Глава 1. Обзор источников информации о пакете Mathematica
Основным источником для изучения функциональных возможностей пакета Mathematica, является всемирная сеть Интернет.
Когда пользователь решает начать использование пакета, ему необходимы набор минимальных, общих знаний о том, как пользоваться пакетам, как вводить данные, как получать результаты и какое окружение необходимо для стабильной работы пакета – в этом успешно помогает встроенная справочная система пакета Mathematica.
Рисунок 2.1 – Справочная система пакета Mathematica
Работа содержит многочисленные вычисления, показывающие, что при объединении теории дифференциальных уравнений и математического анализа с возможностями пакета Mathematica удаётся легко решить многие математические проблемы.
Глава 2. Основные возможности пакета Mathematica
Mathematica является ведущим программным продуктом для обработки числовых, символьных и графических данных, повсюду используемым профессионалами практически в каждой ветви научных и технических вычислений. Mathematica позволяет пользователям решать, наглядно представлять и использовать силу математики без карандаша, калькулятора или привычного сложного программного подхода, необходимых прежде. Mathematica обходится механизмами математики, поэтому люди могут концентрироваться на содержании и смысле своей работы. Сочетание новых быстрых встроенных алгоритмов, улучшенные возможности экспорта и импорта, и новые свойства обработки документов делают Mathematica идеальной совершенной компьютерной средой как для окончательного моделирования, так и для разработки.
Mathematica может использоваться как диалоговое вычислительное средство и как высокоуровневый язык программирования. Некоторые общие виды использования включают следующее:
диалоговый числовой и символьный калькулятор;
система для визуального и звукового представления функций и данных;
высокоуровневый язык программирования, позволяющий создавать различные программы;
среда для моделирования, имитации и анализа данных;
система представления знаний в математической и технической сферах;
язык контроля внешних программ и процессов;
высокоуровневая оболочка для работы с файлами, текстами и данными;
средство для создания интерактивных документов, содержащих тексты, анимационную графику и активные формулы;
технический инструмент публикации для традиционной печати и web.
Глава 3. Основные теоретические сведения
Определение 1 [2]. Для динамической системы (1) имеет место изохронность n-го порядка (n N), если все изображающие точки, лежащие при  на луче OA, составляющем с осью абсцисс угол  , начиная в момент времени двигаться по траектории центра или фокуса системы (1), оказываются в момент времени  на луче  с полярным углом  .
Замечание 1. Изохронные 1-го порядка системы (1) часто просто называют изохронными.
Определение 2 [3]. Для динамической системы (1) имеет место совершенная (равномерная) изохронность, если движение всех изображающих точек, лежащих при на луче OA, составляющем с осью абсцисс угол , происходит по кривым центра или фокуса с одной и той же угловой скоростью.
Замечание 2. Нетрудно убедиться, что для системы (1) имеет место совершенная изохронность тогда и только тогда, когда система имеет вид
 ,
т.е. когда  .
Теорема 1 [1, с.24]. Для того чтобы для динамической системы (1) имела место изохронность n-го порядка, необходимо и достаточно существование хотя бы одного значения  () такого, чтобы для функций  – решений дифференциальных уравнений
 , (3)
с начальными условиями  , где
 ,
 ,
выполнялись равенства
Пусть  , – полярные углы  лучей  , с началом в точке O(0,0).
Определение 3[4]. Для динамической системы (1) имеет место сильная изохронность n-го порядка, если все изображающие точки, лежащие при на n лучах , начиная в момент времени двигаться по траектории центра или фокуса системы (1), переходят последовательно с одного из указанных n лучей на другой за одно и тоже время  .
Теорема 2 [1, c. 66; 5]. Для того чтобы для динамической системы (1) имела место сильная изохронность n-го порядка, необходимо и достаточно существование хотя бы одного значения такого, чтобы для функций – решений дифференциальных уравнений (3) с начальными условиями  , выполнялись равенства
Теорема 3 [6]. Если для системы (1) имеет место сильная изохронность нечетного порядка n, то для такой системы имеет место и сильная изохронность четного порядка 2n (с общим полярным углом  ).
Теорема 4 [6]. Если для системы (1) имеет место изохронность 2-го порядка, то такая изохронность является и сильной изохронностью того же порядка.
Последний факт говорит о той особой роли, которую играет изохронность 2-го порядка в теории сильно изохронных систем, поскольку “поймав” изохронность 2-го порядка, всегда можно конечным числом шагов определить максимальный порядок изохронности с вычисленным начальным полярным углом .
