 Тема урока: Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии.
Тип урока: усвоение новых знаний и первичное закрепление.
Цель урока: Формирование понятия геометрической прогрессии через понятие арифметической прогрессии.
Познакомить со свойствами геометрической прогрессии и формулой n-го члена. Закрепить полученные знания на примерах решения задач.
Задачи урока:
Обучающие:
ввести понятие геометрической прогрессии;
развитие общеучебных умений и навыков;
Развивающие:
работа по овладению учебно-интеллектуальных умений (сравнение, обобщение, исследовательские);
расширение эрудиции по предмету;
Воспитательные:
создание комфортной атмосферы на уроке;
привитие навыков самооценки;
привитие интереса к предмету.
Содержание урока:
Сообщение темы и цели урока.
Самостоятельная работа с проверкой в классе.
Организация изучения понятия геометрической прогрессии и введение формулы n-го члена геометрической прогрессии.
Физкультминутка.
Первичное применение знаний и умений.
Подведение итогов работы на уроке.
Домашнее задание.
Оборудование: компьютер, интерактивная доска, презентация «Геометрическая прогрессия», учебник Алгебра для 9 класса, Ю.Н.Макарычев.
ХОД УРОКА
1. Сообщение темы и цели урока
Здравствуйте, ребята! Садитесь. Проверьте, пожалуйста, наличие у вас учебника, тетради, ручки, дневника. ( слайд 1)
Ребята! Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил «Учиться можно только весело…чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом». Так давайте, сегодня, на уроке будем следовать совету писателя. Будем внимательны, активны и поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в дальнейшей жизни. Из сказанного сформулируем девиз сегодняшнего урока « Прогрессио – движение вперёд!» (слайд 2)
2. Самостоятельная работа .
В начале урока вы напишите самостоятельную работу. В конце работы я попрошу вас перенести в тетрадь только ответы. Затем листочки сдаем и проверяем решения и ответы. На решение самостоятельной работы отводится 5 минут, на 6-ой минуте переносим ответы в тетрадь.(слайд 3)
1 вариант
Найдите тридцать второй член арифметической прогрессии, если первый член 65 и разность -2.
Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, если а = 3n-1, n – натуральное число.
Найдите сумму семи первых членов арифметической прогрессии 8;4;0;…
Продолжите числовую последовательность, записав еще 2 члена: 1;2;4;…
2 вариант
1.Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии, если первый член -9 и
разность 4.
2.Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, если а = 4n+2, n –
натуральное число.
3.Найдите сумму семи первых членов арифметической прогрессии -5;-3;-1;…
4.Продолжите числовую последовательность, записав еще 2 члена: -2;6;-18;…
Время вышло переносим ответы в рабочую тетрадь и листочки сдаем. На экране появляются ответы .(слайд 4)Ученики сверяют ответы и проверяют решения. Поднимите руки, те ребята которые справились со всеми заданиями? Вы получате-5. Теперь те кто не справился с одним заданием? Вы получаете-4. Молодцы! На следующем уроке вам выдадут листочки с оценками и каждый узнает свою оценку.
3. Изучение нового материала.
Обратите внимание на 4-ое задание самостоятельной работы. Каким образом вы продолжили последовательность? (Ученики отвечают.) (слайд 5)То есть каждый следующий член равен произведению предыдущего на некоторое одно и то же число. Такая числовая последовательность в математике называется геометрической прогрессией.
Итак, тема сегодняшнего урока «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии».(слайд 6)
Сегодня вам кажется, что знание геометрической прогрессий вам в жизни не пригодится, но, к сожалению это не так. Вот послушайте, в какое нелепое положение попал даже правитель государства, не знающий геометрическую прогрессию.(слайд7)
По преданию, шахматы были изобретены в пятом веке до нашей эры в Индии. Индусский царь был так восхищен игрой, что решил отблагодарить изобретателя шахмат. Который, в свою очередь, попросил следующую награду: выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую клетку – 2 пшеничных зерна, за третью – 4, за четвертую – 8 зерен, за пятую – 16 зерен и т.д. до 64-й клетки доски, т.е. за каждую следующую клетку доски следует выдавать в 2 раза больше, чем за предыдущую. Царь был не доволен просьбой, т.к. считал, что изобретатель, прося столь ничтожную награду, оскорбляет его. И тогда придворный математик стал считать, сколько зерна должен получить изобретатель. Для того чтобы подсчитать величину награды, мы должны сложить зерна, лежащие на всех клеточках доски, т.е. найти сумму, которую видите. (слайд 8). Когда подсчитали сумму зерен, то количества оказалось очень большое число. Общее число зерен составит 18 446 744 073 709 551 615. А сумма всех зерен больше триллиона тонн.18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615.
Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику, и Антарктиду, и получить богатый урожай, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться с просителем. Так стоило ли принцу смеяться?(слайд 9)
Но вернемся к теме урока. Как вы думаете, что такое геометрическая прогрессия? С какой последовательностью мы уже знакомы? Дайте определение арифметической прогрессии (появляется на слайде) и попробуйте сформулировать определение геометрической прогрессии. (Ученики отвечают и по щелчку на слайде появляется определение геометрической прогрессии). А теперь запишем в таблицу определение геометрической прогрессии.(слайд 10)
– Выберите из последовательностей геометрические прогрессии. (слайд 11)
А) 3; 6; 9; 12…
Б) 5; 5; 5; …
В) 1; 2; 4; 8; 16;
Г) – 2; 2; – 2; 2…
-Как получается каждый следующий член геометрической прогрессии? b2=b1*q
-Математическая формулировка определения: bn+1 = bn q. (слайд 12) Это рекуррентная формула геометрической прогрессии.
