Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2013 Точные науки (от 14 до 17 лет) «Системы счисления»
Скачать 289.91 Kb.
|
Позиционная система счисления. Индийская мультипликативная система. Системы счисления, основанные на позиционном принципе, возникли в древнем Междуречье (Вавилоне), у племени Майя, и, наконец в Индии. Это говорит о том, что возникновение позиционного принципа не было случайностью. Каковы же были предпосылки для его создания? Что привело людей к этому замечательному открытию? Обратимся к истории о древнем Китае, Индии, и в некоторых других странах существовали системы записи, построенные на мультипликативном принципе. Пусть, например, десятки обозначаются символом X, а сотни-Y. Тогда запись числа 323 схематично будет выглядеть так: 3Y2X3. В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда. Следующей ступенью к позиционному принципу было опускание названий разрядов при письме подобно тому, как мы говорим «три двадцать», а не «три рубля двадцать копеек». Но при записи чисел по такой системе очень часто требовался символ для обозначения отсутствующего разряда. Современная десятичная система счисления возникла приблизительно в V веке н.э. в Индии. Возникновение этой системы стало возможно после величайшего открытия- цифры «0» для обозначения отсутствующей величины. Как же появился нуль? Ещё вавилоняне употребляли специальный символ для обозначения нулевого разряда. Примерно во II веке до н.э. с астрономическими наблюдениями вавилонян познакомились греческие ученые. Вместе с их вычислительными таблицами они переменяли и вавилонскую систему счисления, но числа от 1 до 59 они записывали не клиньями, а в своей алфавитной нумерации. Но самое замечательное было то, что для обозначения нулевого разряда греческие астрономы стали использовать символ «0» (первая буква греческого слова Ouden- ничто). Этот знак, по-видимому, и был прообраз нашего нуля. Индийцы познакомились с греческой астрономией между II и VI вв. н.э., это видно из того, что они переняли общие теоретические положения этой науки и многие греческие термины. В это время в Индии использовалась мультипликативная система счисления. По утверждению историков примерно в это время индийцы познакомились и с вавилонской системой счисления, и с греческим нулём. Индийцы соединили свою десятичную мультипликативную систему с принципами нумерации чисел греческих астрономов. Это и был завершающий шаг в создании нашей десятичной системы счисления. В современной десятичной системе счисления, которая является позиционной, используются 10 арабских цифр. Почему мы называем наши цифры арабскими? С возникшей в Индии десятичной системой счисления первые познакомились арабы. Они по достоинству ее оценили и начали использовать при расчетах в торговых операциях. Именно арабы завезли эту систему счисления в Европу. С начала XII века эта десятичная система счисления получила распространение по всей Европе под названием арабской. Будучи проще и удобнее остальных систем, она достаточно быстро вытеснила все другие способы записи чисел. С тех пор цифры, используемые для записи чисел в десятичной системе счисления, называются арабскими. Примеры позиционных систем счисления. Итак, позиционной называется такая система счисления, к которой количественный эквивалент ("вес") цифры зависит от ее местоположения в записи числа. Основные достоинства любой позиционной системы счисления. 1. Простота выполнения арифметических операций. 2. Ограниченное количество символов, необходимых для записи числа. Позиционная система записи чисел удобна и экономична не только для записи чисел знаками на бумаге и для выполнения над ними арифметических действий. Она удобна и для механического представления чисел. Вспомним, например, счеты. Каждому разряду числа (единицам, десяткам, сотням, тысячам и т.д.) на счетах соответствует своя проволока. Костяшки на этой проволоке могут занимать десять различных положений. На практике применяются и другие способы физического представления десятичных чисел: 1. С помощью нескольких колес, каждое из которых может фиксироваться в одном из десяти возможных положений; 2. Перфокарт, в каждой из вертикальных колонок может пробиваться отверстие на одном из десяти уровней по высоте и т.п. Общим для всех представлений является то, что некоторый физический носитель состоит из некоторого числа n однородных элементов (проволок с костяшками, колес, вертикальных колонок), каждый из которых может находиться в одном из десяти состояний. Разряд - это позиция цифры в числе. Основание (базис) позиционной системы счисления -это количество цифр или других знаков, используемых для записи чисел в данной системе счисления. Позиционных систем счисления очень много, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньше 2. Данные о некоторых системах счисления запишем в таблицу.
