Реферат по алгебре на тему: «Функции»
Скачать 1 Mb.
|
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Спасская средняя общеобразовательная школа» с. Батурино, Томского района, Томской области Реферат по алгебре на тему: «Функции» Выполнила: ученица 11 класса Киселёва Кристина Валерьевна Проверил: учитель математики Огребо Любовь Юрьевна 2011 г. Содержание НазваниеСтраницаВведение3Понятие «функция»3I. Элементарные функции71. Многочлен82. Рациональная функция103. Степенная функция114. Логарифмическая функция125. Тригонометрические и обратные им функции136. Линейная функция167. Показательная функция188. Дробно-линейная функция199. Квадратичная функция19II. Неэлементарные функции221. Функции интегралы221.1.0. Бета-функция221.2.0. Гамма-функция231.3.0. Интегральный логарифм241.4.0. Интеграл вероятности251.5.0. Эллиптические функции262. Функции-ряды272.1.0. Гипергеометрические функции272.2.0. Дзета-функция Римана283. Неэлементарные решения дифференциальных уравнений293.1.0. Сферические функции293.2.0. Цилиндрические функции293.3.0. Функция Эйри324. Необычные функции344.1.0. Функция Дирихле344.2.0. Функция Хевисайда355. Функции, выражающие свойства чисел355.1.0. Арифметическая функция355.2.0. Модуль365.3.0. Сигнум375.4.0. Факториал38Заключение39-40Список литературы41 Введение. В наши дни каждый школьник получает первичные знания по математике. Еще до школы ребята учатся считать, а затем на уроках получают представление о неограниченности числового ряда, об элементах геометрии, о дробных и иррациональных числах, изучают начала алгебры и математического анализа. Эти знания абсолютно необходимы каждому человеку, независимо от того, кем он станет в будущем: рабочим, инженером, механизатором, врачом, офицером или ученым. Зачатки счета теряются в глубине веков и относятся к тому периоду истории человечества, когда еще не было письменности. Писать человек научился тогда, когда он довольно далеко продвинулся в умении считать. «Когда математика стала изучать переменные величины и функции, лишь только она научилась описывать процессы, движение, так она стала необходима всем» (Фридрих Энгельс). На сегодняшний день без функций невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, и бег океанской волны или закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологичных процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что все это – динамические процессы, которые описывает функция. Они отражают взаимосвязи, существующие между различными жизненными категориями (объектами) т.е. фактически являются отражениями функциональных зависимостей и доказывают, что функция - это сама жизнь! Кое-что в реферате может все-таки остаться непонятным читателю. Но ничего страшного, однако, в этом нет. Именно неполное понимание каких-то вопросов, возможно, породит у читателя желание разобраться в них до конца и явится побудительным мотивом для более деятельного знакомства с функциями в математике, имеющих большое познавательное и практическое значение. Понятие «функция» Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика и т.д. – имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов. В различных науках и областях человеческой деятельности возникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Математика рассматривает абстрактные переменные величины и в отвлеченном виде, изучает различные законы их взаимосвязи, которые на математическом языке называются функциональными зависимостями, или функциями. Например, в соотношении у = хІ геометр или геодезист увидит зависимость площади у квадрата от величины х его стороны, а физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы у от сопротивления воздуха или воды от скорости х движения. Математика же изучает зависимость у = хІ и ее свойства в отвлеченном виде. Она устанавливает, например, что при зависимости у = хІ увеличение х в 2 раза приводит к четырехкратному увеличению у. И где бы конкретно не появилась эта зависимость, сделанное абстрактное математическое заключение можно применять в конкретной ситуации к любым конкретным объектам. Понятие функции для математики и ее приложений, связанных с изучением переменных величин, столь же фундаментально, как понятие числа при изучении количественных соотношений реального мира. Математическое описание понятия функциональной зависимости или функции состоит в следующем. Пусть Х→Y – какие-то множества. Говорят, что имеется функция, определенная на множестве Х со значениями во множестве Y, если в силу некоторого закона f каждому элементу х Є Х (Є – означает «принадлежит») соответствует определенный элемент у Є Y. В этом случае множество Х называется областью определения функции; символ х его общего элемента – аргументом функции или независимой переменной; соответствующий конкретному значению х ЄХ аргумента х элемент у ЄY называют значением функции на элементе х значением функции при значении аргумента х= х и обозначают через f (х ). При изменении значений аргумента значения у= f(х) Є Y, вообще говоря, меняются (в зависимости от значения х). По этой причине величину у= f(х) часто называют зависимой переменной. Совокупность всех значений, которые принимает функция на элементах множества Х, называют множеством значений функции и иногда обозначают через f(Х). В частности, если это множество состоит только из одного элемента у Є Y, то функция называется постоянной на множестве Х. Например, авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского авиалайнера. Пусть Х – множество