Тема 14. Несобственные интегралы.
Мы ввели понятие определенного интеграла от функции y = f(x) на отрезке а; b, когда функция y = f(x) была интегрируема (и, следовательно, ограничена) на конечном отрезке а; b. Если отрезок интегрирования бесконечен, или функция не ограничена на отрезке интегрирования, то мы встречаемся с понятием несобственного интеграла.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом  . Такой интеграл есть некоторая функция от переменного верхнего предела, т.е.
= Ф(х), х ≥ а.
Определение.  – называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале а;), вводится он как предел функции Ф(t) при t , т.е.
t→∞
 .
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, если предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.
∞
Пример 1. Вычислить 
2
x→∞
Решение = lnx │ = lim lnx – ln2 = ∞ - ln2 = ∞. Интеграл расходится.
∞
Пример 2. Вычислить 
∞
1
x→∞
1
Решение =  = x –2/-2 │ = -1/(2x 2) │= -1/2 (lim 1/x2 – 1) = -1/2 (0-1) = 1/2
Интеграл сходится к ½.
По аналогии определяется несобственный интеграл на интервале (-, b.
b→ −∞
Определение сходимости  аналогично предыдущему.
Вводится понятие несобственного интеграла на интервале (-; ).
 , а – некоторое число.
Интеграл  сходится, если оба интеграла  и  сходящиеся, если же один из них расходится, то - расходится.
Пример 3. Вычислить  .
0
Решение.  .
-∞
x→ -∞
Рассмотрим  = ex │ = e0 – lim ex = e0 – 1/e∞ = 1-0 = 1.
∞
Интеграл сходящийся к 1.
0
x→ -∞
Рассмотрим  = ex │ =lim ex - e 0 = e∞ – 1 = ∞.
Этот интеграл расходится, значит - расходящийся несобственный интеграл.
В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл  . этот интеграл называется интегралом Эйлера-Пуассона.
Доказано, что  2).
Несобственные интегралы от разрывных функций.
х→в-0
Если y = f(x) непрерывна на а; b), но lim f(x) = , то вводится понятие несобственного интеграла от разрывной функции.
О
ε→0
ε→0
пределение. Если существует и конечен предел lim  , где > 0, то он называется несобственным интегралом от функции y = f(x) на интервале а; b) и обозначается  , т.е. = lim 
В этом случае несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла
ε→0
х→а+0
= lim  , если lim f(x) =
δ→0
Пример 4. Вычислить  = 2х1/2 │ = 2( -lim ) =2.
Интеграл сходится к 2.
Тесты к теме 1.
На сколько периодов условно можно разделить развитие математики (по Колмогорову)?
1: 2
2: 4
3: 1
4: 5
К какому времени относится начало периода элементарной математики?
1-: XV в
2: I век н.э.
3: VI-V век до н.э.
4: XII в.
Что является предметом изучения науки “Математический анализ”?
1: функция
2: число
3: совокупность чисел
4: геометрические образы (точка, прямая, плоскость).
Перечислите основные черты математического мышления.
1: логические рассуждения, математическая интуиция;
2: доказательство;
3: математическая интуиция;
4: умение правильно считать.
Какие два вида умозаключений преобладают в математике?
1: моделирование, дедукция.
2: индукция, интуиция;
3: абстрагирование, интуиция;
4: индукция, дедукция;
Является ли математика искусством вычислять или наукой?
1: наука,
2: искусство вычислять.
Тесты к тема 2
1.Аксиома – составная часть дедуктивной системы. Это …?
1: Определение основных понятий данной науки.
2: Утверждение, требующее доказательства.
3: Утверждение, принимаемое без доказательств.
4: Некоторое логическое рассуждение.
2.Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса. Какие из представленных?
1: Нужны ли доказательства аксиом? и Являются ли теоремы составной частью дедуктивного метода?
2: О смысле основных понятий. и Об истинности аксиом.
3:Можно ли определить в данной науке основные понятия? и Являюся ли доказательства составной частью дедуктивного метода?
3.Что представляет собой книга «Начала» Евклида?
