Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2013 Точные науки (от 14 до 17 лет) «Системы счисления»

Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» - 2013 Точные науки (от 14 до 17 лет) «Системы счисления» Удальцов Максим, 14 лет ученик 8-го класса Руководитель работы: Новикова Ольга Александровна, Учитель физики и математики МБОУ «Щеколдинская ООШ» Зубцовского района Тверской области 2013 г. План. Цель работы. Возникновение понятия числа. - Введение. - Как называть и записывать числа. Системы счисления. - Основные понятия. - Предки наших цифр. - Что же такое тогда число? Непозиционные системы счисления. - Введение. - Единичная система счисления. - Древнеегипетская система счисления. - Древний Вавилон. - Римская система счисления. - Алфавитная система счисления. Позиционные системы счисления. - Индийская мультипликативная система. - Примеры позиционных систем счисления. - Десятичная система счисления. - Двоичная система счисления. - Системы счисления, родственные двоичной. Системы счисления, используемые в ЭВМ. Используемая литература. Цель работы. Основная цель работы – познакомиться с различными системами счисления. Более подробно узнать о таких системах, которые мы в настоящее время не используем (непозиционные) и узнать историю развития нашей десятичной позиционной системе счисления. Я считаю, что данная тема не просто интересная и развивающая, а и очень актуальная в настоящее время, так как мы живём в мире быстро развивающейся техники и электроники. А эта работа знакомит нас не только с историей развития систем счисления, но и с системами счисления, используемыми в компьютерах. Работа приводит как факты давно минувших дней, так и современные данные, но кто знает последние ли это данные. Человеческая цивилизация развивается и, может, и наше поколение выдвинет новые гипотезы становления и развития систем счисления или найдёт факты, подтверждающие ранее сделанные предположения учёных в этой области математики. Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймёт… Лейбниц. Возникновение понятия числа. Введение. Считается, что эра теоретической математики началась после того, как один из пифагорейцев доказал, что диагональ квадрата не соизмерима с его стороной. Отсюда следовало, что натуральных чисел и дробей не достаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Арифметика - наука о числах. Началось всё с подсчётов одинаковых конкретных предметов: пять ножей, пять камней, пять деревьев. Возникновение понятия число стало определяться от того, какие именно предметы считают. Следы того, как люди в глубокой древности обходились без общего понятия число, можно найти в языках и доныне живущих на земле примитивных племён. У них в языке сохранились различные числительные для различных предметов. Одни числительные используются для подсчёта людей, другие для подсчёта круглых предметов, третьи для продолговатых и т.д. Первоначально число было привязано к тем предметам, которые пересчитывали. Как называть и записывать числа. (Смотри в приложении таблицу «Числовые знаки разных народов»). Чтобы использовать числа, нужно их как-то называть и записывать, нужна какая-то система записи чисел - нужна система нумераций. Разные народы в разные времена использовали разные системы нумераций. Ещё недавно существовали племена, в языке которых было всего два числительных: «один» и «два». Большие числа представлялись комбинациями. Эта нумерация не успела стать громоздкой. Числа, начиная с семи, имели одно обозначение - много. Но жизнь не стояла на месте, и семи не хватало для счётов. Стали считать при помощи пальцев рук, ног и других частей тела. Так прикладывались пути к счёту пятёрками (пальцами одной руки), двадцатками (пальцы рук и ног), десятками (пальцы двух рук). Из счёта десятками и выросла современная десятичная система. Системы счисления. Основные понятия. Лозунг «Всё есть число». Так говорили пифагорейцы, подчёркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Современный человек каждый день запоминает номера машин и телефонов, в магазине подсчитывает стоимость покупок, ведёт семейный бюджет и т.д. и т.п. Числа, цифры…они с нами везде. Люди всегда считали и записывали числа, даже пять тысяч лет назад. Но записывали числа они их совершенно по-другому, по другим правилам. Но в любом случае число изображалось с помощью любого или нескольких символов, которые называются цифрами. Цифры - это символы, участвующие в записи числа и составляющие некоторый алфавит. Предки наших цифр. Брамхи Индусы (Гвалиор) Санскрит-деванагари(Индия) Западноарабские Восточноарабские (Губар) (современные турецкие и т.