Лекции по учебной дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика
Скачать 1.5 Mb.
|
Почему 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10 - когда бросают три? Решение. В случае двух костей 9 и 10 могут получиться следующим образом: =3+6, или 9=6+3, или 9=4+5, или =5+4, 10=4+6, или 10=6+4, или 10=5+5. Это значит, что при двух костях 9 можно "выбросить" четырьмя способами, а 10 - лишь тремя. Следовательно, здесь шансы получить 9 предпочтительней. В случае трех костей ситуация меняется на противоположную: 9 можно "выбросить" 25 способами, а 10 - уже 26 способами. Потому 10 получается чаще, чем 9. (Проверьте!!!) Теория вероятностей как наука раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям. Методы не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений Классификация событий Различные события различают по степени возможности их проявления и бывают взаимно связаны. Типы событий: „hѓnслучайное, „hѓnдостоверное, „hѓnневозможное. „«ѓnОпределение. Достоверное событие ЁC событие, которое в результате опыта обязательно должно произойти. Пример -ѓnвыпадение не менее одного очка при бросании игральной кости. Определение. Невозможное событие ЁC событие, которое не может иметь место в данном опыте. Пример - выпадение более 6 очков при бросании игральной кости. Если событие в данном опыте невозможно, то говорят, что вероятность его равна P(A) ѓѓn0, если достоверно, то его вероятность равна P(A) ѓ1.Чем ближе вероятность события к 1, тем больше объективная возможность его появления его в опыте. Определение Два или несколько событий называются равновозможными, если нет оснований утверждать, что одно из них имеет больше данных появиться в итоге опыта по сравнению с другими. Равная возможность исходов ЁC основная гипотеза классической теории вероятностей. Пример- выпадение герба и цифры при однократном бросании монеты. По характеру совместной связи события подразделяются на совместные и несовместные. Определение. События, называются несовместными, если появление какого-нибудь одного из них в данном опыте исключает возможность появления других. Пример - выпадение 3 и 5 вместе при однократном бросании монеты. Определение. События, называются совместными, если появление одного из них в данном опыте не исключает возможность появления других. Пример - выпадение 3 и 5 вместе при двукратном бросании монеты. Получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок «5», «4»,»3» ЁC события несовместные, а получение тех же оценок на экзамене по трем дисциплинам ЁC события совместные. Определение. Полная группа событий ЁC группа событий, из которых хотя бы одно непременно должно произойти в данном опыте. Примеры Попадание и непопадание в мишень при выстреле. Выпадение 1,2,3,4,5,6 при бросании кости. Определение. Вероятность события ЁC численная мера, принимающая значения между 0 и 1 и характеризующая степень возможности появления события в данном опыте. Обозначается: P(A) , где А - случайное событие. Обозначение P происходит от первой буквы английского слова probability ЁC вероятность. Определение. Противоположные события ЁC два единственно возможных и несовместных события, для которых справедливо, что А наступает, когда не наступает А и наоборот. Противоположные события ЁC частный случай, событий, образующих полную группу. Классическое определение вероятности. Классическое определение вероятности дал еще Лаплас, но тогда ее приложение не выходило за сферу азартных игр. Пьер-Симон Лаплас (1749 1827) ЎЄ французский математик; один из создателей теории вероятностей. Классическое определение вероятности несовершенно и имеет недостатки. Во-первых, оно применимо лишь в тех случаях, когда число элементарных событий конечно, но на практике не всегда имеет место. Во вторых, ѓnпредполагается, что все элементарные события (исходы опыта) равновероятны (не всегда можно определить равная вероятность наступления отдельных элементарных событий). Определение (классическое по Лапласу определение). Вероятность случайного события А - число элементарных событий, благоприятствующих появлению события А , деленному на все число элементов в наборе элементарных событий (исходов). P (A) ѓµ §ѓn, 0 ѓ¬ѓnP(A) ѓ¬1 Пример. Какова вероятность выпадения четного числа очков при бросании кости Решение. n ѓѓn6, m ѓѓn3 , µ §, µ § Пример. Буквы, образующие слова «Теория вероятностей», перемешаны и наугад извлекается одна буква. Найти вероятность того, что эта буква гласная Решение Общее число исходов n ѓѓn18 (число букв в словах). Число благоприятствующих исходов m ѓѓn9 µ §, µ § Ошибка Даламбера. Классическое определение вероятности справедлива только в случае с равновозможными исходами. Пренебрежение этим требованием приводит к ошибкам при решении простых вероятностных задач. Рассмотрим знаменитую задачу о бросании обычной монеты, связанную с именем знаменитого математика Ж. Даламбера. Ж. Даламбер (1717 ЎЄ1783) ЎЄ французский ученый-энциклопедист. Широко известен как философ, математик и механик, вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равная возможность исходов в опыте всего с двумя монетами! Опыт. Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону? Решение Даламбера: Опыт имеет три равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на «орла»; 2) обе монеты упадут на «решку»; 3) одна из монет упадет на «орла», другая на «решку». Из них благоприятными будут два исхода. n ѓѓn3, m ѓѓn2 , µ §, µ § Правильное решение: Опыт имеет четыре равновозможных исхода: 1) обе монеты упадут на «орла»; 2) обе монеты упадут на «решку»; 3) первая монета упадет на «орла», вторая на «решку»; 4) первая монета упадет на «решку», вторая на «орла». Из них благоприятными будут два исхода. n ѓѓn4, m ѓѓn2 , µ §, µ § Замечание. В настоящее время при выполнении условий конечности и равновероятности элементарных исходов, используют понятие относительной частоты события. Замечание. События, вероятности которых малы или очень велики, называются практически невозможными или практически достоверны. 1.4. Контрольные вопросы 1. Что изучает теория вероятностей? 2. Кто основатель теории вероятностей как строгой математической дисциплины? 3. Основная числовая характеристика случайного события. 4. Как определяются случайное, достоверное и невозможное события? 5. В чем недостатки классического определения вероятностей? 6. Как подразделяются события по характеру совместной связи ? 7. Классификация событий по степени возможности их проявления 8. Приведите примеры полной группы событий. 9. С какой вероятностью монета, брошенная дважды, по крайней мере один раз выпадет гербом? 10. Докажите, что события A,B, AѓyѓnB образуют полную группу. Тема 2. Геометрическое и статистическое определения вероятности 2.1. Геометрическая вероятность Одним из недостатков классического определения вероятности, ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. Этот недостаток преодолен в классическом геометрическом определении вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.д.). Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения вероятности на случайный эксперимент с бесконечным числом равновозможных случайных исходов, изображаемых точками, прямой, плоскостью, пространством и т.д. Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайной точки. Фигуру g называют благоприятствующей событию A. Область, на которую распространяется понятие геометрической вероятности может быть одномерной (прямая, отрезок), двумерной и трехмерной и. т. д. Определение. Геометрическая вероятность события A - отношение меры области, благоприятствующей появлению события A к мере всей области Пример. В квадрат со стороной 4см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см? Решение. Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1см. Площадь не закрашенной части квадрата µ §. Площадь большого квадратаµ §. Тогда, в соответствии с определением геометрической вероятности, получим µ § 2.2. Статистическая вероятность. Закон больших чисел. Недостатком классического определения вероятности является то, что не всегда удается узнать, являются исходы испытания равновозможными или не являются. Число равновозможных исходов конечно. Результат испытаний не всегда можно представить в виде совокупности элементарных событий. Введем понятие статистической вероятности. Если производить многократно повторение одного и того же опыта, то относительное число появлений данного события во всей серии опытов, или частота его появления, будет близка к значению его вероятности. Оказывается, что при большом числе испытаний n, относительная частота появления события А в различных сериях отличается друг от друга мало и это отличие тем меньше, чем больше испытаний в сериях. Определение. Абсолютной частотой случайного события A в серии из N случайных опытов называется число NA , которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие A . Определение. Относительной частотой случайного события называют отношение числа появлений этого события к общему числу проведенных экспериментов: Пример. Выпадение герба. При небольшом количестве опытов относительное число появлений герба будет отличаться от 0.5, но если увеличить число до несколько десятков тысяч, то небольшие отклонения не могут оказать влияния на общий результат. Такие опыты проводились Бюффоном (Франция), и Пирсоном (Англия), при этом получены следующие результаты. Число бросаний Относит. частота появления герба 4040 0,50693 12000 0,5016 24000 0,5005 Французский естествоиспытатель Бюффон (XVIII в.) бросил монету 4040 раз, и при этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна µ §0,50693ЎK . Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:µ §0,5005ЎK . Расхождение с математической вероятностью в четвертом знаке после запятой. Это закон больших чисел. Определение. При статистическом определении вероятностью события называют относительную частоту события при большом числе испытаний или число близкое к ней: Вероятность PѓvAѓwѓnвыражает количественную меру появления события в данных сериях испытаний. Пример. Наблюдения показывают, что в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Какова относительная частота рождения мальчика в такой серии наблюдений? Решение. µ §. Согласно закону больших чисел, относительная частота обладает определенной устойчивостью, то есть ее значения изменяясь, колеблются около некоторого неотрицательного числа, к которому она стремится при n Ўж Ѓ‡, (неограниченном возрастании числа испытаний). µ § 2.3. Условная вероятность Пусть имеем два последовательных случайных событий. Ставится вопрос: какова вероятность наступления второго события, если первое событие уже произошло? Пример. Пусть в урне было 5 шаров, (2 белых+ 3 черных). Найти вероятность извлечь белый шар во втором испытании. Решение. После извлечения первого шара в ней останется 4 шара и один белый в их числе (если извлекли первым белый шар), или 2 белых ( если в первый раз извлечен черный шар). В первом случае вероятность извлечь белый шар во второй раз будет µ §, во втором µ §. Таким образом, вероятность извлечь белый шар во втором испытании зависит от результата первого испытания. Понятия условной вероятности и независимости введены А. Муавром в 1718 г. Определение. Условная вероятность это вероятность одного события, вычисленная в предположении, что другое событие произошло. Вероятность события µ §в предположении, что произошло событие µ § обозначается как µ §. Определение. Два или несколько событий называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, имели ли место другие события. Определение. Два или несколько событий называются зависимыми, если появление одного из них влияет на вероятность наступления других. Из этих определений следует математическая запись условия независимости двух событий µ §=µ § - событие µ § не зависит от события µ § µ §=µ § - событие µ § не зависит от события µ §. Если выполняются оба эти условия. То события µ §и µ § называются взаимно-независимыми событиями. Пример. Событие A ЁC извлечение из колоды туза, событие B ЁC то, что и вторая вынутая из колоды карта - туз. Тогда, если после первого раза карта была возвращена в колоду, то вероятность вынуть вторично туз не меняется: µ § Если же первая карта в колоду не возвращается, то осуществление события A приводит к тому, что в колоде осталась 31 карта, в числе которых имеются только 3 туза. Поэтому µ § 2.4. Контрольные вопросы 1. Дайте статистическое определение вероятности. 2. В чем отличие от классического определения вероятности? 3. В чем разница абсолютной и относительной частоты? 2.5. Задачи для самостоятельно решения 1. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной. Ответ: p ѓѓn0.1. 2. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что выйдет четное число очков. Ответ: p ѓѓn0.5 . 3. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не "содержит цифры 5. Ответ: p ѓѓn0.81. 4. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному из расположенных «в одну линию» кубиках можно будет прочесть слово «спорт». Ответ: µ § 5. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три. Ответ: а) 0,384; б) 0,096; в) 0,008. 6. Из тщательно перемешанного полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость: а) оказалась дублем, б) не есть дубль. Ответ: (а) µ §, (б) µ §. 7. В замке на общей оси пять дисков, каждый из которых разделен на шесть секторов с различными написанными на них буквами. Замок открывается, только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть. Ответ: µ §. 8. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом. Ответ: 0,25. 9. Библиотечка состоит из десяти различных книг, причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги ЎЄ по одному рублю и две книги ЎЄ по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей. Ответ: 5 /12. |
Похожие:
 | Методичекские рекомендации по дисциплине б. 5 Теория вероятностей... Целями освоения дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика являются | | Вопросы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»... «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений.... |
| Рабочая программа дисциплины (модуля) «Математическая статистика и теория вероятностей» Целью освоения дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей» являются |  | Исф фгбоу впо «СПбгпу» И. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике |
| Темы рефератов Теория вероятностей Эбс университетская библиотека onlin гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : Учебное пособие для вузов. 12-е... | | Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений.... |
| Теория вероятностей и математическая статистика Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ | | Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва, «Наука», 1970 656с Баврин И. И.: Теория вероятностей и математическая статистика, Москва, Высшая школа, 2005 -160с |
| Программа дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая статистика... Математическая статистика и теория вероятности [Текст]: рабочая учебная программа. Тюмень: гаоу впо то «тгамэуп». 2013. – 22 с |
| Рабочая программа дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Рабочая программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» Рабочая программа составлена на основании рабочего учебного плана по фгос утвержденного ученым советом юргту(нпи) протоколом №4 от... |
| Рабочая программа учебной дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего... | | Теория вероятностей и математическая статистика Разберём весьма частный, однако, часто встречающийся случай: состоит из конечного числа n равновероятных событий |
| Учебно-методический комплекс теория вероятностей и математическая статистика Цели: образовательная – ознакомление обучающихся с основами развития пищевой продукции, спроса на продукцию и услуги оп | | Рабочая программа дисциплины б. 3 «Теория вероятностей и математическая статистика» Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления подготовки 080100 экономика от 21.... |