1: Философское учение греческого философа и ученого Евклида.
2: Аксиоматическое построение геометрии.
3: Мифы Древней Греции.
4: Учение о параллельных прямых.
4Кто из математиков почти одновременно с Н.И. Лобачевским подошел к созданию неевклидовой геометрии?
1: Гаусс, Бойяй
2: Лагранж, Ферма
3: Пуассон, Эйлер
4: Коши, Буняковский
5.В каком году был построен Императорский Казанский Университет?
1; 1804
2: 1800
3: 1850
4: 1900.
Тесты к теме 3.
1 Что представляет собой мнимая единица ?
1: корень кв. из -1,
2: –1
3: ( i )^2
4: (-1)^2
2. Найти корни квадратного уравнения х*х-х+1=0
1: Х1=1/2; Х2=3/2
2: Корней нет
3: Х1,2=1/2+-3/2i
4: Х1=2, Х2=-1
3. Произвести действия: Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1+Z2.
1: Z=1-i
2: Z= -1+i
3: Z=2+3i
4: Z=1+2i
4. Произвести действия : Если Z1=1-2i, Z2= -2+3i, Найти Z1*Z2.
1: Z= 4
2: Z=-8+3i
3: Z= -2+6i
4: Z=4-i
5. Найти Z”, если Z=2-i.
1: Z= -2-i
2: Z= -2+i
3: Z= 2+i
4: Z= 2
6. Представить число Z = -3 в виде комплексного числа. Указать его вещественную и мнимую части.
1: Z=3-3i, Re Z=3, Im Z= -3
2: Z=-3+iо, Re Z=-3, Im Z=0
3: Z=3i, Re Z=-0, Im Z=3
4: Z=3*i*i Re Z=0, Im Z=3
Найти корни квадратного уравнения х^2+4=0
1: Х=2
2: Корней нет
3: Х1,2=+-2i
4: Х= -2
Дано комплексное число Z= -3+2i. Найти координаты точки на плоскости хоу ему соответсвующие.
1; (-3;2)
2: (3,2)
3: (3, -2)
4: (-3,0)
Выделить вещественную и мнимую части числа Z=1-3i/5-i.
1: Z=1/5-3i
2: Z=4/13 – 7/13i
3: Z=1/26-3i
4: Z=1-i
Тесты к теме 4.
1.Даны точки М1(3,1); М2(2,3); М3(6,0); М4(-3,-1).
Определить какая из точек лежит на прямой 2х-3у-3=0
1: М1(3,1);
2: М2(2,3);
3: М3(6,0);
4: М4(-3,-1).
2.Дана прямая х-3у+2=0, точка М(1,у) лежит на этой прямой. Найти ордин ату этой точки.
1: у=-1,
2: у=0,
3: у=1,
4: у=5.
3.Дана прямая х-3у+2=0, точка Р(х,2) лежит на этой прямой. Найти абциссу этой точки.
1: х=0,
2: х=4,
3: х=1,
4: х= -4.
4.Даны точки А(-3,2) и В(1,6). Найти расстояние между ними АВ.
1: АВ=2.
2: АВ=4,
3: АВ=8,
4: АВ=4 * корень кв. из 2,
5.Даны четыре пары, указать какие из них являются параллельными прямыми.
2х+3у-1=0
4х+6у+1=0
|
х+у+5=0
х-у-3=0
|
х+5=0
2х+5у=0
|
х-2у+3=0
2х-у-1=0
|
1: 2х+3у-1=0
4х+6у+1=0
|
|
|
2: х+у+5=0
х-у-3=0
|
|
3: х+5=0
2х+5у=0
|
|
4: х-2у+3=0
2х-у-1=0
|
|
6.Даны уравнения линий 1) у^2=х, 2)у=х^2+1, 3)х-у=0, 4)х^2 +у^2=1
Найти среди них уравнение прямой.
1: у^2=х,-
2: х - у=0,
3: у=х^2+1
4: х^2+у^2=1
7.Дано уравнение прямой у-2х+1=0. Записать это уравнение, как уравнение прямой с угловым коэффициентом. Найти отрезок в, отсекаемый прямой от оси ординат.