д.) 11 века(Apices) Что же такое тогда число? Число - это некоторая величина. Числа складываются из цифр по особым правилам. На разных этапах развития человечества, у разных народов эти правила были различны и сегодня мы их называем системами счисления. Система счисления - это способ записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций. Существуют различные системы счисления: а) десятичные; б) шестидесятеричные и т.д. За основание системы счисления можно принять любое натуральное число p>1. Цифры - условные знаки для обозначения чисел. Число - одно из основных понятий математики позволяющее выразить результаты счёта или измерения. Система счисления - это способ записи чисел с помощью цифр. Все известные системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Непозиционные системы счисления возникли раньше, чем позиционные. Последние являются в свою очередь результатом длительного исторического развития непозиционных систем счисления. Непозиционные системы счисления. Введение. Непозиционной называется такая система счисления, у которой количественный эквивалент («вес») цифры не зависит от её местоположения в записи числа. Например, рассмотрим римское число VVV . В десятичной системе счисления это число 15. При записи числа VVV использовались одинаковые «цифры» - V. И если сравнить их между собой, то получим абсолютное равенство. То есть, на каком бы месте ни стояла цифра в записи числа, ее «вес» всегда один и тот же. В данном примере он равен 5. Единичная система счисления. В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Количество предметов, например, мешков, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой-либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё далеко). Каждому мешку в такой записи соответствовала одна черточка. Учёные назвали этот способ записи чисел единичной или унарной системой счисления. Неудобства такой системы счисления очевидны: чем больше число надо записывать, тем больше палочек. При записи большого числа легко ошибиться - нанести лишнее количество палочек или, наоборот, не дописать палочки. Поэтому даже эти значки стали объединять в группы по 3, 5 и 10 палочек. Таким образом, возникли уже более удобные системы счисления. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Например, сами того не осознавая, малыши на пальцах показывают свой возраст, а счётные палочки использовали для обучения счету учеников 1 класса. Древнеегипетская система счисления. (Смотри в приложении таблицу «Египетские иероглифические цифры»). В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объёмы фигур, необходимо было знать арифметику. Египтяне писали на папирусах, т.е. на свитках, изготовленных из стебля крупных тропических растений. Самым древним папирусом считается так называемый Московский папирус, написанный около 1850г. до н.э. (длина - 5,5м; ширина - 8 см). Он хранится в Московском Музее изобразительных искусств. Важнейшим по содержанию является папирус Ахмеса (длина-544 см, ширина-33 см). Он хранится в Лондоне, в Британском музее. Археологами найдены «записи» при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 – 11 тысяч лет до н.э.). В Древнем Египте около 4000 лет назад имелись другие значки и иероглифы для обозначения чисел. Единица изображена колом, десяток - как бы парой рук, сотня - свёрнутым пальмовым листом, тысяча - цветком лотоса, символом обилия, сто тысяч - лягушкой, так как лягушек было очень много во время разлива Нила. Именно из комбинаций таких «цифр» записывались числа и каждая «цифра» повторялась не более девяти раз. -Почему? - Так как десять подряд идущих одинаковых цифр можно заменить одним числом, но на разряд старше. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи обычного сложения. В начале писали число высшего порядка, а затем низшего. Запись числа: Число 35 736. Сложение: 1 94 2 188 4 376 8 752 16 1504 В приведённом примере сложение трёх чисел: 94+188+1504 дает искомое произведение 1786. Древний Вавилон. Вавилоняне создали первую в мире позиционную систему счисления - шестидесятеричную. Её нумерация комбинировалась из двух значков: вертикального клина ▼, обозначавшего единицу, и углового знака ►, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречаются позиционная система счисления. Вертикальный клин ▼, обозначает не только 1, но и 60, 60², 60³ и т.д. Например, чтобы записать число 62, приписывали справа знака ▼ (60) знаки ▼▼ (2), оставляя при этом промежуток: ▼ ▼▼. Знака нуля в позиционной шестидесятеричной системе у вавилонян не было вначале. Позже знак заменял нуль, но он никогда не ставился в конце. Понять означает ▼ единицу, или 60, или 60, можно было определить лишь в связи с содержанием тех или иных задач. Вавилонские цифры и числа. Происхождение шестидесятеричной системы счисления связанно с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделяются на 60 разных частей: 1 талант = 1 минута. 