пассажиров, а Y – множество кресел салона. Тогда возникает естественное соответствие f: каждому пассажиру х Є Х сопоставляется то кресло у= f (х), в котором он сидит. Мы имеем здесь, таким образом, простой пример функции, областью определения которой является множество Х пассажиров, а областью значений – множество f(Х) занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла Y, то множество значений функции будет подмножеством Y, не совпадающим со всем множеством Y. Если в кресле у находятся два пассажира х΄ и х˝ (например, мать и ребенок), то это никак не противоречит определению функции f, которая и х΄ , и х˝ однозначно ставит в соответствие кресло у . Правда, такая функция принимает одно и то же значение у , при разных значениях х΄ и х˝ аргумента, подобно тому, как числовая функция у= f (х)= хІ принимает одно и то же значение 9 при х=-3 и х=+3. Если однако, какой-то пассажир х ухитрится сесть сразу в два кресла у΄ и у˝ , то нарушится принцип однозначной определенности значений функции, поэтому такая ситуация не является функциональной в смысле данного выше определения функции, поскольку требуется, чтобы каждому значению х аргумента соответствовало одно определенное значение у= f (х) функции. В зависимости от природы множеств Х, Y термин «функция» в различных отделах математики имеет ряд полезных синонимов: соответствие, отображение, преобразование, оператор, функционал и т.д. Отображение – наиболее распространенный из них. Для функции (отображения) приняты следующие обозначения: f: Х→Y и Х Y. Если из контекста ясно, каковы область определения и область значений функции, то используют также обозначения х→ f (х) или у= f (х), а иногда обозначают функцию вообще одним лишь символом f. Вместо стандартной тройки (Х, f ,Y) для обозначения функции можно, разумеется, использовать иные любые буквы, например рассматривать отображения: φ:А→В, ψ:U→Y и т.д. Когда функцию f: Х→Y называют отображением, значение f (х) Є Y, которое она принимает на элементе х Є Х, обычно называют образом элемента х. Рассмотрим ещё несколько примеров, поясняющих понятие функции. В них употребляются названные синонимы и введенная терминология. Формулы S= хІ и V= хі устанавливают функциональную зависимость площади S квадрата и V объема куба от длины х стороны квадрата и ребра куба соответственно. При такой интерпретации каждая из этих формул задают f: → , определенную на множестве положительных чисел со значениями, лежащими в том же множестве . Здесь и область определения, и область значений функции являются числовыми множествами. Такие функции обычно называют числовыми. Числовые функции являются основным, но далеко не единственным видом функций. Пусть А – множество всевозможных квадратов. Каждый квадрат а Є А имеет одну сторону вполне определенной длины l(а). Соответствие а→ l(а) порождает, таким образом, действительнозначную функцию f: А→ , определенную на множестве А квадратов и принимающую значения в множестве положительных чисел. Пусть В – множество кубов в пространстве. Положительному числу x Є поставим в соответствие один выбранный из множества В куб b(x) с ребром, длина которого равна x. Тогда возникает функция f: → В, определенная на множестве чисел , значения которой лежат в множестве В кубов. Мы часто говорим «рассмотрим последовательность элементов множества Z», имея ввиду, что каждому числу n Є N ставится в соответствие некоторый элемент множества Z. Таким образом, последовательность – это функция f: N→ Z, заданная на множестве натуральных чисел. Если на прямой ввести две системы координат , , имеющие одинаковый масштаб (единицу длины), то координаты х и х΄ одной и той же точки прямой в этих системах будут связаны соотношением х΄= х – с, где с– координата в системе начала отсчета системы . Функция х΄= х – с в этом случае обычно называется преобразованием координат. Термин «преобразование» часто встречается в геометрии, а также в физике в связи с разнообразными преобразованиями координат. Числовые функции изучаются в разделах математического анализа, объединяемых названием «теория функций». В теории вероятностей и математической статистике появляются и изучаются ещё так называемые случайные функции. Например, если бросать игральную кость (кубик) и номеру бросания сопоставлять выпавшее при этом бросании число очков, то получится числовая последовательность с целыми значениями в пределах от 1 до 6. Если эту процедуру повторить заново, то получится, вообще говоря, другая последовательность. До проведения опыта мы не знаем точно значения f(n) нашей функции в n-м бросании, хотя всё-таки знаем, что с вероятностью 1/6 это может быть, например 1. Распределение значений и другие свойства так возникающих функций изучают науки вероятностного цикла. В обращении с функциями наиболее развитым является математический аппарат анализа числовых функций, поэтому большинство реально возникающих функций стремятся задать в числовом виде. Задание функции, как правило, предполагает указание алгоритма или, по крайней мере, точное описание того, как по фиксированному значению аргумента находить значение функции. Алгоритмическое задание функции является основным для расчетов, выполняемых на электронных вычислительных машинах. В случае числовых функций весьма распространено аналитическое задание функций в виде некоторых математических формул типа V=x·y·z, заменяющих словесные описания. В экспериментальных исследованиях, когда какая-то величина измеряется при некотором фиксированном наборе