный анализ санкт-Петербург... Выбор показателя эффективности, математическая постановка задачи		Рабочая программа учебной дисциплины современные технологии программирования... Специальность научных работников: 05. 13. 18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»
	Моделирование систем автоматического управления с дробным пид-регулятором В данной работе разработан цифровой алгоритм управления на основе дробного пид-регулятора и построена имитационная модель системы...		Всероссийский фестиваль методических разработок "конспект урока" М 20 Математическое моделирование биотехнологических процессов: Методические указания к самостоятельной работе [Текст] / сост. П....
	Н. Ф. Гусева Чухломского муниципального района Костромской области Конспект М 20 Математическое моделирование биотехнологических процессов: Методические указания к самостоятельной работе [Текст] / сост. П....		Рабочая программа учебной дисциплины проектирование информационных... Целью дисциплины является: изучение методологии структурного анализа, моделирование информационных систем в стандарте idef, проектирование...

Школьные материалы