Применение информационных технологий в исследованиях Дифференциальных уранений и их приложений

Скачать 325.52 Kb.

Название	Применение информационных технологий в исследованиях Дифференциальных уранений и их приложений
страница	3/4
Дата публикации	20.11.2014
Размер	325.52 Kb.
Тип	Реферат

100-bal.ru > Информатика > Реферат

1 2 3 4

Глава 4. Основные вычисления

Далее будем рассматривать некоторые случаи обратимых систем вида (1). Перейдем в динамической системе (1) к полярных координатам (

x =  cos  y =  sin ,

учитывая, что

.

В координатах система (1) перепишется в виде

, (13)

где правые части уравнений системы (13) – голоморфные в окрестности

при всех

функции. При этом для

справедливы равенства из теоремы 1.

В работе [17] были получены необходимые и достаточные условия того, чтобы начало координат O(0,0) было изохронным центром обратимой вещественной кубической системы

(14)

Теорема 13 [17]. Вещественная система (14) имеет в начале координат O(0,0) изохронный центр тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одна из следующих серий условий:

;

.

При условиях 1) – 12) система (14) перепишется соответственно в виде:

; (14.1)

; (14.2)

; (14.3)

; (14.4)

; (14.5)

; (14.6)

; (14.7)

; (14.8)

; (14.9)

; (14.10)

; (14.11)

. (14.12)

В полярных же координатах выписанные системы принимают вид:

; (14.1*)

;

(14.2*)

;

; (14.3*)

; (14.4*)

;

; (14.5*)

;

(14.6*)

(14.7*)

;

; (14.8*)

;

; (14.9*)

;

; (14.10*)

;

; (14.11*)

;

(14.12*)

.

Замечание 3. Поскольку все выписанные системы являются обратимыми и имеют в начале координат О(0,0) изохронный центр, то они оказываются и сильно изохронными второго порядка.

Цель нашей работы выяснить: есть ли среди полученных в работе [17] систем сильно изохронные системы порядка большего, чем 2. Такая задача еще никем не решалась.

Отметим, что в рассматриваемых системах

при

. Зная, что

– это выражение при

в равенствах для

– это выражение при

в равенствах для

– это выражение при

в равенствах для

, а

– это выражение при

в равенствах для

, их легко выписать для всех 12 случаев системы (14).

Рисунок 4.1 – Перевод в полярные координаты в пакете Mathematica

Из рекуррентного соотношения (3) для нашего случая, считая

равным нулю, легко выписать

;

;

и так далее.

Из условий

имеем:

.

Далее будем рассматривать каждый из 12 случаев системы (14) отдельно.

;

Из полученного представления для

следует, что расстояние между нулями функции

равно

, а, значит, в данном случае возможна сильная изохронность четвертого порядка. Покажем, что такая изохронность действительно имеет место. Для этого, согласно теореме 2, должны выполняться равенства:

Рассмотрим

;

.

Ниже докажем, что для

с четными индексами имеет место следующая рекуррентная формула:

где

некоторые константы,

а

с нечетными индексами

равны нулю при

При этом,

;

.

Ниже будет также доказано, что для

с четными индексами имеет место следующая рекуррентная формула:

где

некоторые константы,

а

с нечетными индексами

равны нулю при

Рисунок 4.2 – Пример интегрирования в пакете Mathematica

Докажем теперь при помощи метода математической индукции, что

являются решениями уравнений

.

Для случая нечетных индексов утверждение очевидно, приведем доказательство для четных индексов.

Для k = 1 – верно.
Пусть верно для k = t, т.е. является решением уравнения .

Докажем справедливость утверждения для k = t + 1:

Проинтегрировав обе части полученного уравнения по , получаем:

,

заменив соответствующие коэффициенты на

, получаем:

,

что и требовалось доказать.

Равенства

, как для четного, так и для нечетного случая очевидны, что и доказывает наличие для данного случая системы (14) сильной изохронности четвертого порядка.

В данном случае для системы (14) имеет место совершенная (равномерная) изохронность, поскольку в этом случае для системы (14.2*) производная .

В данном случае для системы (14) возможна сильная изохронность либо четвертого порядка (при

= 1/7), либо шестого (при

= 1/4). Для этого, согласно теореме 2, необходимо выполнение следующих равенств:

При

= 1/7 имеем:

;

;

При

= 1/4 имеем:

;

.

Таким образом, в случае 3) системы (14) имеет место сильная изохронность только второго порядка.

Из полученного представления для

следует, что расстояние между нулями функции

равно

Рассмотрим

;

;

Ниже докажем, что для

с нечетными индексами имеет место следующая рекуррентная формула:

а для

с четными индексами – следующая:

где

некоторые константы.

