1.2. Математическое описание динамики САР
На представленной схеме показано, что между входными и выходными сигналами существует непрерывная функциональная связь во времени. В данном случае САР будет характеризоваться следующими параметрами:
y(t) - управляемый параметр; u(t) - управляющее воздействие; f(t) - возмущающее воздействие; e(t) – рассогласование сигналов; g(t) - задающее воздействие. Значения этих параметров в моменты времени t1, t2, ... tk дают полную информацию о состоянии САР. Пусть состояние ОР характеризуется функцией G(u,f,y), а регулятора - функцией Q(e,u), тогда закон функционирования системы может быть представлен в общем виде системой уравнений вида [1]:
y (t) = G [ y(1), y(2), ..., y(n), f , f(1), ..., f(l), u, u(1), ... ,u(q)]
|
(1.1)
|
u (t) = Q [ e, e (1), ... e (n), u(1) , ..., u(q)]
|
(1.2)
|
e (t) = g (t) - y (t)
|
(1.3)
|
Переменные u и e - внутрение, математически их можно выразить через внешние переменные. Следовательно, можно записать:
y = F [ y(1), ...y(n) , f, f(1) , ...f(l) , g, g(1) , ...g(m) ]
|
(1.4)
|
Здесь под y(i) , f(i) , g(1) понимаются соответствующие производные. Уравнение (1.4) называется уравнением динамики. Оно описывает переходные процессы, происходящие в системе. При проектировании сложных технических систем возникают проблемы вычислительного плана особенно, если уравнения нелинейные или высокого порядка. В таких случаях при оценке процессов, описывающих поведение динамической системы, в первом приближении пользуются упрощенной математической моделью, которая получается в ходе линеаризации нелинейного уравнения. Рассмотрим эту процедуру.
Если F - аналитическая функция, то допускается разложение ее в ряд Тейлора в окрестности точки равновесия. В нашем случае точка равновесия есть точка, характеризующая установившееся состояние. Чем меньше отклонение от состояния равновесия, тем меньше ошибка, возникающая в результате замены нелинейного уравнения линейным. Допустим, что y(t) является функцией нелинейной, а F - аналитической. Учтем, что состояние равновесия характеризуется уравнением статики. Такое уравнение можно получить из уравнения (1.4), приравняв производные по времени к нулю:
y0 = F (0, ..., 0, f0, 0, ...0, g0, 0, ...,0).
|
|
Пусть воздействия получили приращения и приняли вид:
g = g0 + g, f = f0 + f.
|
|
Тогда в системе возникает переходной процесс:
Представим функцию F рядом Тейлора в окрестности точки равновесия. Оставим в разложении только линейные члены, учитывая их весомость по сравнению с откидываемыми малыми величинами:
y = F (0,...,0,f0,0,...,0,g0,0,...,0) +   y +  g +   f + ...
|
|
Далее, учтем, что y0 = F (0, ... 0, f0, 0, ...0,g0, 0, ...0) и отметим, что в уравнение динамики входят только отклонения, но не сами переменные, кроме того
 , поскольку  = const.
|
|
Поэтому символ приращения можно опустить. Введем коэффициенты а , c, b равные частным производным функции F по g, f, y соответственно в точке равновесия. Перепишем уравнение динамики с учетом введенных переменных, получим:
|
(1.5)
|
Уравнение (1.5) является линейным с постоянными коэффициентами. Оно называется уравнением динамики в первом приближении. По виду уравнения динамики различают модели, описываемые алгебраическими уравнениями, обыкновенными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных, уравнениями в конечных разностях. По виду коэффициентов уравнения различают модели с постоянными (детерминированными, стационарными) коэффициентами, с переменными (недетерминированными, нестационарными) параметрами, с квазистационарными параметрами, то есть стационарными в очень малых интервалах времени. По виду временных функций, различают модели непрерывные, дискретные (цифровые), дискретно-непрерывные. Стационарные и нестационарные системы могут быть как линейными, так и нелинейными. Нестационарные системы характерны тем, что при сдвиге входного возмущения во времени без изменения формы их выходные переменные не только сдвигаются во времени, но и меняют форму. Если входные сигналы в автоматических системах могут действовать непрерывно в течение всего времени работы системы, то такая система называется непрерывной. Любая система управления, поведение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, является стационарной линейной системой. В заключение отметим, что системы управления по виду уравнений динамики разделяются на стационарные и нестационарные, линейные и нелинейные, многомерные и одномерные, непрерывные и дискретные.
Аналитическое построение математической модели
Дифференциальное уравнение технического объекта строится следующим образом:
выбираются обобщенные координаты (1.1), характеризующие объект;
выбираются начальные условия;
определяются физические или химические закономерности, которым подчиняется поведение технического объекта;
выявляются факторы, влияющие на входные и выходные сигналы;
при наличии нелинейных характеристик уравнение по возможности линеаризуется.
Рассмотрим процедуру вывода дифференциальных уравнений типовых звеньев на примерах анализа работы элементов электрических цепей. Для этого понадобятся знания закона Ома и законов Кирхгофа. Вспомним законы Кирхгофа:
для токов. Алгебраическая сумма втекающих и вытекающих в узел токов равна нулю;
для напряжения. Алгебраическая сумма падения напряжения на элементах замкнутого контура равна нулю.
Пример 1.1. Моделью типового апериодического звена может служить пассивная R C цепь:
Если входным воздействием считать напряжение Uo, выходным -  , и цепь считать ненагруженной, то, воспользовавшись дифференциальными уравнениями цепи, составленными на основе уравнений Кирхгофа, можно записать:
 ,  .
Учитывая, что  , обозначим ток в цепи через i и перепишем уравнение Кирхгофа для напряжений, получим
R * i + U = U0.
Далее воспользуемся известной формулой зависимости тока на емкости от напряжения  , подставим ее в уравнение, получим  . Введем обозначение T = R * C, тогда уравнение динамики примет стандартный для звена вид
 .
|
|
|
|
Пример 1.2. Составим дифференциальное уравнение колебательного звена, аналогом которого, может быть контур R L C.
 ;  ;  ;
U R + U L + U C = U0;
|
|
 ; 
|
|
Введем обозначения: T =  ;  = 0.5 R  ; тогда уравнение динамики звена примет стандартный вид:
|
|
 .
|
|
Отметим, что совершено различные по принципу действия и конструктивному исполнению устройства могут иметь одинаковые дифференциальные уравнения, что свидетельствует об одинаковом поведении процессов во времени. Аналогично рассмотренным примерам строится математическая модель любого технического объекта или системы.
Задачи проектирования многомерных систем управления
Проектирование многомерных систем управления включает:
формирование математической модели (уравнений) системы; расчет;
анализ; синтез. Чтобы приступить к автоматизированному проектированию, необходимо ввести информацию о системе управления. Обычно при вводе данных задаются коэффициенты уравнений, диапазоны изменения параметров, варьируемые параметры, начальные значения. Если блок управления будет синтезироваться, то задаются параметры объекта управления, его математическая модель и требования к его функционированию.
При расчете многомерных линейных непрерывных систем управления обычно используется матрица передаточных функций, на ее основе получают переходные и импульсно-переходные характеристики, рассчитывают влияние разброса параметров, строят амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики, определяют расположение полюсов и нулей передаточных функций. На основе расчета проводится анализ динамических характеристик, и определяются задачи дальнейшего проектирования. Обычно проектирование идет в направлении улучшения свойств системы за счет оптимальной настройки параметров. Если положительного результата добиться не удается, проектирование продолжается в направлении изменения схемы, что обеспечивает синтез. Синтез, как правило, выполняется с применением методов аналитического конструирования регуляторов (синтез структур), либо в направлении синтеза оптимальных управлений.
Отметим, что большую роль в организации автоматического или автоматизированного управления сложными объектами играет статистическая обработка информации, в результате которой должно быть принято определенное решение. При проектировании сложных систем таких как: систем одновременного управления большим количеством объектов, каждый из которых имеет возможность до некоторой степени самостоятельно определять свое поведение и принимать решения, может быть построено только на основе статистических методов.
|