Отметим, что из определения 3 вытекают две основные задачи теории сильно изохронных систем:
определить наивысший порядок сильной изохронности конкретной системы вида (1);
указать начальный полярный угол в случае наличия у конкретной системы вида (1) сильной изохронности.
Ниже остановимся на некоторых завершенных результатах, связанных с решением этих двух задач в случае центра.
Так, например, рассмотрим систему
 ,
 , (4)
к которой может быть приведена любая автономная система двух обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме с полиномиальными правыми частями второй степени без свободных членов и чисто мнимыми корнями характеристического уравнения системы первого приближения.
Теорема 5 [7]. Исключая случай системы (4) с условиями  (случай совершенной изохронности), для нелинейной системы (4) в начале координат не может иметь места сильная изохронность центра выше второго порядка. Для того чтобы для нелинейной системы (4) в начале координат имело место сильная изохронность центра 2-го порядка, необходимо и достаточно выполнение одной из трех серий условий
 ;
 ;
 ,
причем при  угол  , а при  угол  .
Далее рассмотрим систему
 ,
 , (5)
к которой может быть приведена любая автономная система двух обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме с полиномиальными правыми частями третьей степени без однородностей второй степени и свободных членов и чисто мнимыми корнями характеристического уравнения системы первого приближения.
Теорема 6 [8]. Исключая случай системы (5) с условиями  (случай совершенной изохронности), для нелинейной системы (5) в начале координат может иметь место сильная изохронность центра только второго и четвертого порядков. Выполнение одной из следующих двух серий условий
 ; (6)
необходимо и достаточно для того, чтобы для нелинейной системы (5) в начале координат имела место сильная изохронность центра как второго, так и четвертого порядков. При этом в случае сильной изохронности второго порядка угол любой, в случае же сильной изохронности четвертого порядка при выполнении серии условий (6.1) при  угол  , а при  угол  , при выполнении же серии условий (6.2) при угол , а при угол  .
Рассмотрим теперь систему
 , (7)
где  и  – однородные относительно x и y полиномы пятой степени.
В полярных координатах  , где  ,  , система (7) принимает вид
 , (8)
 ,
 ,
а  ,  ,  ,  – некоторые вещественные постоянные.
Результатом исследований, проведенных в работах [12-14], является
Теорема 7. Для того чтобы точка O(0, 0) фазовой плоскости была изохронным центром для системы (7) , необходимо и достаточно, чтобы линейной заменой координат и изменением масштаба времени система (7) приводилась к одной из систем, для которых тригонометрические полиномы  и В имеют следующий вид:
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 ;
 .
Теорема 8 [9]. Исключая случай a), когда для системы (7) имеет место совершенная изохронность центра, для нелинейной системы (7) во всех случаях b) – i) будет иметь место сильная изохронность центра. В случаях b), d) – h) – сильная изохронность четвертого порядка с начальным углом ; в случае c) – сильная изохронность восьмого порядка с начальным углом  ; в случае i) – сильная изохронность четвертого порядка с начальным углом  .
Обратимся к системе
 , (9)
где  и  – однородные относительно x и y полиномы степеней 2 и 3 соответственно.
Теорема 9 [10]. Для нелинейной системы (9) в начале координат может иметь место сильная изохронность центра только второго порядка с . Для наличия сильной изохронности второго порядка необходимо и достаточно, чтобы система (9) имела вид
 .
Обратимся к системе
 , (10)
где  и – однородные относительно x и y полиномы степеней 2 и 3 соответственно.
Теорема 10 [11]. Для нелинейной системы (10) в начале координат может иметь место сильная изохронность центра только второго порядка с . Для наличия сильной изохронности второго порядка необходимо и достаточно, чтобы система (10) имела вид
 .
Пусть теперь дана гамильтонова система
 .
Теорема 11 [11]. Для нелинейной системы (11) в начале координат может иметь место сильная изохронность центра только второго порядка. Причем сильная изохронность второго порядка имеет место тогда и только тогда, когда заменой переменных  , где  , она приводится или к системе
 ,
где  , и в этом случае  , или к системе
 ,
при  , и в этом случае , или к системе
 ,
при  , и в этом случае  .
В заключении рассмотрим систему
 ,
 . (12)
Теорема 12 [11]. Исключая случай системы (12) с условиями  (случай совершенной изохронности), для нелинейной системы (12) в начале координат не может иметь места сильная изохронность центра выше второго порядка. Для того чтобы для нелинейной системы (12) в начале координат имела место сильная изохронность центра второго порядка, необходимо и достаточно выполнение условий
причем при  угол , а при  угол  .
|
