Лекции по учебной дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика
Скачать 1.5 Mb.
|
| µ §. µ §. Таким образом, математическое ожидание величины µ §не зависит от числа опытов n и равно математическому ожиданию наблюдаемой величины X; что касается дисперсии величины µ §, то она неограниченно убывает с увеличением числа опытов и при достаточно большом значении n может быть сделана сколь угодно малой. Мы убеждаемся, что среднее арифметическое есть случайная величина со сколь угодно малой дисперсией и при большом числе опытов ведет себя почти как не случайная. Теорема Чебышёва и устанавливает в точной количественной форме это свойство устойчивости среднего арифметического. Она формулируется следующим образом: Теорема Чебышёва. При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений, случайной величины, сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т.е. µ §, Поясним смысл термина «сходится по вероятности». Говорят, что случайная величина µ § сходится по вероятности к величине a, если при увеличении n вероятность того, что µ § и а будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом значении n µ §, где µ § и µ § µ §произвольно малые положительные числа. Запишем в аналогичной форме теорему Чебышёва, Она утверждает, что при увеличении п среднее арифметическое сходится по вероятности к µ §, т. е. µ §. Докажем это неравенство. Выше было показано, что величина µ § имеет числовые характеристики µ §; µ §. Применим к случайной величине Y неравенство Чебышёва: µ §. Как бы мало ни было числоµ §, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось неравенство µ §, где µ § ЎЄ сколь угодно малое число. Тогда µ §. Переходя к противоположному событию, окончательно получаем. µ §. Теорема Чебышёва легко может быть обобщена на более сложный случай, а именно когда закон распределения случайной величины X от опыта к опыту не остается одним и тем же, а изменяется. Тогда вместо среднего арифметического наблюденных значений одной и той же величины X с постоянными математическим ожиданием и дисперсией мы имеем дело со средним арифметическим n различных случайных величин, с различными математическими ожиданиями и дисперсиями. Оказывается, что и в этом случае при соблюдении некоторых условий среднее арифметическое является устойчивым и сходится по вероятности к определенной неслучайной величине. Обобщенная теорема Чебышёва формулируется следующим образом. Если µ § µ § независимые случайные величины с математическими ожиданиями µ §, µ § и дисперсиями µ §, µ § и если все дисперсии ограничены сверху одним и тем же числом L: µ §, то при возрастании n среднее арифметическое наблюденных значений величин µ § сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий: µ §. Вывод: среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин принимает значения, близкие к среднему арифметическому их математических ожиданий, то есть утрачивает характер случайной величины и при достаточно большом числе измерений их среднее арифметическое окажется сколь угодно близким к истинному значению измеряемой величины. При этом должны соблюдаться следующие условия: а) результат каждого измерения не зависит от результатов остальных, то есть все результаты представляют собой попарно независимые случайные величины; б) обеспечена определенная точность измерений, следовательно, дисперсии рассматриваемых случайных величин равномерно ограничены. 14.1.3. Теорема Бернулли Частным случаем теоремы Чебышева является теорема Бернулли ЁC первый в истории вариант закона больших чисел. Теорема Бернулли, устанавливает связь между частотой события и его вероятностью. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие A, вероятность которого в каждом опыте равна р. Теорема Бернулли утверждает, что при неограниченном увеличении числа испытаний n частота µ §события A сходится по вероятности к его вероятности p: µ §, где µ § и µ §сколь угодно малые положительные числа. Доказательство. Пусть p ЁC вероятность появления события A в однократном испытании.µ § Рассмотрим случайную величинуµ §ЁC число появлений события A в i-м испытании. Ее ряд распределения 01qp где q=1µ §р. Математическое ожидание случайной величиныµ § µ §. Пусть k ЁC число успехов в n испытаниях, тогда µ § и частота события A: µ § По обобщенной теореме Чебышева: µ § или, учитывая, что µ §=µ §, получаем: µ § Что и требовалось доказать. Теорема Бернулли утверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опыта. Но при изменяющихся условиях опыта аналогичная устойчивость также существует. Теорема, устанавливающая свойство устойчивости частот при переменных условиях опыта, называется теоремой Пуассона и формулируется следующим образом: Если производится n независимых опытов и вероятность появления события A в i-м опыте равна µ §, то при увеличении n частота события A сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей µ §. Теорема Пуассона выводится из обобщенной теоремы Чебышева точно так же, как теорема Бернулли была выведена из закона больших чисел. Теорема Пуассона имеет большое принципиальное значение для практического применения теории вероятностей. Дело в том, что зачастую вероятностные методы применяются для исследования явлений, которые в одних и тех же условиях не имеют шансов повториться достаточно много раз, но повторяются многократно при весьма разнообразных условиях, причем вероятности интересующих нас событий сильно зависят от этих условий. 14.2. Центральная предельная теорема. Рассмотренные выше формулировки закона больших чисел утверждали, что некоторые случайные величины сходятся по вероятности к определенным постоянным величинам. Другая группа предельных теорем ЁC центральная предельная теорема ЁC устанавливает вид предельной функции распределения некоторой случайной величины, одновременно оговаривая условия применимости. Все формы центральной предельной теоремы посвящены установлению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Так как эти условия на практике весьма часто выполняются, нормальный закон является самым распространенным из законов распределения, наиболее часто встречающимся в случайных явлениях природы. Он возникает во всех случаях, когда исследуемая случайная величина может быть представлена в виде суммы достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) элементарных слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму Один из вариантов центральной предельной теоремы мы уже приводили в п.11.5. Рассмотрим эту формулировку более подробно. Пусть случайные величиныµ §ЁC независимы и одинаково распределены. Тогда закон распределения их частичной суммыµ §ЁC неограниченно приближается к нормальному распределению при неограниченном увеличении числа n эти случайных величин. Откуда следует, что мы исходим из условия равенства математических ожиданий и дисперсий каждой из случайных величин, составляющих частичную суммуµ §: µ § µ § Теорема утверждает, что когда µ §, последовательность частичных сумм µ § стремится к нормальному распределению с параметрами µ § и µ § Согласно теоремам сложения математических ожиданий и дисперсий (п.п. 7.1, 7.2): µ § µ § Тогда вероятность попадания случайной величины на заданный участок µ § выражается формулой (п.11.5.2): µ § где µ §. Таким образом, для того чтобы приближенно найти вероятность попадания суммы большого числа случайных величин на заданный участок, не требуется знать законы распределения этих величин; достаточно знать лишь их характеристики. Разумеется, это относится только к случаю, когда выполнено основное условие центральной предельной теоремы ЎЄ равномерно малое влияние слагаемых на рассеивание суммы. На практике часто применяются формулы, в которых вместо суммы случайных величин фигурирует их центрированная и нормированная сумма, µ § Случайную величину Z по другому еще называют стандартной случайной величиной. Тогда µ § Таким образом, математическое ожидание µ § стандартной случайной величины равно нулю, а ее дисперсия µ § равна единице. Если закон распределения случайной величины Y близок к нормальному распределению с параметрами µ § µ §, то и закон распределения случайной величины Z близок к нормальному распределению с параметрами µ § µ § Отсюда следует µ § Центральная предельная теорема может применяться не только к непрерывным, но и к дискретным случайным величинам при условии, что мы будем оперировать не плотностями, а функциями распределения. Действительно, если величины µ § дискретны, то их сумма µ § ЎЄ также дискретная случайная величина и поэтому, строго говоря, не может подчиняться нормальному закону. Однако все формулы, аналогичные приведенным выше, где фигурируют не плотности, а функции распределения остаются в силе. Формула Муавра-Лапласа (п. 5.3.2) является одним из следствий центральной предельной теоремы. Рассмотрим схему испытаний Бернулли: n ЁC опытов, в каждом случае с вероятностью p может появиться событие A. Пусть µ § ЁC случайная величина, связанная с появлением события A (индикатор события A): µ § Тогда µ §число появлений события A в n опытах. Случайная величина µ § распределена по биномиальному закону (п. 8.1): µ § (m = 0,1, ЎK ,n) с математическим ожиданием µ § и дисперсией µ §, µ § Введем стандартную случайную величину µ §µ § с параметрами µ § В соответствии с центральной предельной теоремой распределение стандартной случайной величины µ § стремится к нормальному распределению с теми же по величине параметрами, т.е. к стандартному нормальному распределению (п. 11.5.2): µ § Найдем теперь вероятность того, что в серии из n опытов число успехов k будет лежать между фиксированными значениями µ § и µ §: µ § т.е. получена интегральная формула Муавра-Лапласа. На практике судят о замене биномиального распределения нормальным распределением по выполнению критериев: µ § Если они выполнены, замена правомерна. Пример. Станок с ЧПУ делает за смену n =1000 изделий, из которых 2% дефектов. Найти вероятность того, что за станком будет изготовлено не менее 970 не дефектных изделий. Решение. Вероятность изготовления доброкачественных изделий µ §, Y =970 ЁC минимальное число нормальных изделий, n =1000. Проверим выполнимость условий замены биномиального распределения нормальным распределением: µ § µ § µ § µ § Условия выполняются. Тогда: µ § µ §0,988 Заметим, что утверждение центральной предельной теоремы о сходимости функции распределения частичных сумм к нормальному распределению справедливо и при более широких предположениях. Одно из обобщений, не требующее одинаковости числовых характеристик распределений слагаемых было сформулировано и доказано Ляпуновым. Тема 15. Случайные функции 15.1. Понятие о случайной функции. Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее ЎЄ какой именно. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. Если над случайной функцией произвести группу опытов, то мы получим группу или «семейство» реализаций этой функции. Так как аргументом случайной функции чаще всего является время, будем обозначать его буквой t. Кроме того, условимся, как правило, обозначать случайные функции большими буквами µ § в отличие от неслучайных функций µ § . Рассмотрим некоторую случайную функцию µ §. Предположим, что над ней произведено n независимых опытов, в результате которых получено n реализаций: Обозначим их соответственно номеру опыта µ § Каждая реализация, очевидно, есть обычная (неслучайная) функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция µ §превращается в обычную, неслучайную функцию. Зафиксируем теперь некоторое значение аргумента t и посмотрим, во что превратится при этом случайная функция µ §. Очевидно, она превратится в случайную величину в обычном смысле слова. Условимся называть эту случайную величину сечением случайной функции, соответствующим данному значению t. Если провести «сечение» семейства реализаций при данном значении t, мы получим n значений, принятых случайной величиной µ § в n опытах. Мы видим, что случайная функция совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента, она превращается в обычную случайную величину; в результате каждого опыта она превращается в обычную (неслучайную) функцию. В ходе дальнейшего изложения мы будем попеременно рассматривать одну и ту же функцию µ §как случайную функцию, или как случайную величину, в зависимости от того, рассматривается ли она на всем диапазоне изменения µ § или при его фиксированном значении. 15.2. Закон распределения случайной функции. Рассмотрим некоторую случайную функцию µ § на определенном отрезке времени Строго говоря, случайную функцию мы не можем изображать с помощью кривой на графике: начертить мы можем лишь ее конкретные реализации. Однако в целях наглядности можно позволить себе условно изобразить на чертеже случайную функцию µ §кривой, понимая под этой кривой не конкретную реализацию, а всю совокупность возможных реализаций совокупность возможных реализаций µ §. Эту условность мы будем отмечать тем, что кривую, символически изображающую случайную функцию, будем проводить пунктиром. Случайную функцию можно рассматривать как систему случайных величин µ §сечений, соответствующих значениям µ § , µ § Мы знаем, что закон распределения одной случайной величины есть функция одного аргумента, закон распределения системы двух величин ЎЄ функция двух аргументов и т. д. Однако пользоваться законами распределения многих случайных величин настолько неудобно, что даже для систем трех-четырех величин мы обычно отказываемся от пользования законами распределения и рассматриваем только числовые характеристики. Тем не менее, можно для случайной функции построить некоторые вероятностные характеристики, аналогичные законам распределения. Идея построения этих характеристик заключается в следующем. Рассмотрим случайную величину µ § ЎЄ сечение случайной функции в момент µ § Эта случайная величина, очевидно, обладает законом распределения, который в общем случав зависит от µ §. Обозначим его µ §. Функция µ §называется одномерным законом распределения случайной функции µ §. Очевидно, функция µ § не является полной, исчерпывающей характеристикой случайной функции µ §. Действительно, эта функция характеризует только закон распределения µ §для данного µ §. Она не отвечает на вопрос о зависимости случайных величин µ §при различных значениях µ §. С этой точки зрения более полной характеристикой случайной функции µ § является так называемый двумерный закон распределения: µ § Это ЎЄ закон распределения системы двух случайных величин µ §т. е. двух произвольных сечений случайной функции µ §Однако и эта характеристика в общем случае не является исчерпывающей. Еще более полной характеристикой был бы трехмерный закон: µ § Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число аргументов и получать при этом все более подробную характеристику случайной функции, но оперировать со столь громоздкими характеристиками, зависящими от многих аргументов, крайне неудобно. Поэтому при исследовании законов распределения случайных функций обычно ограничиваются рассмотрением частных случаев, где для полной характеристики случайной функции достаточно, например, знания функции µ § (так называемые «процессы без последействия»). |
Похожие:
 | Методичекские рекомендации по дисциплине б. 5 Теория вероятностей... Целями освоения дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика являются | | Вопросы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»... «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений.... |
| Рабочая программа дисциплины (модуля) «Математическая статистика и теория вероятностей» Целью освоения дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей» являются |  | Исф фгбоу впо «СПбгпу» И. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике |
| Темы рефератов Теория вероятностей Эбс университетская библиотека onlin гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : Учебное пособие для вузов. 12-е... | | Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений.... |
| Теория вероятностей и математическая статистика Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ | | Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва, «Наука», 1970 656с Баврин И. И.: Теория вероятностей и математическая статистика, Москва, Высшая школа, 2005 -160с |
| Программа дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая статистика... Математическая статистика и теория вероятности [Текст]: рабочая учебная программа. Тюмень: гаоу впо то «тгамэуп». 2013. – 22 с |
| Рабочая программа дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Рабочая программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» Рабочая программа составлена на основании рабочего учебного плана по фгос утвержденного ученым советом юргту(нпи) протоколом №4 от... |
| Рабочая программа учебной дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего... | | Теория вероятностей и математическая статистика Разберём весьма частный, однако, часто встречающийся случай: состоит из конечного числа n равновероятных событий |
| Учебно-методический комплекс теория вероятностей и математическая статистика Цели: образовательная – ознакомление обучающихся с основами развития пищевой продукции, спроса на продукцию и услуги оп | | Рабочая программа дисциплины б. 3 «Теория вероятностей и математическая статистика» Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления подготовки 080100 экономика от 21.... |
