«Решение неравенств с одной переменой»
Скачать 328.88 Kb.
|
1. Методологические основы изучения темы «Решение неравенств с одной переменой» 1.1. Цели и задачи изучения темы Изучение темы «Решение неравенств с одной переменой» направлено на достижение следующих целей: – усвоить, углубить и расширить знания методов, приёмов и подходов к решению неравенств с одной переменной; – формирование интеллектуальных умений и навыков самостоятельной и творческой математической деятельности, определённых новыми государственными стандартами. Достижение поставленных целей возможно через решение неравенств с одной переменой, что позволяет решать следующие задачи: – обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений при решении неравенств с одной переменой (линейных, квадратных, целых и дробно-рациональных и сводящихся к ним); – обеспечение прочной математической подготовки к ГИА; 1.2. Требования к знаниям и умениям В результате изучения темы учащиеся должны уметь выполнять следующие учебные действия: – исследовать и решать линейные неравенства; – записывать, обозначать, геометрически изображать числовые промежутки; – раскладывать квадратный трёхчлен на множители; – решать неравенства графически; – исследовать и решать квадратные (биквадратные) неравенства; – исследовать и решать дробно-рациональные неравенства; – решать квадратные неравенства двумя способами. 1.3. Формы контроля При изучении данной темы могут быть предусмотрены следующие формы контроля: – промежуточные и итоговые тесты; – выполнение и защита индивидуальных и групповых проектов по проблеме решения неравенств с одной переменной; – самостоятельное решение задач КИМ ГИА. 1.4. Культурно-исторический фон изучения темы Понятие «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства возникли в связи со счётом предметов и необходимость сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Архимед (III в. до н.э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти седьмых первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа п. Ряд неравенств приводит в своём знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух положительных не больше их среднего арифметического, то есть что верно неравенство. В «Математическом собрании Папа александрийского (III в.) доказывается, что если (а, b, c и d – положительные числа), то ad >bc. Однако все эти рассуждения проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII- XVIII вв. Знаки < и > ввел английский математик Т. Гарриот (1560 – 1621), знаки ≤ и ≥ французский математик П.Буге (1698 – 1758). Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач. 2. Теоретические основы решения неравенств Два выражения (числовые или буквенные), соединённые одним из знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥), «меньше или равно» (≤) образуют неравенство (числовое или буквенное). Любое справедливое неравенство называется тождественным. Например, тождественны следующие неравенства: 3 · 7 – 20 > 2 · 4 – 10, a2 ≥ 0, | – 5 | > 3. (Почему?) В зависимости от знака неравенства мы имеем либо строгие неравенства ( > , < ), либо нестрогие ( ≥ , ≤ ). Запись 5a ≤ 4 b означает, что 5a либо меньше 4, либо равно ему. Буквенные величины, входящие в неравенство, могут быть как известными, так и неизвестными. Решить неравенство – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы неравенство было тождественным. Решить систему неравенств – значит найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы все неравенства, входящие в систему, были тождественны одновременно. Основные свойства неравенств. 1. Если a < b, то b > a ; или если a > b, то b < a . 2. Если a > b, то a + c > b + c; или если a < b, то a + c < b + c. То есть, можно прибавлять (вычитать) одно и то же число к обеим частям неравенства. 3.Если a > b и c > d, то a + c > b + d . То есть, неравенства одного смысла (с одинаковым знаком > или < ) можно почленно складывать. Заметим, что неравенства одного смысла нельзя почленно вычитать одно из другого, так как результат может быть неверным. 4.Если a > b и c < d, то a – c > b – d . Или если a < b и c > d, то a – c < b – d То есть, неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать одно из другого, и брать знак неравенства, являющегося уменьшаемым. 5.Если a > b и m > 0, то ma > mb и a/m > b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. Неравенство при этом сохраняет свой знак. 6.Если a > b и m < 0, то ma < mb и a/m < b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число. Неравенство при этом меняет свой знак на обратный. Некоторые важные неравенства. 1. | a + b |  | a | + | b | . Модуль суммы меньше или равен сумме модулей.2. a + 1 / a  2, ( a – положительно ). Равенство будет только при a = 1.  ( a и b – положительны ). Равенство только при a = b. Среднее геометрическое не больше среднего арифметического. В общем случае это неравенство имеет вид:  Числа a1 , a2 , …, an - положительны. Равенство имеет место, если только все числа равны. 3. Основные виды неравенств, изучаемые в основной школе |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Урок на тему «Решение неравенств второй степени с одной переменной» Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать тему «Решение неравенств второй степени с одной переменной» |  | Решение неравенств второй степени с одной переменной Познакомить с алгоритмом решения неравенств на основе свойств квадратичной функции |
| Урок алгебры в 8 классе по теме: «Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем» Урок систематизации и обобщения изученного материала по теме «Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем» | | Урока: Обобщение и систематизация знаний по теме «Решение линейных... Обобщить и закрепить умения и навыки решения линейных неравенств с одной переменной и их систем; проконтролировать приобретённые... |
| Конспект урока математики по теме «Решение линейных неравенств с одной переменной и их систем» Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №5 | | Конспект урока по теме: «решение неравенств второй степени с одной переменной» Введение. Алгоритм. Программа. Язык программирования Паскаль. Техника безопасности |
| Решение систем неравенств с одной переменной Мо РФ №1312 от 09. 03. 2004 года. Программа предусматривает в 7 классе обучение в объеме 3 час в неделю, 102 часа в год | | Конспект урока на обобщающее повторение алгебры в 11 классе по теме... Повторение и обобщение знаний учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» |
| Тема урока: Иррациональные уравнения и неравенства Цель урока – обобщить основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств; повторить свойства показательной и логарифмической... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: Создать условия для формирования, систематизации, коррекции знаний, умений и навыков учащихся по теме «Решение неравенств... |
| Урок по алгебре и математическому анализу в 10 классе по теме «Решение... Обучающая цель: Изучить возможности применения метода интервалов для решения тригонометрических неравенств | | Известно, что задачи на решение уравнений и неравенств составляют... Результаты срезов знаний школьников и практика проведения егэ показывают, что решение таких уравнений и неравенств, особенно со знаком... |
| Урок: «Математический калейдоскоп». Тип урока : Урок обобщения и систематизации знаний. Тема Тема: Подготовка к контрольной работе по темам: «Решение неравенств с одной переменной с помощью графика квадратичной функции и методов... | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Формирование знаний о неравенствах с одной переменной, о том, что является решением неравенства с одной переменной. Формирование... |
| Тема: Сложение и умножение числовых неравенств. Тип урока Обучающие: Рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств и научить применять их при оценке выражений,... | | Программа элективного курса для учащихся 11 классов решение уравнений и неравенств Наибольшую сложность представляют задания с модулем, с параметром, иррациональные неравенства и умение их решать во многом предопределяют... |