При этом,

;

;

Ниже будет также доказано, что для

с нечетными индексами имеет место следующая рекуррентная формула:

,

а для

с четными индексами – следующая:

где

некоторые константы.

Докажем теперь при помощи метода математической индукции, что

являются решениями уравнений

.

Для четного случая имеем:

Для k = 1 верно.
Пусть верно для k = t, т.е. является решением уравнения .

Докажем справедливость утверждения для k = t + 1.

Проинтегрировав обе части данного уравнения по , получаем:

заменив соответствующие коэффициенты на

, получаем:

что и требовалось доказать.

Далее для нечетного случая имеем:

Для k = 0 верно.
Пусть верно для k = t, т.е. является решением уравнения .

Докажем справедливость утверждения для k = t + 1.

;

Продифференцируем обе части полученного уравнения по

,

что и требовалось доказать.

Равенства

, как для четного, так и для нечетного случая очевидны, что и доказывает наличие для данного случая системы (14) сильно1 изохронности четвертого порядка.

Из полученного представления для

следует, что расстояние между нулями функции

равно

и, таким образом, в данном случае имеет место сильная изохронность только второго порядка.

Здесь и, следовательно, как и в предыдущем случае, в данном случае имеет место сильная изохронность только второго порядка.

Здесь и, следовательно, как и в предыдущих двух случаях, в данном случае имеет место сильная изохронность только второго порядка.

Из полученного представления для

следует, что как и в предыдущих трех случаях, в данном случае имеет место сильная изохронность только второго порядка.

Здесь и, следовательно, как и в предыдущих четырех случаях, в данном случае имеет место сильная изохронность только второго порядка.

Рисунок 4.3 – Вычисленное значение для

Из полученного представления для

следует, что как и в случаях 5) – 9), в данном случае имеет место сильная изохронность только второго порядка.

Из полученного представления для

следует, что расстояние между нулями функции

равно

и, таким образом, как и в случаях 5) – 10), в данном случае имеет место сильная изохронность только второго порядка.

Из полученного представления для

следует, что расстояние между нулями функции

равно

Таким образом, верна

Теорема 14. Исключая случай 2) системы (14), когда имеет место совершенная (равномерная) изохронность центра, для нелинейных систем 1) – 12) имеет место сильная изохронность центра с конечным порядком изохронности. В случаях систем 3), 5) –11) – сильная изохронность второго порядка с начальным полярным углом

. В случаях систем 1), 4) максимальный порядок сильной изохронности равен четырем, а начальный полярный угол

1 2 3 4

Похожие:

	Применение информационных технологий в исследованиях поэтических... Применение информационных технологий в исследованиях поэтических особенностей стиля Ю. Левитанского 12		Выпускная работа по «Основам информационных технологий» В своей работе я решила сделать осветить и использование информационных технологий в учебном процессе, так как я считаю, что применение,...
	Применение информационных технологий в системе образования Понятие информационных технологий. Роль средств новых информационных технологий в образовании 10		Выпускная работа по «Основам информационных технологий» После того как Ньютон решил задачу Кеплера, теория дифференциальных уравнений стала одним из основных инструментов математического...
	Эффективность использования информационных технологий в исследованиях... Специальность 23. 00. 01 – теория и философия политики, история и методология политической науки		Применение информационных технологий в изучении истории древнего... Применение информационных технологий в изучении истории древнего мира в 5-ых классах
	Применение информационных технологий на уроках английского языка... Возможности использования информационно-коммуникативных технологий в обучении английскому языку 17		Программа профессионального модуля пм. 07 «Применение информационных... ПМ. 07 "Применение информационных технологий в профессиональной деятельности" разработана на основе Федерального государственного...
	Выпускная работа по «Основам информационных технологий» Реферат: «Применение информационных технологий в исследовании и описании безэквивалентной лексики» 6		Выпускная работа по «Основам информационных технологий» «Применение информационных технологий в географии на примере оценки недвижимости» 5
	Выпускная работа по «Основам информационных технологий» Реферат по ит в предметной области: «Применение информационных и коммуникационных технологий в обучении иностранному языку» 4		Выпускная работа по «Основам информационных технологий» на тему «Применение... Реферат «Применение информационных технологий в решении нелинейных уравнений методом последовательных приближений.» 3
	Применение информационных технологий на уроках истории и обществоведения... Возможности использования информационно-коммуникативных технологий в обучении истории 17		Курсовая работа на тему: Применение информационных технологий на рабочем месте пользователя Тема курсовой работы: «Применение информационных технологий на рабочем месте пользователя»
	Применение информационных технологий для эконометрического анализа... Гоу впо «башкирская академия государственной службы и управления при президенте республики башкортостан»		Применение информационных технологий в производственной деятельности Реферат на тему «применение информационных технологий в производственной деятельности» Введение 4

Школьные материалы