Рис. 7
2
у
 )
А
2
0
х
 -1
О (0,0) не лежит на окружности, т. к. координаты этой точки не удовлетворяют уравнению: 0+0+0 + 0+1 ≠ 0.
Тема 6. Элементы линейной алгебры. Определители, их свойства. Способы вычисления определителей. Решения систем линейных алгебраичных уравнений по формулам Крамера.
Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом  и определяемое равенством = а11а22-а12а21.
Например, Вычислить определитель  = 3*6 – (-2)*4 = 18 + 8 = =26
Числа, составляющие определитель называются его элементами. Определитель второго порядка имеет две строки и два столбца.
Определитель третьего порядка называется число, обозначаемое символом  и определяемое равенством = а11*а22*а33 + а12*а23*а31 + а13*а32*а21 – (а13*а22*а31+а32*а23 *а11+а33*а12*а21).
Например,  = 2*(-2)*3+3*1*1+4*2*5 – (1*(-2)*4 + 2*1*2 + 3*3*5) = -12+3+40 – (-8+4+45) = 31-41= - 10
Перечислим свойства определителей:
Величина определителя не изменится от замены строк столбцами.
Величина определителя изменит знак на обратный при перестановке двух любых строк или столбцов.
Определитель равен нулю, если две его строки или два его столбца одинаковы.
Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.
Например, = 
Алгебраическое дополнение. Минор.
Минором Мij элемента аij называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания i строки j столбца, т.е. той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент аij. Минор Мij есть определитель порядка на единицу ниже исходного.
Например, в определителе, Минором к элементу 4 является М13=  = = 10+2=12.
Алгебраическое дополнение Аij есть минор Мij , умноженный на (-1)i+j, т.е.
Аij = (-1)i+j Mij
В приведенном примере А13= (-1)1+3 М13 = (-1)4 * = 10+2=12.
В данном случае Минор и алгебраическое дополнение к элементу 4 совпали.
Продолжим изложение свойств определителей.
Величина определителя равна сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующее алгебраическое дополнение этих элементов.
Например, = а11*А11 +а12*А12+а13*А13; правая часть равенства называется разложением определителя по элементам первой строки.
Сумма произведений элементов строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.
Например, а11 А21+а12А22+а13А23=0.
Перечисленные свойства определителей справедливы для определителей любого порядка.
Пример. Вычислить определитель  двумя способами.
первый способ. = 2*5*(-3)+(-3)*(-4)*4+1*1*1 – (4*5*1+1*(-4)*2 + +(-3)*(-3)*1) = -30+48+1 – (20 – 8+9) = 19 – 21= -2.
Второй способ. Разложим определитель по элементам второго столбца. = -3 А12 + 5А22 + 1А32 = -3(-1)1+2  + 5(-1)2+2  +(-1)3+2  = -3*(-1)*(-3+16)+5(-6-4) – (-8 – 1) = 3*13+5*(-10) +9 = 48 – 50 = -2.
Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем по формулам Крамера.
Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:
 а11х1 + а12х2 + а13х3 = в1
а21х1 + а22х2 + а23х3 = в2
а31х1 + а32х2 + а33х3 = в3
Это система трех уравнений с тремя неизвестными х1, х2, х3. Вещественные числа аij (i =  , j = ) называются коэффициентами системы. в1, в2, в3 – свободные члены. Если хотя бы одно из чисел в1, в2, в3, отлично от нуля, система называется неоднородной. Если все свободные члены равны нулю, то система имеет вид:
а11х1 + а12х2 + а13х3 = 0
а21х1 + а22х2 + а23х3 = 0
а31х1 + а32х2 + а33х3 = 0
и называется однородной.
По формуле Крамера решаются только неоднородные системы.
Определитель системы Δ называется определитель, составленный из коэффициентов системы:
Δ =
Если определитель системы Δ не равен 0, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
Х1 = Δх1/ Δ; х2== Δх2/ Δ; х3== Δх3/ Δ; где
Δх1=  ; Δх2=  ; Δх3=  .
Если определитель системы = Δ равен нулю, и хотя бы один из определителей ∆х1=∆х2=∆х3 отличен от нуля, то система несовместна.
Если определитель системы ∆=0, и ∆х1=∆х2=∆х3=0, то система имеет бесконечное множество решений. (неопределенная система).
Пример. Решить систему уравнений:
Х + 2у – z = 1
-3х + у = 2z = 0
х + 4у + 3z = 2
Вычислим определитель системы ∆ =  = 1*1*3+2*2*1+(-1)*4*(-3) – (1*1*(-1)+4*2*1+3*2*(-3))=3+4+12 – (-1 + 8 – 18) = 19+11 = 30.
Система имеет единственное решение, т.к. определитель ∆ = 30 ≠ 0.
Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.
∆х =  = 5; ∆у =  = 13; ∆z =  = 1.
По формулам Крамера находим решение системы:
Х = ∆х/∆ = 5/30 = 1/6; у = ∆у/∆ = 13/30; z = ∆z/∆ = 1/30;
Ответ: решение системы (1/6; 13/30; 1/30).
По формулам Крамера можно решить систему n линейных уравнений с n неизвестными.
Пример Решить систему уравнений.
х - у+z=1
х + у – z=2
5х + у – z=7
Составим и вычислим определитель системы ∆=  = 0.
Вычислим определители ∆х, ∆у, ∆z.
∆х = = 0, ∆у =  = -2
Т.к. определитель ∆у= -2 ≠ 0, мы делаем заключение: Система несовместна, т.е. она не имеет решения.
Тема 7. Алгебра матриц.
О пределение. Таблица, составленная из m*n чисел называется матрицей размерности m*n,
а11 а12 а13…а1п
а21 а22 а23…а2п
……………… = Ам*п= //аij//
ам1 ам2 ам3…амп , где
m – число строк, n – число столбцов. Числа аij называются элементами матрицы, i- номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Разновидности матриц.
Матрица называется прямоугольной, если m≠n.
Матрица называется квадратной, если m=n.
Матрица называется матрицей - строкой, если m=1.
Матрица называется матрицей - столбцом, если n=1.
Н апример, 1) 1 2 3 = А2*3 – прямоугольная матрица размерности 2*3 (два на три)
 0 –1 5
2) 1 2 - квадратная матрица.
3 4
(1 0 3 5, -1) – матрица строка.
 7
12 матрица столбец.
5
3
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы матриц, расположенные выше или ниже главной диагонали равны нулю.
Н  апример, 1 0 0 5 1 –3
2 6 0 или 0 4 2
-1 –2 8 0 0 -1
К вадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.
Например, 1 0 0
0 –2 0
0 5
Квадратная матрица называется единичной, если элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали равны единице.
1 0 0
Е = 0 1 0
0 0 1 .
Алгебра матриц.
Равенство матриц. Две матрицы Ам*п и Вм*п одинаковой размерности равны, если равны соответствующие элементы этих матриц.
Ам*п = Вм*п аij = bij (i =  , j =  )
этот знак (квантор эквивалентности) заменяет слова «тогда и только тогда»,
обозначение (i = ) применяется, если хотят сказать, что i пробегает все значения от 1 до m.
2. Сумма матриц. Суммой двух матриц Ам*п = //аij// и Вм*п = //вij// называется матрица См*п, элементы которой Сij = аij + вij . Cm*n = Am*n + Bm*n. Складывать можно матрицы одинаковой соразмерности.
Н пример, Если А= 1 –2 4 В= -3 2 5
   3 1 –6 , 1 –6 4 , то
А
+
=
=
+В = 1 –2 4 -3 2 5 1-3 -2+2 4+5 -2 0 9
3 1 –6 1 –6 4 , 3+1 1-6 6+4 4 –5 –2
3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число.
α
3 2 4 –1
-2 1 5 6
 А = //α aij//.
Н
3 2 4 –1
-2 1 5 6
12 8 16 –4
-8 4 20 24
апример, вычеслить 4 А, если А =
4
=
 А = 4 *
4. Умножение матриц. Произведением матрицы Ам*е на матрицу Ве*п называется матрица См*п (Ам*е*Ве*п=См*п), элементы которой получаются по правилу «Строка на столбец»:
сij =aijbij + ai2b2j +…+ aiebej
(i= ; j= ) , т.е. для вычисления сij следует элементы i – строки левой матрицы Ам*е умножить на соответствующие элементы j –го столбца правой матрицы Ве*п и полученные произведения сложить.
Замечание 1. Из этого определения следует, что произведение матриц имеет смысл тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя.
З
1 2
2 4
3 1
3 4 1 3
2 –1 –2 4
 амечание 2. Если имеют смысл АВ и ВА, то как правило, АВ≠ВА.
Пример. Вычислить АВ, если А = В =
Решение: АВ=С
1 2
2 4
3 1
3 4 1 3
2 –1 –2 4
 
С11С12С13С14
С21С22С23С24
С31С32С33С34
7 2 –3 11
14 4 –6 22
11 11 1 13
С= * = =
С11=1*3+2*2=7;
|
С12=1*4+2*(-1)=2
|
С13=1*1+2*(-2)= -3
|
С14=1*3+2*4=11
|
С21=2*3+4*2=14;
|
С22=2*4+4*(-1)=4
|
С23=2*1+4*(-2)= -6
|
С24=2*3+4*4=22
|
С31=3*3+1*2=11
|
С32=3*4+1(-1)=11
|
С33=3*1+1*(-2)=1
|
С34=3*3+1*4=13
|
7 2 –3 11
14 4 –6 22
11 11 1 13
Ответ: А*В=С=
Пример. Найти произведения двух матриц АВ и ВА, если А = 1 2 ,
В = 2 1 3 4
1 3
С равним эти произведения.