Десятичная система счисления. В десятичной системе всего десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но также и место, на котором она стоит. Например: рассмотрим число 222. В записи этого числа используется трижды цифра 2. Но вклад каждой цифры в величину числа разный. Первая 2 означает число сотен, вторая - число десятков, третья - число единиц. Если сравнить "вес" каждой цифры в этом числе, то получится, что первая 2 "больше" второй в 10 раз и "больше" третьей в 100 раз. Этот принцип отсутствует в непозиционных системах счисления. Например: рассмотрим число 444. Три одинаковых цифры обозначают количество и единиц, и десятков, и сотен. А вот в числе 400 первая цифра 4 обозначает число сотен, а две цифры 0 сами по себе вклад в число не дают, а нужны лишь для указания позиции цифры 4. Итак, в десятичной позиционной системе счисления особую роль играет число десять и его степени: 10; 100; 1000;10000 и т.д. Самая первая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число десятков, следующая - число сотен и т.д. Например, число 1995 составляют: 5 единиц, 9 десятков, 9 сотен и 1 тысяча. 1995= 5+9*10+9*100+1*1000 Поскольку 1000=10³, 100=10², 10=10¹, можно написать ещё и так 1995=5+9*10¹+9*10²+1*10³ Для единообразия можно еще заменить 5 на 5*10º и изменить порядок слагаемых: 1995=1*10³+9*10²+9*10¹+5*10º Отсюда уже ясно, как записать любое четырехзначное число: N= а *10³+а*10²+а*10¹+а*10º, где а, а, а, а- десятичные цифры числа, каждая из которых может быть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 или 0, причем цифра а должна быть ненулевой (иначе число не будет четырехзначным). Число 10, степени которого записаны в формуле выше, называют основаниями десятичной системы счисления. Двоичная система счисления. Двоичная система счисления была придумана математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в XVII - XIX вв. Великий немецкий ученый Лейбниц считал: " Вычисление с помощью двоек... является для науки основным и порождает новые открытия... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок." Позже двоичная СС была забыта, и только в 1936-1938 гг. американский инженер и математик Клод Шеннон нашел замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.. Разберёмся в двоичной системе на примерах. Как узнать, чему равно девятизначное двоичное число N=111110100? Составим таблицу из первых девяти степеней двойки: 2º, 2¹....и поместим в нее цифры нашего двоичного числа.
Единички в этой таблице показывают, какие степени двойки нужно сложить, чтобы получить числo N=256+128+64+32+16+4=500 Попробуем теперь найти двоичное представление какого-нибудь числа, скажем 393. Сначала запишем его как 393= 256+137. Затем запишем 137 как 128+9. Далее запишем 9 как 8+1. На каждом шагу от числа как бы "отщепляется" максимально возможная степень двойки. Получается что: 393=256+137=256+128+9=256+128+8+1 Поставим в таблице единички под теми степенями, которые вошли в эту сумму, и нолики под теми, которые не нашли:
Выписывая эти единички и нолики подряд, получаем искомую двоичную запись числа 393=110001001. Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих ученых. П.С. Лаплас писал о своем отношении к двоичной (бинарной) системе счисления великого математика Г.Ф. Лейбница:" В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представилось, что единица представляет божественное начало, а нуль- небытие и что высшее существо создаёт все из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа. " Эти слова подчеркивают удивительную универсальность алфавита, состоящего всего из двух символов. Двоичная арифметика: Для того чтобы лучше освоить двоичную систему счисления, необходимо освоить выполнение арифметических действий над двоичными числами Все позиционные системы счисления "одинаковы", а именно, во всех них арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам: - справедливы одни и те же законы арифметики: коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный; - справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком. - правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения. Сложение: Таблица сложения двоичных чисел предельно проста.
При сложении столбиком двух цифр справа налево в двоичной системе счисления, как и в любой позиционной системе, в следующий разряд может переходить только единица. Результат сложения двух положительных чисел либо имеет столько же цифр, сколько максимальное из двух слагаемых, либо на одну цифру больше, но этой цифрой может быть только единица. Вычитание: При выполнении операций вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак. Таблица вычитания двоичных чисел предельно проста. (1) - означает заем из старшего разряда.
Умножение: Умножение выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя. Таблица умножения.
В двоичной системе счисления операция сводится в сдвигам множимого и сложению промежуточных результатов. Деление: При делении столбиком приходится в качестве промежуточных результатов выполнять действия умножения и вычитания. Но в двоичной системе счисления промежуточные умножения сводятся к умножению делителя или на 0, или на 1, поэтому наиболее сложной остается операция вычитания, которую надо научиться делать безошибочно. Системы счисления, родственные двоичной. Двоичная система удобна для компьютера, но не удобна для человека- числа получаются очень длинными и их трудно записать и запоминать. На помощь приходят системы, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатиричная. Перевод из родственной системы в двоичную и обратно может быть мгновенно выполнен в уме. Начнем с восьмеричной системы. В этой системе 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означает, как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем- 64 и т.д. Число 100 есть не что иное, как 64, а число 611 равно 6*64+1*8+1=393 Давайте переведем число 611 в двоичную систему. Нет ничего проще: достаточно заменить каждую цифру на ее перевод в двоичную систему, и получится 9-значное двоичное число: 6 1 1 110 001 001 Обратно, если есть многозначное двоичное число, то для перевода в 8-ричную систему его нужно разбить на группы по три цифры справа налево и заменить каждую группу одной 8-ричной цифрой. Например: 111111111=777 11111101001=3751 Запись числа в 8-ричной системе достаточно компактна, но еще компактнее получается в 16-ричной системе. Для первых 10 и 16 шестидесятеричных цифр используют привычные цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А вот для остальных 6 цифр используют буквы латинского алфавита: А-10 В-11 С-12 D-13 E-14 F-15 Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означает просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 16, в следующем- 256 и т.д. Цифра F, записанная в самом младшем разряде, означает 15, в следующем разряде- 15*16 и т.д. Число 100 есть не что иное, как 256, а числа AFO равно 10*16+16*16=1800 Часто нижний индекс 16 опускают, например, вместо ВАД пишут просто ВАД и это не приводит к ПЛОХИМ последствиям, поскольку в каждый момент понятно, о чем говориться - о числе или об английском слове bad (плохой). Перевод из 16-ричной системы в двоичную делается переводом каждой цифры, например: А О F 1010 0000 1111 |
Похожие:
 | Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2013 Точные науки (от... Цель работы: Исследование развития криптографии и способов применения шифров в деятельности человека | | Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2012 Точные науки (от 11 до 13 лет) «Высота светил» Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования |
| Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2012 Естественные науки (от 8 до 10 лет) «Бегишевская средняя общеобразовательная школа имени Мансура Хасановича Хасанова» | | Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2013 Естественные науки... Автор: Жигунова Г. В., кандидат философских наук, доцент кафедры «социальных наук» |
| Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2012 Гуманитарные науки... Закон РФ от 10. 06. 1993 n 5154-1 "О стандартизации" утратил силу в связи с принятием Федерального закона от 27. 12. 2002 n 184-фз... | | Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2012 Гуманитарные науки... Муниципальное бюджетное дошкольное образовательное учреждение «Детский сад комбинированного вида №48 «Журавлик» |
| Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2013 Гуманитарные науки... Цель: создание творческой и психолого-педагогической среды для развития инновационного педагога, осуществляющего деятельность по... | | Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2012 Гуманитарные науки... Развивать интерес к предмету, умение логически излагать свои мысли, развивать коммуникативные навыки при работе в группах |
| Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» 2013 Естественные науки... Охватывает все разделы курса «Русский язык». Основное внимание уделяется грамматике, орфографии и пунктуации в их взаимодействии.... | | Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» Модель лексико-семантического поля fashion (на материале журналов Cosmopolitan и Glamour начала XXI века) |
| Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» Приложение. Соответствие своих способностей и соответствующие им типам профессий | | Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» Естественные науки (от... Цель: создание творческой и психолого-педагогической среды для развития инновационного педагога, осуществляющего деятельность по... |
| Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» Россия, Краснодарский край, г. Новороссийск, ст. Раевская, муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная... | | Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» Проектно-исследовательская работа «Права и обязанности ребенка в сказочных произведениях» подготовлена ученицей 6 «А» класса средней... |
| Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» Известно, что молодёжь, общаясь с иностранцами, сталкивается с трудностями в общении из-за непонимания ряда слов, с которыми им не... | | Международный Фестиваль Культуры и Искусства Точные науки Секция «Астрономия» Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования |
