Лекции по учебной дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика
Скачать 1.5 Mb.
|
10. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 6 нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления нестандартных деталей? Ответ: W ѓѓn0,06 . 11. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,85. Требуется найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов. Ответ: 102 попадания. Тема 3. Алгебра событий 3.1. Произведение событий Определение. Произведением нескольких событий называется событие, состоящие в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания. Обозначают A„ЄB, A„xB, AиB. Замечание. Произведение означает связку «и» (АВС, это означает, что наступило событие A и B и C ). Пример. Событие A ЁC «из колоды карт вынута дама», событие B ЁC «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Тогда событие A µ §ѓnB означает «вынута дама пик». Пример. Событие A ЁC « число выпавших очков < 5», событие B ЁC «число выпавших очков > 2», C ЁC «число выпавших очков четное». Тогда событие A„ЄB„ЄC означает ЁC «выпало 4 очка». Теорема Вероятность произведения взаимно-независимых событий равна произведению их вероятностей. P( A1 „ЄѓnA2) ѓѓnP (A1) „ЄѓnP(A2) . ѓnТеорема Вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого события, вычисленную в предположении, что первое случайное событие уже произошло. P( A1 „ЄѓnA2) ѓѓnµ §ѓ| 3.2. Сумма событий. Свойства операций сложения и умножения событий. Определение. Суммой двух событий A1 и A2 - называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. A ѓѓnA1 ѓyѓnA2 Знаком плюс обозначается связка «или». Теорема Вероятность суммы двух несовместных событий равняется сумме их вероятностей. P(A1 ѓyѓnA2) ѓѓnP(A1) ѓyѓnP(A2) Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий. Следствие теоремы сложения. Сумма вероятностей полной группы несовместимых событий равна единице. Теорема Вероятность суммы двух совместных событий равняется сумме их вероятностей, уменьшенная на вероятность произведения этих событий. P (A1 ѓyѓnA2) ѓѓnP (A1) ѓyѓnѓvP A2) ѓ{ѓnP(A1 „ЄѓnA2) Свойства операций сложения и умножения. 1. AѓyѓnB ѓѓnBѓyѓnA коммутативность сложения. 2. AѓyѓnѓvB ѓyCѓwѓѓnѓvAѓyѓnBѓwѓyC - ассоциативность сложения. 3. A„ЄB ѓѓnB„ЄѓnA коммутативность умножения. 4. A„ЄѓnѓvB„ЄCѓwѓѓnѓvA„ЄBѓw„ЄC ассоциативность умножения 5. A„ЄѓnѓvBѓyCѓwѓѓnA„ЄBѓyѓnA„ЄC закон дистрибутивности. 3.3. Вероятность появления хотя бы одного из событий. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий A1, A2, , An ѓ»ѓn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий P (A1+A2+ЎK+An) ѓѓnѓЎѓnѓ{ѓnP (µ §) „ЄѓnP (µ §2) „Єѓ»„ЄѓnP(µ §n). Следствие. При производимых n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых события A появляется с вероятностью p , вероятность появления события A хотя бы один раз равна P(A) ѓ1ѓ{ѓnѓv1ѓ{ѓnp)n. Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие A): µ § Вероятность появления синего шара (событие B): µ § События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому искомая вероятность P(AѓyѓnB) ѓѓnP(A) ѓyѓnP(B) ѓѓnµ § Пример. На стеллаже в библиотеке стоит 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете. Решение. Пусть события A ЁC хотя бы один учебник в переплете. Событие µ § - ни один из взятых учебников не имеет переплета. Так как события µ §и противоположные, то они образуют полную группу событий, то (см. следствие теоремы сложения вероятностей событий): µ §=µ § = 1µ § Пример Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; Решение. A ЁC формула содержится в первом справочнике; B ЁC формула содержится во втором справочнике; С ЁC формула содержится в третьем справочнике. Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей. Вероятность того. Что формула содержится только в одном справочнике: PѓvAµ § ѓyѓnµ § ѓyѓnµ §ѓwѓѓn0,6„Є0,3„Є0,2ѓy0,4„Є0,7„Є0,2ѓy0,4„Є0,3„Є0,8 ѓѓn0,188. только в двух справочниках; µ § µ §. 3.4. Принцип практической невозможности. При решении многих практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых весьма мала, т. е. близка к нулю. Можно ли считать, что маловероятное событие µ §в единичном испытании не произойдет? Такого заключения сделать нельзя, так как не исключено, хотя и маловероятно, что событие µ §наступит. Казалось бы, появление или не появление маловероятного события в единичном испытании предсказать невозможно. Однако длительный опыт показывает, что маловероятное событие в единичном испытании в подавляющем большинстве случаев не наступает. На основании этого факта принимают следующий «принцип практической невозможности маловероятных событий»: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит. Естественно возникает вопрос: насколько малой должна быть вероятность события, чтобы можно было считать невозможным его появление в одном испытании? На этот вопрос нельзя ответить однозначно. Для задач, различных по существу, ответы будут разными. Например, если вероятность того, что парашют при прыжке не раскроется, равна 0,01, то было бы недопустимым применять такие парашюты. Если же вероятность того, что поезд дальнего следования прибудет с опозданием, равна 0,01, то можно практически быть уверенным, что поезд прибудет вовремя. Определение. Достаточно малую вероятность, при которой событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный 0,01, называют однопроцентным; уровень значимости, равный 0,02, называют двухпроцентным и т. д. Подчеркнем, что рассмотренный здесь принцип позволяет делать предсказания не только о событиях, имеющих малую вероятность, но и о событиях, вероятность которых близка к единице. Действительно, если событие A имеет вероятность близкую к нулю, то вероятность противоположного события близка к единице. С другой стороны, непоявление события A означает наступление противоположного события µ §.Таким образом, из принципа невозможности маловероятных событии вытекает следующее важное для приложении следствие: если случайное событие имеет вероятность очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит. Разумеется, и здесь ответ на вопрос о том, какую вероятность считать близкой к единице, зависит от существа задачи. 3.5. Контрольные вопросы 1. Что относится к основным понятиям теории вероятностей? 2. Назовите действия над событиями. 3. Виды случайных событий. 4. Дайте классическое определение вероятности. 5. Дайте статистическое определение вероятности. 6. Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий? 7. Дайте определение произведения двух событий 8. Как определяется вероятность появления хотя бы одного события 9. Как определяется условная вероятность? 10. Сформулируйте теорему совместного появления двух событий. 11. Приведите формулу для вычисления вероятностей совместных событий. Тема 4. Формула полной вероятности события и формула Байеса Важными следствиями двух теорем теории вероятностей ЁC теоремы сложения и умножения ЁC являются формула полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез и формула Байеса. Изучение какого-либо объекта исследователь начинает с предположений (гипотез). Например: экзаменатор, предлагающий студенту билет, выдвигает гипотезы, что студент учил материал и т.д. 4.1. Формула полной вероятности события Определение. Гипотезы Н1 , Н2 ,ЎK,Нn ЁC это события, в условиях которых только и может появиться событие A. Вычисляя вероятность события A, выдвигаем различные предположения (гипотезы), относительно обстоятельств, которые могут привести к событию A . Определение. Априорные гипотезы ЁC это гипотезы, полученные до предстоящего опыта, апостериорные гипотезы - это гипотезы, полученные после опыта. Теорема Полная вероятность события A равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности событий, вычисленные соответственно при каждой из гипотез. µ § где Н1 , Н2 ,ЎK,Нn ЁC совокупность гипотез, образующих полную группу событий. Доказательство. Пусть A - событие, вероятность которого надо вычислить. Полагаем, что это гипотезы Н1, Н2, ЎK, Нn несовместимы, а их совокупность охватывает всевозможные события, каждое из которых может привести к появлению события A, т.е. они образуют полную группу несовместимых событий. Следовательно, PѓvH1ѓwѓyѓnPѓvH2 ѓwѓyѓ»PѓvHnѓwѓ1, где P (H1) , P(H 2) , ЎK , P(Hn )- вероятности соответствующих гипотез. Найдем полную вероятность события А. Событие А может наступить только вместе с одним из событий Н1 , Н2 ,ЎK,Нn. Вероятность наступления гипотезы H1 и вместе с ним события А на основании теоремы умножения равна ѓnP (H1 и A) ѓѓnP (H1) „ЄѓnP(A/H1) Но событие А может наступить, вместе с событием H2 . И тогда P (H2 и A) ѓѓnP (H2) „ЄѓnP(A/H2) и т.д. Для определения полной вероятности события А применяем теорему сложения вероятностей несовместных событий. PѓvAѓwѓnѓѓnPѓvH1 и AѓwѓyѓnPѓvH2 и Aѓwѓyѓ»ѓyѓnPѓvHnи Aѓwѓ| Заменяя слагаемые их значениями, получим µ § Пример. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара, во второй ЁC 2 белых и 5 черных, в третьей ЁC 10 черных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый. Решение. Будем считать гипотезами H1 , H2 и H3 выбор урны с соответствующим номером. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то P (H1) ѓѓnP(H2) ѓѓnP(H3) ѓµ §ѓ| Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы: 2µ §, µ §, µ §. Тогда µ § 4.2. Формула Байеса Формула Байеса ЎЄ одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза), имея на руках лишь косвенные тому подтверждения (данные), которые могут быть неточны. Полученную по формуле вероятность можно далее уточнять, принимая во внимание данные новых наблюдений. Томас Байес (1702 ЎЄ1761) ЎЄ английский математик. Математические интересы Байеса относились к теории вероятностей. Он сформулировал и решил одну из основных задач этого раздела математики (теорема Байеса). Работа, посвященная этой задаче, была опубликована в 1763 году, уже после его смерти. Формула Байеса применяется, когда событие А, которое может появиться только с одной из гипотез Н1 , Н2 ,ЎK,Нn, образующих полную группу событий, произошло, и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез, т.е. найти апостериорные условные вероятности . Рассмотрим полную группу несовместных событий Н1 , Н2 ,ЎK,Нn, вероятности появления которых PѓvH1ѓwѓzѓnPѓvH2 ѓwѓzѓ»PѓvHnѓwѓn известны. Событие А может наступить только вместе с каким-либо из событий Н1 , Н2 ,ЎK,Нn . Вероятность появления события А по формуле полной вероятности определяется как µ § Пусть событие А произошло, тогда это изменит вероятности гипотез PѓvH1ѓwѓzѓnPѓvH2 ѓwѓzѓ»PѓvHnѓwѓn Определим теперь условные вероятности осуществления этих гипотез в предположении, что событие А произошло: µ §: µ §: µ § Учитывая, что µ §=µ §, получим µ § Аналогично можно найти апостериорные вероятности остальных гипотез, используя общую формулу µ § где k=1,2, ЎK, n Формула называется ЁC формулой Байеса. Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Это дает возможность корректировать управленческие решения в экономике, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе. Замечание Психологические эксперименты показали, что люди при оценках вероятности игнорируют различие априорных вероятностей (ошибка базовой оценки), и потому правильные результаты, получаемые по теореме Байеса, могут очень отличаться от ожидаемых. Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий каждого из которых равны µ §0,6 и µ §0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок. Решение. Пусть событие А ЁC одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: H1 ЁC первый попал, а второй промахнулся, H2 ЁC первый промахнулся, а второй попал, H3 ЁC оба попали, H4 ЁC оба промахнулись. Гипотезы Н1 , Н2, Н3,H4 образуют полную группу событий. Априорные вероятности этих гипотез: pѓvH1ѓwѓnѓѓn0,6 „Єѓn0,3 ѓѓn0,18, pѓvH2 ѓwѓnѓѓn0,4 „Єѓn0,7 ѓѓn0,28, pѓvH3 ѓwѓnѓѓn0,6„Є0,7 ѓѓn0,42 , pѓvH4 ѓwѓnѓѓn0,4 „Єѓn0,3 ѓѓn0,12. Условные вероятности µ §=µ §=µ § Следовательно, полная вероятность: µ § Вычислим апостериорную вероятность первой гипотезы Н1, с учетом того факта, что после выстрелов в мишени оказалась одна пробоина (событие A произошло). Применяя формулу Байеса, получим: µ § Формула Бейеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной. События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они ЎЄ предполагаемые события, повлекшие данное. Можно также уточнять вероятность гипотезы, учитывая другие имеющиеся данные (другие произошедшие события). Для учета каждого следующего события нужно в качестве априорной вероятности гипотезы подставлять ее апостериорную вероятность с предыдущего шага. 4.3. Контрольные вопросы 1. Как определяется условная вероятность? 2. При каких условиях применяется формула Байеса? 3. В каких случаях применяется формула полной вероятности? Каким свойствам должны удовлетворять гипотезы? 4. Что такое априорные и апостериорные вероятности? 5. Если все априорные вероятности гипотез одинаковы, то остаются ли их апостериорные вероятности также всегда одинаковыми? 4.4. Задачи для самостоятельно решения 1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10 000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета? Ответ P=0, 02. 2. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; вероятность выбить 9 очков равна 0.3; вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков. Ответ P=0,4. 3. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хоти бы одна стандартная. Ответ P=µ §. 4. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали. Ответ P=µ § |
Похожие:
 | Методичекские рекомендации по дисциплине б. 5 Теория вероятностей... Целями освоения дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика являются | | Вопросы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»... «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений.... |
| Рабочая программа дисциплины (модуля) «Математическая статистика и теория вероятностей» Целью освоения дисциплины «Математическая статистика и теория вероятностей» являются |  | Исф фгбоу впо «СПбгпу» И. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике |
| Темы рефератов Теория вероятностей Эбс университетская библиотека onlin гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : Учебное пособие для вузов. 12-е... | | Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей «Теория вероятностей и математическая статистика» студентами 22-ой группы специальностей средних профессиональных учебных заведений.... |
| Теория вероятностей и математическая статистика Вам предлагаются обучающие тестовые задания по теории вероятностей. В этих заданиях вы должны отметить правильный ответ | | Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва, «Наука», 1970 656с Баврин И. И.: Теория вероятностей и математическая статистика, Москва, Высшая школа, 2005 -160с |
| Программа дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая статистика... Математическая статистика и теория вероятности [Текст]: рабочая учебная программа. Тюмень: гаоу впо то «тгамэуп». 2013. – 22 с |
| Рабочая программа дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования | | Рабочая программа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» Рабочая программа составлена на основании рабочего учебного плана по фгос утвержденного ученым советом юргту(нпи) протоколом №4 от... |
| Рабочая программа учебной дисциплины Теория вероятностей и математическая статистика разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего... | | Теория вероятностей и математическая статистика Разберём весьма частный, однако, часто встречающийся случай: состоит из конечного числа n равновероятных событий |
| Учебно-методический комплекс теория вероятностей и математическая статистика Цели: образовательная – ознакомление обучающихся с основами развития пищевой продукции, спроса на продукцию и услуги оп | | Рабочая программа дисциплины б. 3 «Теория вероятностей и математическая статистика» Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления подготовки 080100 экономика от 21.... |