значений параметров, от которых она зависит, возникают таблицы значений функции, которые по найденным значениям функции в отдельных точках позволяют с должной точностью находить её значения в промежуточных точках. Табличным заданием функций часто пользуются в математике: таблицы квадратов и кубов чисел, таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д. С другой стороны, функции появляются также в графическом задании: например, приборы, регистрирующие температуру или атмосферное давление, часто снабжены самописцем, который выдает показания прибора, в виде графика зависимости измеряемого параметра от времени, изображаемого в определенной системе координат. Понятие «функция» претерпело длительную и довольно сложную эволюцию. Термин «функция» впервые появился в 1692 г. у Г. В. Лейбница, правда, в некотором более узком смысле. В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к Г. В. Лейбницу от 1668 г. швейцарский ученый И. Бернулли. В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX в. Активным сторонником такого понимания функции был Н. И. Лобачевский. [5] Мы обсудили понятие функции. Остановимся в заключение на одном общем и важном принципе синтеза и анализа функций. Хорошо известно, что сколько-нибудь сложная система, например современная технологическая линия, состоит из целого ряда технологических участков, на каждом из которых выполняется какая-то одна сравнительно простая операция. Исходным объектом обработки для следующего участка является продукция предшествующего участка. Такой принцип создания сложных систем из элементов, выполняющих сравнительно простые функции, вы можете увидеть и в радиоприемнике, и в административно-хозяйственном аппарате учреждения. Отражением такого принципа в математике является операция композиции функций. Композиция функций является, с одной стороны, богатым источником новых функций (синтез), а с другой стороны, способом расчленения сложных функций на более простые (анализ). С композицией отображений можно столкнуться как в геометрии, рассматривая последовательно выполняемые движения плоскости или пространства, так и в алгебре при исследовании «сложных» функций, полученных композицией простейших элементарных функций. Так, функцию h (х)=sin (хІ) можно рассматривать как композицию функций y=f(х)=хІ и g(y)=sin y. О наиболее встречающихся функциях вы прочитаете в изложенных ниже статьях. |
Добавить документ в свой блог или на сайт
Похожие:
 | Конспект урока в 10-м классе по алгебре и началам анализа на тему:... Выработать прочные навыки применения полученных знаний при решении уравнений графическим способом вычислении значения функции и выполнении... | | Реферат по математике на тему «Функции и графики» Материал, связанный с этим вопросом на базе основной школы, изучается недостаточно полно, многие важные моменты не входят в программу,... |
 | Анализ контрольной работы по алгебре Первый триместр 2013-2014 учебного год Функция. Возрастание и убывание функции. Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение задач путем... | | Реферат по дисциплине «Математика» на тему: «Функции и окружающий нас мир» Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение «Краснооктябрьская средняя общеобразовательная школа» мо «Медведевский муниципальный... |
| Реферат на тему «Excel. Использование функций рабочей таблицы. Аргументы.... «Excel. Использование функций рабочей таблицы. Аргументы. Мастер функций. Логические, информационные функции и функции работы со... | | Реферат по предмету «Менеджмент» на тему: «Основные функции управления» В современных условиях бизнеса менеджмент осуществляет не только текущее управление предприятием, но и определяет стратегию развития... |
| Урок по алгебре и началам анализа и информатике Тема урока : «Функции... Первичное повторение пройденного материала. Закрепление материала в ходе индивидуального опроса | | Тест по алгебре Тесты по алгебре для 9 класса |
| Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе на основе кейс-метода.... Урок по алгебре и началам анализа в 11 классе на основе кейс-метода. Учебник под редакцией Ш. А. Алимов и др | | Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цель урока: обобщить знания учащихся о понятии функции, аргумента, функции вида y= kx, y= kx + b, y= x2, y= kx2, y= x3, y= kx3, ввести... |
| Рабочая программа по алгебре для 8 классов (углубленное изучение) на 2013-2014 учебный год Планируется проведение исследовательских работ учащимися, посвященные функции антье, диофантовым уравнениям, доказательству симметричных... | | Конспект урока по алгебре в 7-м классе на тему: «Свойства степени с натуральным показателем» Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №11им. А. И. Фатьянова» |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Предел функции в точке. Предел последовательности. Общие свойства предела функции. Предел функции в точке по множеству. Необходимое... | | Геометрические преобразования Бласти определения функции ставит в соответствие некоторое число f(X) – значение функции f в точке Х. В геометрии рассматриваются... |
| Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Цели урока: сформировать навыки построения графика функции, определять наибольшее и наименьшее значение функции, область значений... | | Реферат для сдачи кандидатского экзамена по истории и философии науки... Все эти процессы смогут давать большую прибыль лишь в том случае, если каждый работник будет знать свои функции и выполнять их на... |
