Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2013 года

С4 На стороне BA угла , равного , взята такая точка D, что и . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC. Решение. Центр O искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AD. Обозначим P середину отрезка AD, Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую BC, E – точку пересечения серединного перпендикуляра с прямой BC (см. рисунок а). Из условия касания окружности и прямой BC следует, что отрезки OA, OD и OQ равны радиусу R окружности. Заметим, что точка не может лежать по ту же сторону от прямой AB, что и точка E, так как в этом случае расстояние от точки O до прямой BC меньше, чем расстояние от неё до точки A. Из прямоугольного треугольника BPE с катетом BP = 2 и находим, что PE = . Так как OA = R и , получаем: , следовательно, . Из прямоугольного треугольника OQE, в котором , находим: . В результате получаем уравнение: . Возведём в квадрат обе части этого уравнения и приведём подобные члены. Получим уравнение R2 – 8R + 7 = 0, решая которое находим два корня: R1 = 1, R2 = 7. Если радиус равен 1, то центром окружности является точка (см. рисунок б). Ответ: 1 или 7. Другое решение. Пусть точка касания окружности с прямой лежит на луче (см. рисунок а). По теореме о касательной и секущей , откуда . Пусть – точка пересечения луча и перпендикуляра к , проведённого через точку . Из прямоугольного треугольника находим: , тогда и . Таким образом, точка удалена от точек , и на одно и то же расстояние, равное 1. Следовательно, – центр искомой окружности, а её радиус равен 1. Пусть теперь точка касания окружности с прямой лежит на продолжении за точку (см. рисунок б), а прямая, проходящая через точку перпендикулярно , пересекает прямую в точке , а окружность вторично – в точке . Тогда Если – радиус окружности, то . По теореме о двух секущих , то есть , откуда находим, что . Ответ: 1 или 7. Возможны другие формы записи ответа. Например: А) 1, 7; Б) радиус окружности равен 7 или 1. Содержание критерия Баллы Обоснованно получен верный ответ 3 Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок 2 Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 3 С5 Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1. Решение. 1. Функция имеет вид: a) при : , а её график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии ; б) при : , а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз. Все возможные виды графика функции  показаны на рисунках: Рис. 1 Рис. 3 Рис. 2 Рис. 4 2. Наименьшее значение функция  может принять только в точках или , а если  – то в точке . 3. Наименьшее значение функции больше 1 тогда и только тогда, когда          . Ответ: Содержание критерия Баллы Обоснованно получен правильный ответ 4 Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки 3 Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных значений потеряна 2 Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 4 С6 На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно . а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? Решение. Пусть среди написанных чисел положительных, отрицательных и нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому . а) Заметим, что в левой части приведённого выше равенства каждое слагаемое делится на 4, поэтому — количество целых чисел — делится на 4. По условию , поэтому . Таким образом, написано 44 числа. б) Приведём равенство к виду . Так как , получаем, что , откуда . Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных. воценка) Подставим в правую часть равенства : , откуда . Так как , получаем: то есть положительных чисел не более 17. впример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз написано число 4, 25 раз написано число и два раза написан 0. Тогда , указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи. Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17. Содержание критерия Баллы Верно выполнены: а), б), впример), воценка) 4 Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), впример), воценка) 3 Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), впример), воценка) 2 Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), впример), воценка) 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 4

Похожие:

	Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для... Форма обучения очная, заочная, заочная (сокращенная) на базе среднего профессионального образования		Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для... На выполнение экзаменационной работы дается 1ч 30 мин. Работа состоит из двух частей и содержит 12 заданий
	С учетом примерной программы среднего (полного) общего образования... Угриновича Н. Д. с учетом примерной программы среднего (полного) общего образования по курсу «Информатика и икт» на базовом уровне...		Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для... Открыть пункты проведения экзаменов в форме егэ по английскому, немецкому, французскому языкам, химии 03 июня 2011 года на территории...
	Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 2012 году Расписание проведения и продолжительность проведения государственной (итоговой) аттестации, в том числе экзамена по русскому языку,...		Литература Класс Угриновича Н. Д. с учетом примерной программы среднего (полного) общего образования по курсу «Информатика и икт» на базовом уровне...
	Тема: Всемирная паутина Угриновича Н. Д. с учетом примерной программы среднего (полного) общего образования по курсу «Информатика и икт» на базовом уровне...		Рабочая программа учебного курса «Информатика» Угриновича Н. Д. с учетом примерной программы среднего (полного) общего образования по курсу «Информатика и икт» на базовом уровне...
	Рабочая программа по предмету «Информатика и икт» в 10 классе на... Угриновича Н. Д. с учетом примерной программы среднего (полного) общего образования по курсу «Информатика и икт» на базовом уровне...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Информатика и икт» и кодификатора элементов содержания для составления контрольных измерительных материалов (ким) единого государственного...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... «Информатика и икт» на базовом уровне и кодификатора элементов содержания для составления контрольных измерительных материалов (ким)...		Инструкция по выполнению работы и реко-мендации по подготовке к сдаче... Года, а также темы и задания, вызвавшие затруднения при выполнении экзаменационной работы. Приведены образцы бланков регистрации...
	Протокол №2). В 2011 г внесены дополнения и изменения (протокол №10 Методического совета) Угриновича Н. Д. с учетом примерной программы среднего (полного) общего образования по курсу «Информатика и икт» на базовом уровне...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Угриновича Н. Д. с учетом примерной программы среднего (полного) общего образования по курсу «Информатика и икт» на базовом уровне...
	Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Угриновича Н. Д. с учетом примерной программы среднего (полного) общего образования по курсу «Информатика и икт» на базовом уровне...		Программа по формированию навыков безопасного поведения на дорогах... Угриновича Н. Д. с учетом примерной программы среднего (полного) общего образования по курсу «Информатика и икт» на базовом уровне...