1
*
=
) С=АВ= 1 2 2 1 4 7
3 4 1 3 10 15
С11 = 1*2+2*1=4; С12 = 1*1+2*3=7;
С21 = 3*2+4*1=10; С22 = 3*1+4*3=15
2
*
=
) Д=ВА= 2 1 1 2 5 8
1 3 3 4 10 14
d11=2*1+1*3=5; d12=2*2+1*4=8
d21=1*1+3*3=10; d22=1*2+3*4=14
Мы убедились, что в нашем примере АВ≠ВА.
П ример. Вычислить АВ, если А=(4 0 -2 1); В= 
Решение: АВ=(4 0 -2 1)* =4*3+0*1+(-2)*5+1*(-2)=(0)
Ответ: АВ=(0) – нуль – матрица.
Замечание. При умножении матрицы строки на матрицу столбец получается матрица из одного элемента – число.
5. Транспонирование матрицы. Если в матрице А строки заменить столбцами, то новая матрица называется транспонированной по отношению к матрице А и обозначается символом Ат. Замечание (Ат)т=А.
6. Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей и обозначается символом Ø. А+Ø=А.
Основные свойства операций над матрицами:
А+В = В+А; А+(В+С) = А+В+С; (α +β)А = αА+βА; α(А+В) = αА + αВ; (А+В)*С=АС+ВС; С(А+В)=СА+СВ; (αА)В=α(АВ); (АВ)*С=А(ВС); (АВ)т=Вт Ат.
Понятие матрицы, алгебра матриц имеют чрезвычайно важные значение в приложениях математики к экономике и другим наукам, т.к. позволяют записывать значительную часть математических моделей в достаточно простой, а главное компактной форме.
П ример. Каждое из трех предприятий производить продукцию двух видов. Количество продукции каждого вида в тоннах за рабочую силу на каждом предприятий можно задать матрицей А= 2 1 3
1 3 4 ,
Стоимость одной тонны продукции каждого вида задана матрицей В= (10 15). На какую сумму произведет всю продукцию каждое предприятие за рабочую смену?
Решение: В*А= (10 15)* 2 1 3 =(35 55 90)
1 3 4
Ответ: Первое предприятие произведет продукции на 35 тыс. руб.
Второе – на 55 тыс. руб.
Третье – на 90 тыс. руб.
Тема 8. Понятие множества.
Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые.
Под множеством понимается совокупность (собрание, набор) некоторых объектов. Объекты, которые образуют множества называются элементами, или точками, этого множества.
Примерами множеств являются: множество студентов данного ВУЗа, множество предприятий некоторой отрасли, множество натуральных чисел и т.п.
М ножество обозначаются прописными буквами, а их элементы строчными. Если а есть элемент множества А, то используется запись а Є А. Если в не является элементом множества А, то пишут в Є А.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. Например, множество действительных корней уравнения х2+1=0 есть пустое множество.
Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то множество В называется подмножеством множества А и обозначается
В С А.
Если, например, А – множество всех студентов ВУЗа, а В – множество студентов-первокурсников этого ВУЗа, то В есть подмножество множества А, т.е. В С А.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Объединение двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. С=АUВ.
Например, если А= {а, в, d, е}; В= {а, е, f, с, к}, то С = АUВ = {а, в, d, е, f, с, к}
Пересечением двух множеств А и В называется множество Д, состоящее из всех элементов, принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Д = А∩В.
Например, 1) если А= {1, 2, 3}, В= {2, 3, 4}, то Д = А∩В = {2, 3}. 2) если А = {1, 2, 3}; В= {4, 5, 6, 7}, то А∩В = Ø.
Разностью множеств А и В называется множество Е, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Е = А \ В.
Например, если А = {a, b, c, d}, B = {b, c}, то А\В = {а, d}.
Пример, Даны множества А = {1, 3, 6, 8}, В = {2, 4, 6, 8}. Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.
Решение: АUВ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
А∩В = {6, 8}
А \ В = {1, 3}
Множества называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов, в противном случае оно называется бесконечным.
Множества элементами, которых являются действительные числа, называются числовыми. Из школьного курса алгебры известны множества: R – множество действительных чисел, Q – множество рациональных чисел, Z – множество целых чисел, N – множество натуральных чисел.
Очевидно, что N С Z C Q C R
Геометрически множество действительных чисел R изображается точками числовой прямой (числовые оси). (Рис.1), т.е. прямой на которой выбрано начало отчета, положительные направления и единица масштаба.
0
1
х
Рис.1
Между множеством вещественных чисел и точками числовой прямой существует взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому действительному числу соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой точке прямой – определенное вещественное число.
Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству а ≤ x ≤ в, называется отрезком (или сегментом), обозначается [a, в], если элементы Х удовлетворяют неравенству а
Абсолютная величина действительного числа. Окрестность точки.
А |