1: в= -1
2: в=1
3: в=1/2
4: в=0
8.Дана точка М(-1,2). Найти уравнение прямой проходящей через эту точку параллельно прямой 2х - у+3=0
1: х=2у
2: 2х - у=0;
3: х+у - 2=0;
4: 2х - у+4=0;
9.Среди заданных четырех прямых определить две перпендикулярные прямые.
1) х+у-5=0, 2)у=+х+2, 3)3х-3у+1=0, 4)2х=у
1: х+у-5=0, у=+х+2
2: х+у-5=0, 2х=у
3: у=х+2, у=2х
4: у=х+2, 3х-3у+1=0.
10.Дана прямая х+у-5=0. Найти точку А пересечения этой прямой с осью ох.
1: А(1,1);
2: А(-5,0);
3: А(5,0);
4: А(0,5)
Тесты к теме 5.
1.Написать уравнение окружности с центром в начале координат, радиусом равным 2.
1: х^2 + у^2 = 4
2: х^2 + у^2 = 2
3: (х – 2)^2 + (у – 2)^2 = 4
4: х^2 = 2
2.Х^2 + у^2 + 2х = 0. Дано уравнение окружности. Указать точку, лежащую на этой окружности: М1 (0, 0), М2 (1, 2), М3 ( - 1, 3); М4 (0, 2).
1: М2(1, 2),
2: М1(0, 0),
3: М3( - 1, 3),
4: М4(0, 2),
3.Из четырех уравнений найти уравнение эллипса.
1) х/25 + у/16 = 1, 2) х^2/9 + у^2/4 = 1, 3) у^2 = 1 – х, 4) х^2 + у^2 = 9
1: нет уравнения эллипса
2: х/25 + у/16 = 1
3: х^2/9 + у^2/4 = 1
4: х^2 + у^2 = 9
4.Выделить уравнение гиперболы из четырех уравнений:
1) х/16 - у/9 = 1, 2) х^2 – у^2 = 1, 3) х^2 + у^2 = 1, 4) х^2 + 2у^2 = 1
1: х^2 + 2у^2 = 1
2: х/16 - у/9 = 1,
3: х^2 + у^2 = 1,
4: х^2 – у^2 = 1,
5.Написать уравнение эллипса, зная, что малая полуось в=3, расстояние между фокусами F1 F2= 8.
1: x^2/64+y^2/9=1
2: x^2/16+y^2/9=1
3: x^2/8+y^2/9=1
4: x^2/25+y^2/9=1
6.Написать уравнение эллипса, если большая полуось а=в, эксцентриситет Е=0,5.
1: x^2/6+y^2/2=1
2: x^2/6+y^2/9=1
3: x^2/36+y^2/27=1
4: x^2+y^2=1
7.х^2/18 – y^2/4,5=1 Дано уравнение гиперболы. Написать уравнение асимптот.
1: y=+-х
2: у=+-1/2х;
3: y=+-1/18 х
4: y=1/3х
8.На параболе у^2=6х найти точку с абциссой равной 6
1: М(0,6)
2: М(6,6)
3: М(6,0)
4: М1(6,6) и М2(6,-6)
9. Дана парабола у^2=6х. Найти координаты фокуса F.
1: F(3/2;0)
2: F(3,0)
3: F(0,6)
4: F (0,3)
10.Написать уравнение гиперболы, если а=9, в=4.
1: x/81 - y/4=1
2: x^2/9+y^2/4=1
3: x^2/81 - y^2/16=1
4: x^2 - y^2=9
Тесты к теме 6.
1. Вычислить определитель !2 3!
!4 5!
1: -2,
2: 22,
3: 2,
4: 7,
2. Вычислить определитель !2 3!
!4 5!
1:-5,
2: 10,
3: 1,
4: 0,
3. Справедливо ли равенство !2 8 10! !1 4 5!
!1 3 -1! =2 !1 3 –1! ?
!2 0 !1 !2 0 1!
1: Нет,
2: Да,
|
