2. Бинарные операции на множестве. Свойства операций. Специальные элементы множества относительно данной операции
Введение
Историю алгебры можно разбить на два основных периода. Первый длится с времени таких древнейших цивилизаций, как египетская и вавилонская, примерно до XIX в., второй - с начала XIX в. до наших дней.
В раннюю пору своего развития математика делится на отдельные предметы в зависимости от объектов, которые в данном предмете рассматриваются: геометрия была наукой о форме, арифметика - о числах, алгебра - о соотношениях и свойствах чисел вообще (т.е. чисел, выраженных произвольными символами, чаще всего буквами. Роль алгебры была более или менее четко осуществлена в эту эпоху: под x всегда подразумевалось число. Естественно, это новые идеи в алгебре, появившиеся в начале XIX в., родились на основе того, что было к тому времени известно в алгебре. Одним из стимулов к развитию оказалось понятие квадратного корня из минус единицы - величина, которую обычно обозначают через i. Это понятие в XVII- XVIII в.в. использовалось при решении широкого круга задач, но никто не мог удовлетворительно истолковать его как число. В начале XIX в. было предложено два выхода из затруднительного положения:
– в первом из них использовался абстрактный метод, в котором i представлялось как ряд достаточно произвольных операций над парами чисел,
– во втором, i получало конкретную интерпретацию и отождествлялось с геометрической операцией «поворот на прямой угол на плоскости».
Оба указанных решения подсказали дальнейшие исследования. Раз введение i в элементарную алгебру дало превосходные результаты, то появление еще нескольких символов также может оказать полезным. Правила обращения с этими символами можно было бы тогда строить исходя из конкретного случая. Если i соответствует повороту на плоскости, то почему бы не обратиться к поворотам в трехмерном пространстве и посмотреть, не послужит ли это толчком для дальнейшего развития алгебры? Такого рода вопросы привели математиков к дальнейшим исследованиям и открытию в 1843 г кватернионов англичанином Гамильтоном. В алгебре кватернионов были введены два новых символа, i и j, для которых i2= -1, j2= -1, ji= -ij.
Открытие кватернионов произвело ошеломляющее впечатление на многих ведущих математиков-современников Гамильтона, оно считалось последним словом в математике и идеальным методом решения большинства алгебраических проблем. На самом деле кватернионы были скорее первым, а не последним словом. Барьер был преодолен: стала развиваться алгебра, отбросившая некоторые из основных положений древней алгебры. Вскоре математики стали искать другие пути, которые дали бы им возможность дополнить обычные числа новыми символами, и пришли к так называемым гиперкомплексным числам. Затем математики стали спрашивать: а почему следует начинать с обычных чисел? Может быть, лучше рассмотреть любой набор символов, задавших определенными правилами обращения с ними? Понятие «алгебры» постепенно расширилось настолько, что стало включать в себя любую систему рабочих символов вместе с приписанными им правилами. Таким образом, рамки алгебры как математической науки значительно расширились, причем некоторые определённые алгебраические системы смогли быть применены к решению частных задач.
Построение алгебраических систем связано с понятиями множества и операций.
Понятие внутренней бинарной операции
Из школьного курса хорошо известны операции умножения и сложения чисел и обратные им операции вычитания и деления. Кроме того для чисел введены операции возведения в степень и извлечения корня. Для векторов плоскости или пространства введены операции сложения, вычитания, умножения на число, скалярное умножение, векторное умножение, смешанное умножение. Мы познакомились с целым рядом операций над матрицами: сложение, вычитание, умножение на число, умножение друг на друга, транспонирование. Все это создает основу для введения общего понятия операции, которая позволяет с единой точки зрения изучить операции с числами, множествами, функциями и другими объектами.
Пусть дано непустое множество М, для элементов которого определено отношение равенства.
Определение. Мы будем говорить, что на множестве М определена внутренняя бинарная операция f, если нам известен закон, по которому любой упорядоченной паре (x, y) элементов из МхМ ставится в соответствие не более одного элемента z из множества М.
Сказанное словами будем отмечать символической записью вида: f:(x, y)→z. Если для данной пары (x, y) элемент типа z существует в М, то z называют композицией элементов x и y относительно операции f и обозначают символом xfy, т.е. z = xfy.
Итак, для данной упорядоченной пары элементов множества М относительно операции f композиция может существовать, а может и не существовать. Но если она существует, то определена она однозначно.
Например, пусть М - множество натуральных чисел. Под операцией f будем понимать обычное вычитание: f:(x, y)→ z = x-y. Для пары(5, 3) композиция 5-3 существует, т.к. 5-3 = 2N. Для пары (1, 6) композиция 1-6 не существует, т.к. 1-6N.
Операцию на множестве М можно задавать различными способами.
Если множество М - конечно и все его элементы известны, то операцию f на М удобно задавать в виде таблицы Кэли.
Это квадратная таблица. В верхнем левом углу ставится знак рассматриваемой операции (в нашем случае- f). Под этим знаком в первом столбце записываются все элементы множества М. Это - первые компоненты x пар (x, y), для которых будут указываться композиции. В первой же строке таблицы напротив символа f тоже будут записаны все элементы множества М. Это будут вторые компоненты y. В клеточке на пересечении соответствующей строки их столбцу для пары (x, y) будет стоять композиция z =xfy.
Например. M = {○, ●, #} Зададим на множестве М какую-нибудь операцию f:
Операция задана следующим образом:
(○, ○) → ○ f ○ = ●,
(○, ●) → ○ f ● - не существует,
(○, #) → ○ f # = ○,
(●, ○) → ● f ○ - не существует,
(●, ●) → ● f * = ○,
(●, #) → ● f # - не существует,
(#, ○) → # f ○ - не существует,
(#, ●) → # f ● - не существует,
(#, #) → # f # = #.
Если множество М - бесконечное, то операция f задается в виде правила получения композиции элементов x f y по данным элементам x и y из множества М.
Например, М – множество матриц, размера m×n с вещественными элементами. Если
A = (aik), B = (bik), то A + B = C = (cik), где cik = aik + bik . Так мы задаем операцию сложения (+) на множестве матриц.
При рассмотрении различных примеров мы можем выделить специальные свойства операций.
|