1 мина = 60 шекель. Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались и в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 минут; минуты на 60 секунд; окружности на 360º; градуса на 60 минут; минуты на 60 секунд. Римская система счисления. Римская система счисления не особенно отличалась от египетской. Но она более распространенна в наши дни в книгах, в фильмах. Предполагаемое происхождение 5 и 10. В этой системе счисления используются знаки I (один палец для числа 1), V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные руки) для 10, а для 50, 100, 500, 1000 используются заглавные латинские буквы соответствующих латинских слов. Например: Centrum - сто; Demimille - половина тысячи; Mille - тысяча. V, X, L, C, D и M, (соответственно), являются «цифрами» этой системы счисления. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». I -1; V-5; X-10; L-50; C-100; D-500; M-1000. Например: Если в комбинации буквы идут от больших к меньшим, то соответствующие числа складываются: X X V I I означает 10+10+5+1+1=27 MMMD означает 1000+1000+1000+500=3500 Если буквы нарушают порядок, то их значения вычитаются из значения следующей буквы. IV означает 5-1= 4 XIX означает 10+(10-1)= 19 MCMXCIV означает 1000+(1000-100)+(100-10)+(5-1)= 1994 Если складывать и вычитать легко, то умножать и, особенно, делить очень трудно, часто непосильно. Вклад буквы в число зависит не только от самой буквы, но и от порядка следования (позиции) букв в записи числа. Например: Буква I дает вклад +1 в число VI и вклад -1 в число IV . Развитие этой идеи приводит к современным позиционным системам нумерации. Недостатки: Всем известны римские цифры. I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Некоторые из этих семи знаков служили и буквами. Римляне обозначали буквой М тысячу. Вот, например, как записывалось число 38784: XXXVI I ImDCCLXXXIV Неудобна была римская нумерация по сравнению с нашей десятичной: записи длинные, умножение и деление в письменном виде производить невозможно. Все действия надо производить в уме. Даже чтобы прочитать число, нужно устно складывать или вычитать потому, что каждая из семи римских цифр означает всюду, где бы она не стояла, одно и то же число. Например, V означает 5 единиц как в числе VI, так и в числе IV. В современной же письменной нумерации не только вид, начертание цифры, но и ее место, ее положение, ее позиция среди других цифр имеет значение. Например, в числе 15 цифра 5 означает 5 единиц, а в числе 53 та же цифра 5 означает 5 десятков, то есть 50 единиц. Поэтому наша нумерация называется позиционной. Правила составления чисел в римской системе счисления: Число равно: 1) Сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовём их группой первого вида). 2) Разности значений двух «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая. В этом случае от значения большей «цифры» отнимается значение меньшей «цифры». Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая «цифра» может быть меньше правой максимум на один порядок: так перед L (50) и C (100) из «младших» может стоять только X (10), перед D (500) и М (1000) - только С (100), перед V (5) - только I (1). 3) Сумме значений и «цифр», не вошедших в группы первого и второго вида. Пример: Записать число 444 в римской системе счисления. 444 400 + 40 + 4 (D-C) (L-X) (V-I) Группы второго вида. CDXLIV В десятичной записи числа используются 3 одинаковые цифры, а в римской системе счисления - разные. Записать число 1986 в римской системе счисления. Алфавитные системы. (Смотри в приложении таблицу «Алфавитная нумерация у разных народов»). Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы, в которые входили славянская, ионийская (греческая), финикийская и др. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. Алфавитная система была принята и в Древней Руси. До конца XVII века (до реформы Петра I) в ней в качестве «цифр» использовали 27 букв кириллицы. Чтобы отличить буквы от цифр над буквами ставился специальный знак ~ титло. Это делалось для того, чтобы отличить числа от обычных слов: =11 =12 =13… =19 =20 =21 Интересно, что числа от 11 (один - на десять) до 19 (девять- на десять) записывали так же, как говорили, то есть «цифру» единиц ставили до «цифры» десятков. Если число не содержало десятков, то «цифру» десятков не писали. Удобны ли алфавитные системы? Пример: запишем числа 23 и 444 в славянской системе счисления. То есть запись получается не длиннее нашей десятичной. Это объясняется тем, что в алфавитных системах счисления использовалось, по крайней мере, 27 «цифр». Но эти записи были удобны только для записи чисел до 1000. Но славяне, как и греки, умели записывать числа и больше 1000. Для этого к алфавитной системе добавляли новые обозначения. Так, например, числа 1000, 2000, 3000 … записывали теми же «цифрами», что и 1, 2, 3…, только перед «цифрой» ставили слева снизу специальный знак . Число 10000 обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, ее обводили кружком. Называлось это число «тьмой». Отсюда и произошло выражение «тьма народу». 1000= 2000= 3000= Таким образом, для обозначения «тем» (мн.ч. от слова «тьма») первые 9 «цифр» обводились кружками. 20000= 30000= 40000= 10 тем, или 100000 были единицей высшего разряда. Ее называли «легион». 10 легионов составляли «леорд». Самая большая из величин, имеющих свое обозначение, называлось «колода», оно равнялось 1050. Такой способ записи чисел, как в алфавитной системе, можно рассматривать как зачатки позиционной системы, так как в ней для обозначения единиц разных разрядов применялись одни те же символы, к которым лишь добавлялись специальные знаки для определения значения разряда. Алфавитные системы счисления были мало пригодны для оперирования с большими числами. В ходе развития человеческого общества эти системы уступили место позиционным системам. Подводя итог выше сказанному, можно указать следующие недостатки непозиционных систем счисления: в записи больших чисел участвует большое количество цифр; неудобно выполнять арифметические действия; невозможно представить отрицательные и дробные числа. В связи с этими недостатками непозиционные системы счисления постепенно уступили место позиционным системам счисления.

Похожие:

	Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2013 Точные науки (от... Цель работы: Исследование развития криптографии и способов применения шифров в деятельности человека		Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2012 Точные науки (от 11 до 13 лет) «Высота светил» Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
	Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2012 Естественные науки (от 8 до 10 лет) «Бегишевская средняя общеобразовательная школа имени Мансура Хасановича Хасанова»		Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2013 Естественные науки... Автор: Жигунова Г. В., кандидат философских наук, доцент кафедры «социальных наук»
	Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2012 Гуманитарные науки... Закон РФ от 10. 06. 1993 n 5154-1 "О стандартизации" утратил силу в связи с принятием Федерального закона от 27. 12. 2002 n 184-фз...		Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2012 Гуманитарные науки... Муниципальное бюджетное дошкольное образовательное учреждение «Детский сад комбинированного вида №48 «Журавлик»
	Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2013 Гуманитарные науки... Цель: создание творческой и психолого-педагогической среды для развития инновационного педагога, осуществляющего деятельность по...		Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2012 Гуманитарные науки... Развивать интерес к предмету, умение логически излагать свои мысли, развивать коммуникативные навыки при работе в группах
	Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2013 Естественные науки... Охватывает все разделы курса «Русский язык». Основное внимание уделяется грамматике, орфографии и пунктуации в их взаимодействии....		Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» Модель лексико-семантического поля fashion (на материале журналов Cosmopolitan и Glamour начала XXI века)
	Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» Приложение. Соответствие своих способностей и соответствующие им типам профессий		Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» Естественные науки (от... Цель: создание творческой и психолого-педагогической среды для развития инновационного педагога, осуществляющего деятельность по...
	Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» Россия, Краснодарский край, г. Новороссийск, ст. Раевская, муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная...		Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» Проектно-исследовательская работа «Права и обязанности ребенка в сказочных произведениях» подготовлена ученицей 6 «А» класса средней...
	Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» Известно, что молодёжь, общаясь с иностранцами, сталкивается с трудностями в общении из-за непонимания ряда слов, с которыми им не...		Международный Фестиваль Культуры и Искусства Точные науки Секция «Астрономия» Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования