Реферат: Разработаны ном для проведения тестовых занятий по математике раздел «Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ УДК 374.3 № гос. регистрации Инв. № 12 «УТВЕРЖДАЮ» Проректор по НР и РСФ профессор, доктор техн. наук Е.Е. Нечаев «___» декабря 2010г. О Т Ч Е Т по договору № 75 от 02.11.2010 г. на выполнению цикла мероприятий по социальному обслуживанию населения в части предоставления образовательных услуг Мероприятие 75.1 Развитие учебно-образовательного и воспитательного процесса в системе «МГТУГА - средние школы САО г. Москвы», направленного на повышение качества подготовки учащихся, с учетом образовательных стандартов, условий сдачи ЕГЭ и участию в олимпиадном движении. Раздел 75.1.2: Создание научно-образовательных материалов для повышения качества подготовки учащихся, осваивающих образовательные стандарты общего образования (в т.ч. участию в олимпиадном движении) Научный руководитель цикла мероприятий проф., д.ю.н. Б.П. Елисеев Ответственный исполнитель цикла мероприятий проф., д.ф.-м.н. А.И. Козлов Научный руководитель мероприятия 75.1. проф., д.ф.н. Б.П. Елисеев Заместитель научного руководителя мероприятия 75.1. проф., д.т.н. А.И. Козлов Руководитель научно-образовательного коллектива раздела 75.1.2. проф., д.т.н. С.К. Камзолов  Москва 2010г. Реферат: Разработаны НОМ для проведения тестовых занятий по математике (раздел «Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции») для учащихся специализированных классов средних школ, гимназий и лицеев. Разработанные НОМ апробированы путем проведения тестовых занятий, и семинаров с использованием современных информационных технологий. Cтр. 64, рис. нет, литература 9 наименований Ключевые слова: математика, приближенные числа, приближенное решение уравнений, мультимедиа, специализированные классы школ. Коллектив исполнителей работ по разделу 75.1.2 Научно-образовательный коллектив 1. Руководитель коллектива -    проф., д.т.н.,   Камзолов С.К. 2. доц., к.ф.-м.н.    Куколева А.А. 3. проф., д.т.н.   Нечаев Е.Е. 4. доц., кф.-м.н.   Новиков С.М. 5. проф., д.т.н.   Самохин А.В. 6. доц., к.т.н.   Старых А.В. К выполнению организационной работы (сбор информационной информации, подбор литературы, оформительская работа, расчет заработной платы и т.д.) привлекались также 1. Иванина В.А.  2. Касимова Е.А. 3. Меньшов И.К. Оглавление 75.1.2.1……………………………………………………………………………………………………………………..?? 75.1.2.2………………….…………………………………………………………………………………………………?? 75.1.2.3 Создание НОМ для проведения тестовых занятий по математике (раздел «Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции») для учащихся специализированных классов средних школ, гимназий и лицеев. ………………………………………………………………………………………5? 75.1.2.4 Апробирование разработанных НОМ путём проведения тестовых занятий по математике (раздел “Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции”) для учащихся специализированных классов средних школ, гимназий и лицеев……………………………………………………………………….…40? 75.3.2.5 Литература……………………………………………………………………… …………………....64? 75.1.2.3 Создание НОМ для проведения тестовых занятий по математике (раздел «Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих элементарные функции») для учащихся специализированных классов средних школ, гимназий и лицеев. В настоящем разделе приведены НОМ по основам практики работы с приближенными числами. Без понимания этого материала невозможно понимание численных методов решения уравнений и неравенств, которые включают графический метод, метод Ньютона, метод хорд и комбинированный метод. Описание этих методов и соответствующие НОМ даны в разделе 75.3.2 настоящего отчета Точные и приближенные числа. Источники погрешностей. Классификация погрешностей В процессе решения задачи вычислитель сталкивается с различ­ными числами, которые могут быть точными или приближенными. Точ­ные числа дают истинное значение величины числа, приближенные — близкое к истинному, причем степень близости определяется погреш­ностью вычисления. Например, в утверждениях: «куб имеет 6 граней»; «на руке 5 паль­цев»; «в классе 32 ученика»; «в книге 582 страницы» числа 6, 5, 32, 582—точные. В утверждениях: «ширина дома 14,25 м»; «вес коробки 50 г»; «в лесу около 5000 деревьев» числа 14,25; 50; 5000—приближен­ные. Измерение ширины дома производится измерительными средст­вами, которые сами могут быть неточными; кроме того, измеритель при измерении допускает ошибку (погрешность). При взвешивании коробки также допускается ошибка, так как автоматические весы не чувстви­тельны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г. Произвести точно подсчет количества деревьев в лесу невозможно, так как некоторые деревья могут быть подсчитаны дважды; другие совсем не включались в счет; некоторые деревья были отнесены к кустарникам и исключены из счета, и, наоборот, кустарники включены в счет количества деревьев. Во многих случаях жизни невозможно найти точное значение вели­чины числа и вычислителю приходится довольствоваться его прибли­женным значением. Кроме того, очень часто вычислитель сознатель­но заменяет точное значение приближенным в целях упрощения вычис­лений. Таким образом, приближенным числом а называется число, незна­чительно отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях. При решении той или иной задачи вручную или на вычислительной машине мы получаем числовой результат, который, как правило, не является точным, так как при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности. Поэтому любая задача, связанная с массовы­ми действиями над числами, может быть решена стой или иной степенью точности. В связи с этим при постановке задачи должна быть указана точность ее решения, т, е. задана погрешность, максимально допусти­мая в процессе всех вычислений. Источниками погрешностей (ошибок) могут быть: неточное отображение реальных процессов с помощью матема­тики, в связи с чем рассматривается не сам процесс, а его идеализиро­ванная математическая модель. Не всегда реальные явления природы можно точно отобразить математически. Поэтому принимаются усло­вия, упрощающие решение задачи, что вызывает появление погрешно­стей. Некоторые задачи невозможно решить в точной постановке и они могут заменяться другими задачами, близкими по результатам первым. При этом также возникают погрешности; приближенное выражение величин, входящих в условие за­дачи, вследствие их неточного измерения. Это погрешности исходных данных, физических констант, чисел , е др.; замена бесконечных процессов, пределами которых являются искомые величины, конечной последовательностью действий. Сюда относятся погрешности, образующиеся в результате обрыва какого-то бесконечного процесса на некотором этапе. Например, если в ряде … взять определенное конечное количество членов и принять их сумму за результат то мы, естественно, допускаем погрешность; 4) округление исходных данных, промежуточных или окончательных результатов, когда при вычислениях используется лишь конечное число цифр числа. При отбрасывании младших разрядов числа имеет место погреш­ность. Пусть, например, число 0,7835478931 требуется записать в ячей­ку электронной вычислительной машины. Раз­рядная сетка машины допускает, например, запись семизначного десятичного чис­ла. Поэтому данное число нужно округлить так, чтобы в нем осталось не более семи знаков после запятой. Тогда округленное число примет следующий вид: 0,7835479; 5) кроме указанных выше случаев, погрешности могут появляться в результате действий над приближенными числами. В этом случае погрешности исходных данных в какой-то мере переносятся на результат вычислений. Полная погрешность является результатом сложного взаимодей­ствия всех видов погрешностей. При решении конкретных задач те или иные погрешности могут отсутствовать или мало влиять на обра­зование полной погрешности. Однако для полного анализа погрешно­стей необходимо учитывать все их виды. Во всех случаях полная погрешность не может превышать по своей абсолютной величине суммы абсолютных величин всех видов погреш­ностей, но обычно она редко достигает такой максимальной величины. Таким образом, погрешности можно подразделить на три большие группы: 1) исходные, или неустранимые, к которым относятся погрешности, возникающие в результате приближенного описания реальных про­цессов и неточного задания исходных данных, а также погрешности, связанные с действиями над приближенными числами. Эти погрешно­сти проходят через все вычисления и являются неустранимыми; погрешности округления (зарождающиеся), которые появляются в результате