где bn ≠ 0, q – некоторое число.
-Запишите данную формулу в таблицу и выразите q из формулы. (слайд 13)
q=bn+1/bn
q – будем называть знаменателем геометрической прогрессии.(слайд 14)
-Запомните! q 0.
-Найти знаменатель геометрической прогрессии:(слайд 15)
а) 3; 6; 12; 24;…
б) 3; 3; 3; 3; …..
в)1; 0,1; 0,01; 0,001;…
-Давайте выведем формулу n-го члена геометрической прогрессии?
-Дана геометрическая прогрессия (bn ): 2; 6; 18; 54;… со знаменателем 3.(слайд 16)
- Назовите члены последовательности.
- Как получили второй член последовательности?
6= 2 3
18= 6 3 = 2 3 3 = 2 32
54= 18 3 =2 32 3 = 2 33
-Можно ли записать формулу в общем виде?
-Запись на доске: bn =bn-1q = b1qn-1 (слайд 17)
-Вывод : мы получили формулу n-го члена геометрической прогрессии
bn= b1qn-1.
-Запишем формулу в таблицу.
-Найдите b6, b20, b117, bk. bk+3 (слайд 18)
-Умнейшая вельможа Прогрессия дружна не только с Алгеброй, но и Геометрией и Физикой, с Химией и Биологией.
Интересные факты:
1) Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.
2) Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.
Какие величины в треугольнике образуют геометрическую прогрессию?
3) Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.
4) Экономика. Вклады в сбербанке ежегодно увеличиваются на одинаковый процент.
5) Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.
4. Физкультминутка.
- Из курса биологии известно, что существует много невидимых бактерий и вирусов и среди них те, которые вызывают кашель, насморк, т.е. острые респираторные заболевания (ОРЗ) – коварные и опасные заболевания. Посмотрите на экран.( Слайд 19.)
Здесь вы видите модель распространения вирусного заболевания: больной человек ( источник инфекции) передаёт заразное начало болезни другому человеку или другим людям, и каждый вновь заболевший вовлекает в этот процесс всё большее количество людей, т.е. возникает эпидемия. Недаром в народе говорят, инфекция распространяется с геометрической прогрессией. Есть много различных способов профилактики и лечения ОРЗ.
- Какие профилактические мероприятия вы проводите?
Я предлагаю вам один из самых простых и безвредных способов – массаж особых зон на коже. Массаж делать ежедневно 3 раза в день, 9 раз в одну сторону и 9 раз в другую.
Итак, смотрим на меня , повторяем и выполняем.
Массируем шею сзади – сверху вниз.
Массируем точку в области носа и гайморовой полости.
Массируем точку, находящуюся над бровями, для улучшения кровоснабжения в области глазного яблока и лобных отделов мозга.
На руке- место соединения большого и указательного пальцев – нормализует многие функции организма.
5.Первичное применение знаний и умений.
Но вернемся к геометрической прогрессии.
1. Запишите первые 5 членов геометрической прогрессии , если первый член -2, а знаменатель -0.5. Ответ: -2; 1; -0,5; 0,25; - 0,125 (слайд 20)
2. Найти пятый член геометрической прогрессии: 2; – 6…(слайд 21)
3. b1 =6, q = 2 (слайд 22)
Найти: b2, b3,b4,b5.
4. b1 = - 24, q = - 1,5 (слайд 23)
Найти: b2, b3,b4,b5.
5. По условию b1 = 2, b5 = 162 (слайд 23)
Найти: b2, b3,b4
6.В этом году вам предстоит пройти ГИА по математике в форме тестов. Предлагаю выполнить тест, который позволит подготовиться к экзамену, подобные задания часто встречаются в вариантах тестов ГИА.
6.Итог урока
Мы изучили две прогрессии. Назовите общее и различное в определении и свойствах арифметической и геометрической прогрессии? Где применяется геометрическая прогрессия?
Представьте себе, что вы стоите перед дилеммой, либо получить 100 тыс. долларов прямо сейчас, либо в течении 28 дней получать монетку в 1 цент, который ежедневно удваивается. Чтобы вы предпочли?
Большинство людей выберет 100 тыс. долларов, думая, что это большая сумма, но они не учитывают эффект геометрической прогрессии. К 28 дню вы получите 2,68 млн. долларов.
Урок сегодня завершён
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут!
- Мне хочется вернуться к нашему девизу «Прогрессио – движение вперёд!»
-Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса?
-В чём заключается наш прогресс?
- Скажите, что у нас не получилось?
7.Домашнее задание: придумать задачу, где использовалась бы геометрическая прогрессия.(слайд 24)
-На этом наш урок заканчивается. Всем спасибо! До свидания! (слайд 25)
Приложения к уроку
Таблица
Прогрессия
|
Aрифметическая прогрессия
|
Геометрическая прогрессия
|
1. Определение.
|
Числовая последовательность, каждый член, которой, начиная со второго равен предшествующему члену сложенному с некоторым одним и тем же числом d , d – называется разностью арифметической прогрессии
|
|
2. Обозначение.
|
|
|
3. Допустимые значения.
|
 - любые
|
|
4. Рекуррентная формула.
|
|
|
5. Нахождение
|
разности
|
знаменателя
|
6. Формула n-го члена.
|
|
|
7. Характеристическое свойство.
|
|
|
8. Формулы суммы n первых членов.
|
|
| |