округления исходных данных, промежуточных и оконча­тельных результатов; остаточные, возникающие в результате замены бесконечных процессов конечной последовательностью действий. Оценка погрешности может быть произведена: с помощью абсолют­ной погрешности; с помощью относительной погрешности; с помощью остаточного члена; с помощью статистических оценок. При работе с приближенными величинами вычислитель должен уметь: а) давать математические характеристики точности приближенных величин; б) зная степень точности исходных данных, оценить степень точности результатов; в) брать исходные данные с такой степенью точности, чтобы обеспечить заданную точность результата. В этом случае не следует слиш- ком завышать точность исходных данных, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчетов; г) уметь правильно построить вычислительный процесс, чтобы избавить его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата. Абсолютная и относительная погрешности Выше было дано определение приближенного числа: приближен­ным числом а называется число, незначительно отличающееся от точ­ного числа А и заменяющее его в вычислениях. Если а<А, то говорят, что число а является приближенным зна­чением числа А по недостатку; если а > А — приближенным значением по избытку. Разность между точным числом А и его приближенным значением а составляет ошибку, или погрешность. Как правило, знак ошибки вычислителя не интересует, поэтому пользуются абсолютной ошибкой, или абсолютной погрешностью. Абсолютная величина разности между точным числом А и его приближенным значением а называется абсолютной погрешностью приближенного числа а: = \А-а\. (1) Здесь возможны два случая. 1. Точное число А нам известно. Тогда абсолютная погрешность приближенного числа легко находится по формуле (1). Пример 1. Пусть А = 784,2737, а = 784,274; тогда абсолютная погрешность = | А — а | = |784,2737—784,274 | = 0,0003. 2. Точное число A нам неизвестно, тогда вычислить абсолютную по­грешность по формуле (1) нельзя. Поэтому пользуются понятием гра­ницы абсолютной погрешности, удовлетворяющей неравенству |A—а|<. Граница абсолютной погрешности, т. е. число, заведомо превышаю­щее абсолютную погрешность (или в крайнем случае равное ей), назы­вается предельной абсолютной погрешностью. Следовательно, если — предельная абсолютная погрешность, то = |A-а|<. (2) Значение точного числа А всегда заключено в следующих границах; а — <A<а + (3) Выражение а — есть приближение числа А по недостатку, а а + — приближение числа А по избытку. Значение числа А за­писывается так: А = а ± (3') Пример 2. Число 45,3 получено округлением. Точное значение числа неизвестно, однако, пользуясь правилами округления чисел, можно сказать, что аб­солютная погрешность не превышает (меньше или равна) 0,05 Следовательно, границей абсолютной погрешности (предельной абсолютной погрешностью) можно считать 0,05. Записывают это так: 45,3 ( ±0,05). Скобки часто опускают, так что запись 45,3 ± 0,05 означает то же самое. Двойной знак ± означает, что отклонение приближенного значения числа от точного возмож­но в обе стороны. В качестве границы абсолютной погрешности берут по возмож­ности наименьшее число. Пример 3. При измерении длины отрезка оказалось, что ошибка, допущенная нами, не превышает 0,5 см; тем более она не превышает 1, 2 или 3 см. Каждое из этих чисел можно считать границей абсолютной погрешности. Однако нужно указать наименьшую из них, так как чем меньше граница абсолютной погрешно­сти, тем точнее выражается приближенное значение числа. В записи приближен­ного числа, полученного в результате измерения, обычно отмечают его предель­ную абсолютную погрешность. На практике часто применяют выражения типа: «с точностью до 0,01»; «с точностью до 1 см» и т. д. Это означает, что предельная абсо­лютная погрешность соответственно равна 0,01; 1 см и т. д. Пример 4. Если длина отрезка l = 184 см измерена с точностью до 0,05 см, то пишут l = 184 см ± 0,05 см. Здесь предельная абсолютная погрешность = 0,05 см, а точная величина длины отрезка заключена в следующих грани­цах: 183,95 см < l < 184,05 см. По абсолютной и предельной абсолютной погрешностям нельзя судить о том, хорошо или плохо произведено измерение. Пример 5. Пусть при измерении книги и длины стола были получены резуль­таты: l = 28,4 ± 0,1 (см) и L — 110,3 ± 0,1 (см). И в первом, и во втором слу­чае предельная абсолютная погрешность составляет 0,1 см. Однако второе из­мерение было произведено более точно, чем первое. Для того чтобы определить качество произведенных измерений, необходимо определить, какую долю составляет абсолютная или предельная абсолютная погрешность от измеряемой величины, В связи с этим вводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностью приближенного числа а называет­ся отношение абсолютной погрешности к модулю точного числа А (), т. е. =. (4) Отсюда =|A| (4') Число , заведомо превышающее относительную погрешность (или в крайнем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью: ! < (5) Из соотношений (4) и (5) вытекает, что Из определения предельной абсолютной погрешности следует, что Тогда можно записать (6) и за предельную относительную погрешность приближенного числа а можно принять (7) Учитывая, что А, как правило, неизвестно и что А а, равенства (6) и (7) можно записать так: , (6') Возвращаясь к примеру 5, найдем предельные относительные погрешности измерения книги и стола. , или 0.35 %, , или 0,09%. Таким образом, измерение стола было произведено намного точнее. Очевидно, что как относительная погрешность, так и предельная относительная погрешность представляют собой отвлеченные числа, не зависящие от единиц, в которых выражаются результаты измере­ний,

Похожие:

	75 4 Апробирование мультимедиа-сопровождения урока по математике... Редакция журнала просит авторов при подготовке статей к публикации руководствоваться изложенными ниже правилами и образцом оформления...		Реферат Разработаны научно-образовательные материалы для проведения... Создание ним и ном для проведения тестовых занятий по физике (раздел «Электричество») для учащихся специализированных классов средних...
	Программа элективного курса «Разнообразные способы решения иррациональных... «Разнообразные способы решения иррациональных уравнений и неравенств» весьма актуальна. Ее рассмотрение обобщает опыт изучения в...		Реферат по математике. На тему: «основные методы решения систем уравнений с двумя переменными» I: методы решения систем линейных уравнений стр. 3-7
	Тема урока: Иррациональные уравнения и неравенства Цель урока – обобщить основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств; повторить свойства показательной и логарифмической...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Материалы Единого государственного экзамена, конкурсные задания в вузы содержат задачи, методы решения которых не рассматриваются...
	Литература ...		Реферат по математике. На тему: «основные методы решения систем нелинейных... Тема моего реферата «Решение систем уравнений с двумя переменными». Эта тема играет важную роль в курсе математики. Издавна применялось...
	75 2 Этап Апробирование разработанных научно-образовательных материалов... Этап Апробирование разработанных научно-образовательных материалов путем проведения тестовых занятий		Урока: Повторить и систематизировать способы решения показательных... Формировать умение работать самостоятельно, выбирать рациональное решение, умение обобщать, отличать один способ решения от другого,...
	Известно, что задачи на решение уравнений и неравенств составляют... Результаты срезов знаний школьников и практика проведения егэ показывают, что решение таких уравнений и неравенств, особенно со знаком...		Элективный курс «нестандартные методы решения уравнений и неравенств»... Федеральный бессрочный проект «Школа-вуз-предприятие» при поддержке Благотворительного фонда «Надёжная смена», г. Екатеринбург
	Тема: Старые методы для решения новых систем уравнений Тип урока Изучить методы решения систем уравнений, одно из которых является уравнение i-ой степени, а другое ii-ой степени		Решение неравенств второй степени с одной переменной Познакомить с алгоритмом решения неравенств на основе свойств квадратичной функции
	П/п Раздел, название урока в поурочном планировании Цель: расширить сведения о свойствах функций, выработать умение строить график квадратичной функции и применять графическое представление...		Реферат по математике на тему: Способы устного решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена